巧用特殊點 妙解距離題*

☉山東淄博實驗中學 李象林

縱觀近年高考數(shù)學試卷中的選擇題和填空題，涉及解析幾何中的“距離”題目出現(xiàn)的頻率非常多，亮點也頗多.處理好此類問題，除了要用到“兩點間的距離公式”和“點到直線的距離公式”外，還要結合題目中的已知條件，準確用好題中對應的特殊點，從而避免少走彎路，達到快速、有效、準確解題的目的.

一、用好“原點”

例1 （2017·全國Ⅲ理·10，文·11）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，A，且以線段12A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為（ ）.

分析：先確定以線段A1A2為直徑的圓的方程，結合直線與圓相切，根據(jù)原點O為圓心，利用點到直線的距離公式建立關系式，得到a、b的關系式，再結合橢圓的離心率公式加以求解即可.

解析：依題可知，以線段A1A2為直徑的圓O的方程是x2+y2=a2，又直線bx-ay+2ab=0與圓O相切，所以圓心O到直線的距離為，整理可得a2=3b2，那么橢圓

點評：原點O是解析幾何問題的中心，很多解析幾何問題就圍繞這個中心來展開.本題比較簡單，但巧妙地把解析幾何中的直線、圓、圓錐曲線三者有機融合，涉及直線的方程、圓的方程、橢圓的方程與幾何性質(zhì)、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系等眾多的知識點，真正體現(xiàn)解析幾何的大交匯，充分展示新大綱的精髓.

二、用好“頂點”

例2 （2017·全國Ⅰ理·15）已知雙曲線（a＞0，b＞0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，若∠MAN=60°，則C的離心率為______.

分析：先確定右頂點A的坐標與雙曲線C的一條漸近線方程，結合右頂點A到漸近線的距離d的求解，利用直線與圓的位置關系，并結合對應的角的情況建立關系式，得到參數(shù)之間的關系，從而得以求解雙曲線的離心率.

解析：由題可知,雙曲線C的右頂點為A（a，0），設其中一條漸近線為bx-ay=0，

則圓心A到此漸近線的距離為

因為∠MAN=60°，圓A的半徑為r=b，則有

則C的離心率

點評：頂點是圓錐曲線問題的基礎，涉及圓錐曲線方程問題，往往離不開頂點的滲透.本題結合頂點到雙曲線的漸近線的距離的求解，借助弦心距、弦以及圓的半徑所構成的直角三角形的性質(zhì)入手來解決，達到求解雙曲線的離心率的目的.

三、用好“焦點”

例3 （2017·全國Ⅱ文·12）過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M（M在x軸上方），l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（ ）.

分析：根據(jù)拋物線的方程確定焦點F的坐標，進而得到直線MF的方程，結合題意求解點M、N的坐標，利用拋物線的定義以及平面幾何的性質(zhì)，結合勾股定理的轉(zhuǎn)化來求解M到直線NF的距離問題.

解析：由拋物線C：y2=4x可得焦點F（1，0），準線l的方程為x=-1，可得直線MF的方程為y=（x-1），代入y2=4x并整理有3x2-10x+3=0，解得x=3或x=1 3，可得M（3，2），結合題目條件可得N（-1，2）.根據(jù)拋物線的定義知，|MF|=|MN|=4，利用平面幾何的性質(zhì)可知，M到直線NF的距離即為等腰△MNF的底邊NF上的高，結合勾股定理可（其中K為準線l與x軸的交點）.

點評：焦點是構成圓錐曲線問題的核心，往往是利用圓錐曲線的定義處理問題的“沖鋒號角”.涉及焦點的距離問題，經(jīng)?？紤]利用圓錐曲線的定義來轉(zhuǎn)化與應用.本題采用平面幾何的性質(zhì)來處理，解答過程顯得更為簡單快捷，處理問題更具特色，效果明顯.

四、用好“對稱點”

例4 （2017·全國Ⅱ理·16）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|=______.

分析：根據(jù)題目條件以及中點的性質(zhì)可以確定點N、F關于點M對稱，進而確定點M的橫坐標，結合定義把拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準線的距離，進而來求解對應的線段長度問題.

解析：由拋物線C：y2=8x知，p=4，焦點F（2，0），由于FM的延長線交y軸于點N，則N的橫坐標為0，而M為FN的中點，即點N、F關于點M對稱，根據(jù)中點公式可得M的橫坐標為xM=1，結合拋物線的定義知3，故 |FN|=2|MF|=66.

點評：對稱點是解析幾何問題中的和諧元素，往往可以通過對稱點確定點的坐標、建立關系式、構建幾何性質(zhì)等.在解決解析幾何中，根據(jù)對稱性，找出對稱點經(jīng)常是順利解決問題的關鍵.本題結合圓錐曲線的對稱與定義，巧妙地達到化繁為簡、事半功倍的效果.

五、用好“動點”

例5 （2017·全國Ⅰ理·10）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）.

（A）16 （B）14 （C）12 （D）10

分析：根據(jù)條件設出直線l1的方程，通過聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系并結合拋物線的定義確定兩動點間的距離|AB|=x1+x2+p，進而同理解得|DE|，結合基本不等式來確定相應的最值問題.

解析：由題得拋物線C：y2=4x的焦點F（1，0），易知直線l1，l2的斜率均存在且不為0，設直線l1的方程為y=k1（x-1），聯(lián)立方程組，得k12-（2k12+4）x+k12=0，所.由拋物線的定義確定兩動點間的距離|AB|=x1+x2+p=

那么|AB|+|DE|=8+=16（由于直線l1，l2互相垂直，則有k1k2=-1），當且僅當k1=-k2=1（或-1）時，取得等號.

點評：動點是解析幾何問題中的常態(tài)，利用動點的變化往往可以建立相應的關系式，為進一步的求解奠定基礎.本題結合動點間的距離公式的求解，通過題目條件加以化歸與轉(zhuǎn)化，并結合對應參數(shù)的取值情況，結合基本不等式，從而得以確定距離問題的最值.

其實，解析幾何中的基本概念、基本方程、基本公式等都是高考中?？嫉闹匾R點之一，對于考查的選擇題和填空題，有時題目比較容易，有時題目比較難，都不要輕視，要通過動手、動腦，融會貫通，真正達到“動后熟悉，熟后思考，思后悟理，悟后掌握”的解題效果.J