高考中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問(wèn)題

☉江 蘇 省 儀 征 中 學(xué) 鄧迎春

☉南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué) 張曉飛

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的，具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力.高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間既有獨(dú)立性，又相互交融，形成一個(gè)有機(jī)整體.下面結(jié)合2017年高考數(shù)學(xué)真題，就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查加以實(shí)例剖析.

一、數(shù)學(xué)抽象

主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征.

例1（2017·全國(guó)Ⅰ理·5）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f（1）=-1，則滿(mǎn)足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范圍是（ ）.

（A）［-2，2］ （B）［-1，1］

（C）［0，4］ （D）［1，3］

分析：先根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的性質(zhì)得到f（-1）的值，結(jié)合不等式-1≤f（x-2）≤1的等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的性質(zhì)加以抽象轉(zhuǎn)化，從而得以求解.

解析：由于函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為奇函數(shù)，那么f（-1）=-f（x）=1，則不等式-1≤f（x-2）≤1可轉(zhuǎn)化為f（1）≤f（x-2）≤f（-1）.又函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，則有1≥x-2≥-1，解得1≤x≤3.故選D.

點(diǎn)評(píng)：從具體的題設(shè)背景出發(fā)，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)抽象出涉及函數(shù)的不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).由一般的不等式轉(zhuǎn)化為涉及函數(shù)的不等式，充分展示數(shù)學(xué)抽象的魅力，為進(jìn)一步分析求解奠定基礎(chǔ).

二、邏輯推理

主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類(lèi)比；一類(lèi)是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.

例2 （2017·全國(guó)Ⅱ文·9，理·7）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢(xún)問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī).根據(jù)以上信息，則（ ）.

（A）乙可以知道四人的成績(jī)

（B）丁可以知道四人的成績(jī)

（C）乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

（D）乙、丁可以知道自己的成績(jī)

分析：抓住“甲看了乙、丙的成績(jī)后還是不知道自己的成績(jī)”，由此可知“乙、丙（或甲、?。┑某煽?jī)是一個(gè)優(yōu)秀、一個(gè)良好”，進(jìn)而再結(jié)合相關(guān)的信息加以準(zhǔn)確合情推理與分析.

解析：由于“甲看了乙、丙的成績(jī)后還是不知道自己的成績(jī)”，由此可知“乙、丙的成績(jī)是一個(gè)優(yōu)秀、一個(gè)良好”，而乙看了丙的成績(jī)，由此知乙可以知道自己的成績(jī)；由于“乙、丙的成績(jī)是一個(gè)優(yōu)秀、一個(gè)良好”，那么剩下的“甲、丁的成績(jī)也是一個(gè)優(yōu)秀、一個(gè)良好”，而丁看了甲的成績(jī)，由此知丁可以知道自己的成績(jī).故選D.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)合情推理在實(shí)際生活中的應(yīng)用考核邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在實(shí)際推理問(wèn)題中，只要我們抓住問(wèn)題的要點(diǎn)加以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)加以分析判斷，進(jìn)行邏輯推理，往往可以達(dá)到意想不到的效果.

三、數(shù)學(xué)建模

主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題.

例3 （2017·浙江·15）已知向量a，b滿(mǎn)足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

分析：根據(jù)條件建立與之相關(guān)的單位圓上的向量，通過(guò)構(gòu)圖結(jié)合平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算并利用幾何圖形加以直觀(guān)分析，建立與之對(duì)數(shù)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合法確定兩向量共線(xiàn)或垂直時(shí)取得相應(yīng)的最值問(wèn)題，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

解析：如圖1，設(shè)a= O→A，b= O→B，其中點(diǎn)A是在以點(diǎn)O為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則知|a+b|+|a-b|=|OD|+|AB|=|AB|+|AC|，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|AB|+|AC|最小，此時(shí)|AB|+|AC|=|BC|=4；

當(dāng)AO⊥BC時(shí)，|AB|+|AC|最大，此時(shí)|AB|+|AC|=2|AB|=2.

綜合可得4≤|a+b|+|a-b|≤2.

圖1

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)平面向量本身具有“形”的特征，結(jié)合條件建立相應(yīng)的幾何圖形，通過(guò)構(gòu)造平面幾何的數(shù)學(xué)模型，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).解答時(shí)，把問(wèn)題放在特殊的幾何圖形中加以直觀(guān)分析與判斷，利用數(shù)形結(jié)合法解答更直觀(guān)、更簡(jiǎn)捷、更可行，便于判斷與操作.

四、直觀(guān)想象

主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀(guān)模型，探索解決問(wèn)題的思路.

例4 （2017·全國(guó)Ⅱ文·6，理·4）如圖2，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（ ）.

（A）90π （B）63π

（C）42π （D）36π

分析：根據(jù)三視圖先確定該幾何體是一個(gè)圓柱由一平面截去一部分后所得，通過(guò)組合兩個(gè)一樣的圖形組合就成一個(gè)圓柱來(lái)求解對(duì)應(yīng)的體積問(wèn)題.

圖2

解析：由三視圖知，該圓柱的底面圓半徑r=3，由一個(gè)平面截去后剩下部分的一條最短母線(xiàn)長(zhǎng)為4，一條最長(zhǎng)母線(xiàn)長(zhǎng)為10，如圖3所示，那么兩個(gè)一樣的圖形組合就成一個(gè)圓柱，則對(duì)應(yīng)的體積為V=×πr2×（4+10）=63π.故選B.

圖3

點(diǎn)評(píng)：借助三視圖，憑借實(shí)物感官經(jīng)驗(yàn)，可直觀(guān)聯(lián)想該空間幾何體的直觀(guān)圖，考查了直觀(guān)想象的核心素養(yǎng).在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，往往先從宏觀(guān)角度直觀(guān)想象原空間幾何體的大致輪廓，再結(jié)合三視圖進(jìn)行微觀(guān)上的分析，畫(huà)出大致圖形，真正做到從圖形入手，學(xué)會(huì)畫(huà)圖、識(shí)圖、用圖，培養(yǎng)空間想象能力.

五、數(shù)學(xué)運(yùn)算

主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.

例5 （2017·全國(guó)Ⅲ理·20（1））已知拋物線(xiàn)C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線(xiàn)段AB為直徑的圓.證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

分析：設(shè)出直線(xiàn)l的方程，通過(guò)聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的方程確定y1+y2與y1y2的值，結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式得到O →A⊥O →B，設(shè)而不求，從而達(dá)到證明坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上的目的.

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），l：x=my+2，

則△=4m2+16＞0，y1+y2=2m，y1y2=-4.

又=x1x2+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（m2+1）y1y2+2m（y1+y2）+4=（m2+1）×（-4）+2m×2m+4=0，

所以，故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上.

點(diǎn)評(píng)：涉及此類(lèi)運(yùn)算問(wèn)題，往往借助平面向量的轉(zhuǎn)化，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合向量的位置關(guān)系、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積等，整體代入，設(shè)而不求，很好達(dá)到解決問(wèn)題的目的.借助圓錐曲線(xiàn)中的代數(shù)運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).解析幾何中的運(yùn)算通常以“繁、長(zhǎng)、巧”于一體，過(guò)程繁雜，經(jīng)常有巧思妙想所在.在處理過(guò)程中，要認(rèn)識(shí)到解題環(huán)節(jié)產(chǎn)生的運(yùn)算，交通過(guò)分析進(jìn)行合理調(diào)控，深入理解算理，提高運(yùn)算的靈活性.

六、數(shù)據(jù)分析

主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論.

例6 （2017·山東文·8）如圖4所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（ ）.

（A）3，5 （B）5，5 （C）3，7 （D）5，7

分析：先由莖葉圖中的甲組數(shù)據(jù)確定相應(yīng)的中位數(shù)，進(jìn)而確定參數(shù)y的值；結(jié)合y的值的確定計(jì)算乙組數(shù)據(jù)的平均值，結(jié)合條件計(jì)算甲組數(shù)據(jù)的平均值得到參數(shù)x的值.

圖4

解析：由莖葉圖知，甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，結(jié)合乙組數(shù)據(jù)可得y=5；

由此可得乙組數(shù)據(jù)的平均值為（59+61+65+67+78）=66，則有（56+62+65+70+x+74）=66，解得x=3.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)莖葉圖的識(shí)別與應(yīng)用，統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)信息與數(shù)據(jù)特征的處理來(lái)考查數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).解決此類(lèi)莖葉圖問(wèn)題，關(guān)鍵是從莖葉圖中正確讀出對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)信息，要正確地理解樣本數(shù)據(jù)特征的概念以及正確地用來(lái)估計(jì)總體，結(jié)合相應(yīng)的公式加以正確數(shù)據(jù)分析與數(shù)據(jù)處理.

其實(shí)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為新課程發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)有針對(duì)性地發(fā)展學(xué)生各核心素養(yǎng)方面的訓(xùn)練.同時(shí)，高考命題也是緊緊圍繞高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，注重“四基三能”，凸顯了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的導(dǎo)向性，通過(guò)不同問(wèn)題的滲透，考查學(xué)生各方面的思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)能力.J