一個(gè)類Lehmer問(wèn)題誤差項(xiàng)的均值估計(jì)

田清,丁麗萍

(西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710055)

1 引言

設(shè)奇數(shù)q>2,整數(shù)a與q互素,對(duì)任何滿足條件1≤b

這里表示所有與q互素的b求和.不難看出M(a,q)即表示同余方程

滿足條件1≤b,c

這里?(q)為歐拉函數(shù),d(q)為除數(shù)函數(shù).不僅如此,文獻(xiàn)[3]還定義了誤差項(xiàng)

并利用Dedekind和與Cochrane和的性質(zhì)給出了

這里表示q的所有素因子p的乘積,滿足pα|q且pα+1?q.

引入類Lehmer問(wèn)題如下:設(shè)奇數(shù)q>2,整數(shù)a與q互素,N(a,q)表示同余式

并且c和奇偶性不同的解b,c的個(gè)數(shù).對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的研究是非常有意義的,因?yàn)閷?duì)Lehmer問(wèn)題一系列的研究方法和成果在偽隨機(jī)數(shù)列的構(gòu)造中發(fā)揮重要作用[4].而類Lehmer問(wèn)題似乎比Lehmer問(wèn)題更加復(fù)雜,以至于我們至今都沒(méi)有找到獲得類Lehmer問(wèn)題誤差項(xiàng)

一次均值的有效方法.為此,本文將利用Cochrane[5-8]

的性質(zhì)給出E(a,q)的平均階估計(jì)及一次混合均值,即得到如下兩個(gè)定理.

定理 1.1設(shè)任意奇數(shù)q>2,整數(shù)a與q互素,有

這里ε是小于1的正數(shù),?表示兩側(cè)函數(shù)平均階相同.

定理 1.2設(shè)任意奇數(shù)q>2,有漸近公式

2 幾個(gè)引理

為證明定理,首先引入下面幾個(gè)引理.

引理 2.1[9]設(shè)奇數(shù)q>2,χ是模為q的特征,則有恒等式

引理 2.2設(shè)奇數(shù)q>2,整數(shù)a與q互素,有恒等式

證明由N(a,q)的定義及特征的正交性質(zhì)可得

如果χ(?1)=1,有

而如果χ(?1)=?1,則有

結(jié)合引理2.1及(1),(2)和 (3)式,可得

于是完成了引理2.2的證明.

引理 2.3設(shè)奇數(shù)q>2,整數(shù)a與q互素,χ是模為q的特征,則有

和

證明證明方法類似文獻(xiàn)[3]中引理1.

3 定理證明

結(jié)合上述引理,給出定理的證明:

定理 1.1的證明由引理2.2和引理2.3可得

又由參考文獻(xiàn)[3]可知

由此可得

定理1.1證明完畢.

下面給出定理1.2的證明.

定理 1.2的證明同樣由引理2.2和引理2.3得

另一方面,利用參考文獻(xiàn)[3]中的方法可以得到

和

將此代入(4)式即可得

定理1.2證明完畢.

本文利用解析方法研究了一個(gè)類Lehmer問(wèn)題的誤差項(xiàng)均值估計(jì)問(wèn)題,給出了它的平均階估計(jì)和一個(gè)一次混合均值的漸近公式.能否得到其它與Lehmer問(wèn)題類似的結(jié)果,還有待于進(jìn)一步研究.

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