一題多解，開拓思維

☉廣東省深圳羅湖外語(yǔ)學(xué)校高中部 羅 俊

所謂條條大路通羅馬，對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題同樣如此，數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果具有唯一性，但是解題的方法卻多種多樣，對(duì)于同樣一道數(shù)學(xué)試題，如果能夠從不同的角度去思考，對(duì)典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行一題多解，往往能夠開拓學(xué)生的思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平.

一、原題呈現(xiàn)

（2017年廣東深圳高考一模試題）已知橢圓

1，直線l=1.點(diǎn)P是直線l上的一點(diǎn)，射線OP與橢圓的交點(diǎn)為R，點(diǎn)Q在射線OP上，且|OQ|·|OP|=|OR|2，當(dāng)P點(diǎn)在直線l上移動(dòng)時(shí)，試著求Q的軌跡方程.

二、分析問(wèn)題，一題多解

本題屬于一道綜合類題目，難度系數(shù)為中等偏上.而此題的主要考查點(diǎn)有三個(gè)，分別為軌跡方程、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及曲線與方程.本題的解法非常開放，可以從不同的角度去思考和解決問(wèn)題，通過(guò)一題多解，可以充分開拓學(xué)生的思維，讓學(xué)生在解決難題、復(fù)雜的題目時(shí)可以快速找出最高效的方法，從而起到事半功倍的效果.

（一）向量法

如圖1所示，向量共線，假設(shè)=μ=（x，y），那么可以得到O →R=（λx，λy），O →P=（μx，μy）.因?yàn)橄蛄抗簿€可得|，所以μ||2，得出μ=λ2.

圖1

點(diǎn)撥：本題采用向量共線的方法求得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，根據(jù)向量共線得出一個(gè)等量關(guān)系|O →Q|·|O →P|=|O →R|2，從而得出μ=λ2，然后根據(jù)R在橢圓上，點(diǎn)P在直線上可得出兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式，最終結(jié)合兩個(gè)條件得出最終答案.通過(guò)解題過(guò)程可知，使用向量共線的方法，則可以大大減少計(jì)算量，從而提高了解題效率.

（二）參數(shù)法

點(diǎn)撥：本題通過(guò)將參數(shù)方程代入橢圓方程中，得出了|OR|2關(guān)于sinα與cosα的表達(dá)式，同理將參數(shù)方程代入直線方程得出|OP|與sinα與cosα的表達(dá)式，然后根據(jù)|OQ|·|OP|=|OR|2計(jì)算表達(dá)式，最終將kOP=tanα=代入中，得出軌跡方程.

三、坐標(biāo)法

根據(jù)題意可知，點(diǎn)Q不在原點(diǎn)，假設(shè)P，R，Q三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x，y均不為0，當(dāng)P不在y上時(shí)，根據(jù)R在橢圓上以及O，Q，R三點(diǎn)共線可得方

由點(diǎn)在P在直線上上以及O，Q，P三點(diǎn)共線可得方程組：

當(dāng)P在y上時(shí)，式（1）~（4）同樣成立.

根據(jù)題意|OQ·||OP|=|OR|2,得將（1）~（4）代入上式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理得

因?yàn)閤與xP同號(hào)或者y與yP同號(hào)，以及（3）（4）可知，2x+3y＞0，因此軌跡方程為

點(diǎn)撥：本解題方法為坐標(biāo)法，首先假設(shè)P，R，Q三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（xP，yP），（xR，yR），（x，y），然后利用三點(diǎn)共線來(lái)求得他們之間的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)已知條件|OQ|·|OP|=|OR|2，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，最終求得的x，y的表達(dá)式即為軌跡方程.

三、總結(jié)提高

一道好題，能夠引導(dǎo)學(xué)生從多角度去思考問(wèn)題，深層次地分析問(wèn)題，可以活躍學(xué)生的思路，開拓學(xué)生的思維.所以在平時(shí)的高考復(fù)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)對(duì)這些一題多解的問(wèn)題加以重視，從問(wèn)題中去學(xué)習(xí)，去思考.提煉精華，去其糟粕.

對(duì)于什么樣的題目需要一題多解呢？筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)中的大多數(shù)題目是需要進(jìn)行一題多解的，尤其是各省的高考真題和每年的高考模擬題，這些題目往往都凝聚了命題人數(shù)學(xué)思想的精華，這些題目都是經(jīng)過(guò)一線教師深思熟慮的，考查的往往都是學(xué)生的薄弱點(diǎn)，所以對(duì)這些高質(zhì)量的題目進(jìn)行一題多解是非常有必要的，通過(guò)對(duì)高質(zhì)量的題目進(jìn)行一題多解，從多角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考，往往能夠發(fā)現(xiàn)知識(shí)的薄弱點(diǎn)，從而加以補(bǔ)強(qiáng).

一題多解的最終目的到底是什么？筆者認(rèn)為關(guān)鍵在于建立知識(shí)體系，通過(guò)一題多解，將各個(gè)方面的知識(shí)進(jìn)行整合，建立一個(gè)屬于自己的知識(shí)體系，在解題時(shí)才能夠做到有的放矢，從容不迫.在遇到題目需要解答時(shí)，只要從自己的大腦中進(jìn)行思考，找到所屬的知識(shí)分支，大多數(shù)的問(wèn)題都會(huì)迎刃而解.

1.汪波.從高考題看圓錐曲線的共性特征［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（5）.

2.牛寒杰，何志奇.讓學(xué)生的思維在課堂中自然流淌——以高三一輪復(fù)習(xí)“圓錐曲線中的轉(zhuǎn)化問(wèn)題”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（2）.

3.劉志有.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線教學(xué)的有效性策略分析.［J］數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（3）.J