基于分層教學(xué)理論的高中雙曲線漸近線的學(xué)案設(shè)計(jì)

☉內(nèi)蒙古包頭市第四中學(xué) 張 輝

高中數(shù)學(xué)人教A版選修1-1《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》一節(jié)正文中對(duì)雙曲線的漸近線的介紹比較簡(jiǎn)單，主要是通過(guò)多媒體演示讓學(xué)生感受漸近的過(guò)程，而該過(guò)程的證明實(shí)際上在本節(jié)課后的“探究與發(fā)現(xiàn)”部分給出.就近些年高考題來(lái)看，對(duì)漸近線的考查也僅限于簡(jiǎn)單的應(yīng)用，所以很多教師對(duì)漸近線的教學(xué)也是輕描淡寫、浮于表面，尤其對(duì)文科數(shù)學(xué)的教學(xué)更是如此.筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)切不可“急功近利”，上課只講考的內(nèi)容，不考內(nèi)容只字不提，那樣數(shù)學(xué)課就會(huì)變成“識(shí)記課”，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也就無(wú)從談起.

在受分層教學(xué)思想的影響下，本人覺(jué)得在講授雙曲線的漸近線內(nèi)容時(shí)不僅不能輕描淡寫，還要根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)不同，精心設(shè)計(jì)出適合各類學(xué)生的學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的思考與探索領(lǐng)會(huì)雙曲線漸近線的本質(zhì).在學(xué)習(xí)兄弟學(xué)校賈老師的一節(jié)課后，整理出如下學(xué)案：

學(xué)案A：

（1）函數(shù)y=（k≠0）的圖像是什么圖形？

（2）函數(shù)y=（k≠0）的圖像的漸近線分別是什么？

（3）圖1表示雙曲線C：x2-=1，同學(xué)們認(rèn)為該雙曲線有漸近線嗎？

（4）如果有，請(qǐng)?jiān)囍嬕划?，猜一猜漸近線方程.

（5）漸近線方程的斜率是什么？斜率與雙曲線方程中的“a，b”有關(guān)系嗎？

圖1

（6）雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的漸近線的方程是______.

（7）請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍f(shuō)說(shuō)“漸近線”的“漸近”的表象：______.

（8）當(dāng)過(guò)第一、三象限的漸近線的斜率______時(shí)，雙曲線的口越_____；斜率______時(shí)，雙曲線的口越______.

（9）等軸雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____.

學(xué)案B：

（1）函數(shù)y=k x（k≠0）的圖像的漸近線分別是什么？

（2）在圖1中畫一畫雙曲線C：x2-=1的漸近線，并猜一猜方程.

（3）漸近線方程的斜率是什么？斜率與雙曲線方程x2-=1中的“a，b”有關(guān)系嗎？

（4）雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的漸近線的方程是______.

（5）請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍f(shuō)說(shuō)“漸近線”的“漸近”的表象：______.

（6）當(dāng)過(guò)第一、三象限的漸近線的斜率______時(shí)，雙曲線的口越_____；斜率_____時(shí)，雙曲線的口越______.

（7）等軸雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____.

學(xué)案C：

（1）我們學(xué)習(xí)過(guò)反比例函數(shù)的圖像是______其漸近線是______，如何描述其“漸近”特征？

（2）雙曲線C有漸近線嗎？如果有，請(qǐng)畫一畫，猜一猜漸近線方程是______.

（3）你有什么理由認(rèn)為上述方程是雙曲線的漸近線？

①根據(jù)雙曲線的______性，我們可以將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化成研究第______象限的問(wèn)題.

②如何說(shuō)明第______象限內(nèi)的漸近線與雙曲線的位置關(guān)系？

③用什么數(shù)字特征刻畫“漸近線”的“漸近”特征呢？

④這種數(shù)字特征運(yùn)算方便嗎？還有相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)字特征來(lái)刻畫“漸近線”的“漸近”特征嗎？

⑤我們?cè)趯W(xué)習(xí)哪部分知識(shí)用到了相似的方法？

⑥雙曲線漸近線的斜率變化影響雙曲線什么幾何特征？

這三個(gè)學(xué)案分別適合基礎(chǔ)在低、中、高層次的學(xué)生.雖然都是從學(xué)生熟悉的反比例函數(shù)的漸近線入手，一步步引出所要學(xué)的雙曲線漸近線的一般性質(zhì).但是，可以看出，學(xué)生基礎(chǔ)水平越低，問(wèn)題設(shè)置越簡(jiǎn)單，跨度越小；學(xué)生基礎(chǔ)水平越高，問(wèn)題設(shè)置越難，跨度越大，涉及的內(nèi)容也越深越廣.如此“因材施教”，才能讓學(xué)生更輕松卻也更深刻地掌握雙曲線的性質(zhì).在教學(xué)過(guò)程中，我們要針對(duì)不同層次的學(xué)生在理解過(guò)程中可能遇到的不同問(wèn)題進(jìn)行學(xué)案設(shè)計(jì)，使他們?cè)谡莆栈A(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上得到不同層次的能力提升.

1.人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)A版選修1-1數(shù)學(xué)［M］.人民教育出版社，2007（2）.

2.翁開(kāi)鋒.高中數(shù)學(xué)分層導(dǎo)學(xué)案模式的教學(xué)實(shí)踐研究.課程教育研究［J］，2017（7）.

3.包水耿.關(guān)于雙曲線的漸近線的若干結(jié)論及其應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2002（7）.F