彈性圓環(huán)在剛壁上的撞擊回彈

李鳳云， 吳志鵬， 鄭宇軒， 周風華， 余同希,2(. 寧波大學 沖擊與安全工程教育部重點實驗室，寧波 352； 2. 香港科技大學 機械工程系，中國 香港 999077)

日常生活和工程實踐中充斥著大量的碰撞事件。高速行駛汽車間的碰撞，汽車撞擊護欄、樹木等固定物，船舶間的碰撞及撞擊橋墩等，諸如此類的碰撞事件給社會經(jīng)濟和人身安全都造成了巨大的危害。圓柱殼或圓環(huán)結構作為常用的緩沖吸能結構，其在撞擊過程中的力學響應、結構的變形模式、能量的交換和吸收以及撞擊后的回彈行為備受關注[1-8]。

早期對于圓環(huán)的研究中，主要方向在于塑性環(huán)狀結構的大變形，分別從準靜態(tài)和動載作用兩方面進行了分析。Deruntz等[9]在分析準靜態(tài)壓縮下薄壁圓管結構時，最先提出了四鉸機理。Yu[10]則從結構的角度上，對剛塑性圓環(huán)在一對徑向拉力作用下進行了分析。Reid等[11-12]對于準靜態(tài)和動態(tài)加載下的塑性圓環(huán)進行了系統(tǒng)性的研究，得到了大量的實驗數(shù)據(jù)和理論分析，為工程設計提供可靠的依據(jù)。

作者前期研究工作表明彈塑性圓環(huán)撞擊剛壁后，在較低初始速度下(0.2倍的圓環(huán)屈服速度內(nèi)，通常小于10 m/s)，此時彈塑性圓環(huán)只有彈性變形，回彈速度與初始撞擊速度成正比，恢復系數(shù)COR為定值，且其數(shù)值在3/4左右，表明僅有9/16的圓環(huán)初始動能轉(zhuǎn)化為回彈后的平動動能，另外7/16的圓環(huán)初始動能以彈性波傳播和彈性變形的形式存在。本文進一步研究了一個完全彈性的圓環(huán)在廣泛的初始速度范圍內(nèi)撞擊剛性壁后的動力學響應，利用Abaqus/Explicit動力學程序模擬理想彈性圓環(huán)撞擊剛性壁后的運動過程。同時，在理論上將圓環(huán)等效成曲梁，對其撞擊剛性壁后的動態(tài)響應進行分析。并且研究了完全彈性圓環(huán)的初始撞擊速度、直徑、橫截面積、彈性模量等參數(shù)對彈性圓環(huán)撞擊剛性壁過程中恢復系數(shù)COR的影響。

1 彈性圓環(huán)撞擊剛壁的數(shù)值模擬

建立如圖1所示的有限元模型，圓環(huán)外徑D=200 mm，內(nèi)徑d=180 mm，橫截面為a×b=10 mm×10 mm的正方形，圓環(huán)彈性模量E=210 GPa，密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比μ=0.29。圓環(huán)以一定速度垂直撞擊剛性壁，整個撞擊及回彈過程均為彈性變形。

圖1 有限元模型Fig.1 Finite element model

精確模擬圓環(huán)撞擊剛壁及回彈過程需要網(wǎng)格盡可能精細，但過于精細的網(wǎng)格劃分又需要過高的計算成本。為減少計算結果的網(wǎng)格依賴性，用不同尺寸的四面體(線性或二次)實體單元劃分圓環(huán)。將圓環(huán)沿環(huán)向四等分切割，采用自由網(wǎng)格劃分方式。通過指定4種不同的平均單元尺寸(在1/4圓環(huán)上布局數(shù)量分別為10，15，30，45的種子)，得到了8種不同單元密度及類型的有限元網(wǎng)格。采用Abaqus/Explicit動力學程序模擬初始速度為100 m/s的圓環(huán)垂直撞擊剛性壁的過程，得到圓環(huán)的恢復系數(shù)值如圖2所示，其中恢復系數(shù)COR為撞擊回彈后的質(zhì)心平動速度vr與撞擊前的初始速度v0之比，即COR=vr/v0。可見，二次單元相對線性單元數(shù)值實驗結果更加穩(wěn)定。在下文的計算中，統(tǒng)一選取四面體二次網(wǎng)格進行計算，且1/4圓環(huán)上種子數(shù)量為30。

圖2 不同網(wǎng)格密度及類型計算得到的恢復系數(shù)Fig.2 COR calculated using different meshes

圖3給出了不同初始速度(0.01～600 m/s)的圓環(huán)垂直撞擊剛性壁后的恢復系數(shù)，撞擊速度小于200 m/s時，COR取值集中在0.75～0.8；當撞擊速度達到400 m/s時，COR顯著低于上述范圍，其值在0.54以上。由此可見，日常的撞擊情形(v0≤200 m/s)下，恢復系數(shù)與初始速度弱相關；而在更高撞擊速度(v0≥400 m/s)時，恢復系數(shù)的變化有待進一步的研究。

圖3 圓環(huán)在不同初始速度下的恢復系數(shù)Fig.3 COR under different initial velocities

2 圓環(huán)撞擊回彈理論分析

2.1 圓環(huán)自由振動方程[13-15]

圓環(huán)模型如如圖4(a)所示，忽略轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的影響，考慮如圖4(b)所示的彈性圓環(huán)微元段abcd，其中u為徑向位移，w為周向位移，P為曲梁軸力，F(xiàn)為曲梁剪力，M1為彎矩，f和p分別為沿徑向和切向的外載荷，A為彈性圓環(huán)橫截面的面積，R為圓環(huán)中性面的半徑，ρ為圓環(huán)密度，得到在圓環(huán)面內(nèi)的三個平衡微分方程。

圖4 彈性圓環(huán)微元Fig.4 Differential element of elastic-ring

(1)

幾何方程

(2)

物理方程

σ=Eε

(3)

式中：ε為彈性圓環(huán)的徑向應變；E為彈性模量；σ為圓環(huán)徑向應力。

結合橫斷面力分析和周向中層不可壓縮方程

(4)

并將平衡方程、幾何方程以及物理方程都簡化到關于周向位移w的方程，得到彈性圓環(huán)微元段的控制方程

(5)

式中：I1=?AxdA，表示微元段橫截面的轉(zhuǎn)動慣量，式(5)即為圓環(huán)面內(nèi)自由振動方程。

2.2 模態(tài)分析

對于圓環(huán)撞擊后的自由振動過程，無外力f和p作用，即f=0以及p=0，振動方程簡化為

(6)

假定圓環(huán)撞擊后為諧波振動，則式(6)解的形式為

w(θ,t)=W(θ)eiωt

(7)

其中ω為圓環(huán)振動的頻率。將式(7)代入式(6)可得

(8)

求解式(8)得

W(θ)=Csin(nθ+φ)

(9)

其中C和φ為常數(shù)。代入式(8)可得到圓環(huán)回彈后的振動頻率

(10)

當n=1時，一階振動頻率ω1=0，表明圓環(huán)形狀無變形，運動過程為剛體碰撞，故彈性圓環(huán)振動頻率表達式從n=2開始。

2.3 圓環(huán)回彈后運動的頻譜分析

圓環(huán)撞擊剛性壁后，運動狀態(tài)較為復雜，為平動加多模態(tài)振動形式，通過分析圓環(huán)回彈后徑向和切向的速度規(guī)律，描繪圓環(huán)回彈后的運動形式。撞擊之前，圓環(huán)無變形，以平動速度v0運動。垂直撞擊剛性壁之后，各個位移分量的空間相位角為(軸對稱碰撞)，圓環(huán)具有如下的周向和徑向位移

(11)

其中，C1=vrt為圓環(huán)回彈后的質(zhì)心水平位移，Cn為各階模態(tài)系數(shù)，M為振形階數(shù)，φn為時間相位。

將式(11)對位移進行一階求導可得圓環(huán)的周向速度和徑向速度

(12)

從式(12)可以看出，n=1時，圓環(huán)只有平動；n>1時，既有平動，又有更高階的運動形式。由于圓環(huán)上任意截面的速度都能反應其頻譜特點，故選取圓環(huán)撞擊截面的徑向速度進行頻譜分析，考慮到COR與撞擊速度的弱相關性，選取初始速度為v0=1 m/s、v0=10 m/s、v0=100 m/s和v0=200 m/s的四種圓環(huán)進行頻譜分析。截取頻率以內(nèi)的點，去除回彈后平動速度vr(即圓環(huán)的平動)，頻譜分析如圖5所示。

(a) 初始速度為1 m/s的圓環(huán)頻譜分析

(b) 初始速度為10 m/s的圓環(huán)頻譜分析

(c) 初始速度為100 m/s的圓環(huán)頻譜分析

(d) 初始速度為200 m/s的圓環(huán)頻譜分析圖5 彈性圓環(huán)回彈后頻譜分析圖Fig.5 Spectral analysis of the elastic ring

根據(jù)式(10)，得出數(shù)值計算中彈性圓環(huán)回彈后各階的振動頻率，并結合上述數(shù)值模擬后的結果(選取v0=1 m/s)，得到表1所示的圓環(huán)回彈后振動過程中ω2～ω8的振動頻率對比情況。

表1 各階振型振動頻率ωnTab.1 The frequency ωn in the various modes of vibration

圖5中縱坐標表示各頻率對應的幅值An，由An=nωnCn推出各頻率對應的Cn的值，從而得到各階模態(tài)的系數(shù)分布。以v0=1 m/s的情況為例，對比C1和各階模態(tài)系數(shù)(如圖6所示)可以看出，2階及后續(xù)模態(tài)呈遞減趨勢，且2階之后的頻率占比非常小，其總和遠小于前兩階所占比。所以圓環(huán)回彈后的運動是以1階和2階振動模態(tài)為主的自由振動，故振動的模態(tài)主要集中在低階狀態(tài)，與數(shù)值模擬現(xiàn)象一致。

圖6 初始速度為1 m/s的圓環(huán)Cn分布Fig.6 The distribution of Cn at the rate of 1 m/s

2.4 彈性圓環(huán)恢復系數(shù)的解析解

圓環(huán)撞擊回彈后動能為

(13)

圓環(huán)各點的彎曲曲率表示為徑向位移的微分形式，有

(14)

則勢能

n2)]2sin2(ωnt+φn)

(15)

將式(10)代入式(15)，得到圓環(huán)動能T、勢能U和總能量E的表達式分別為

(16)

(17)

由能量守恒有

(18)

脫離時的幾何條件：在圓環(huán)脫離剛性壁面瞬時(t=0)，圓環(huán)接觸點(θ=0)的瞬時速度為0，則有

(19)

對于脫離時的物理條件，假定在圓環(huán)脫離壁面瞬時(t=0)系統(tǒng)勢能最小，則有

sinφn=0?φn=0

(20)

代入式(19)，得

(21)

聯(lián)立求解方程

(22)

式(22)為無限自由度系統(tǒng)，2個方程無法求解，只能做預估。M為最高振型，取M=2，即只存在平動和2階振型，則有

(23)

而對于高階振形，M≥3，式(22)無法給出確定解(高階振幅與撞擊過程相聯(lián)系)。假定存在n階孤立振形，則有

(24)

(25)

3 圓環(huán)幾何及材料參數(shù)對COR的影響

3.1 圓環(huán)幾何參數(shù)對COR的影響

同一模型，給定圓環(huán)速度v0=100 m/s，分別改變圓環(huán)的截面尺寸(a×b)和圓環(huán)外直徑(D)，其它參數(shù)保持不變，COR對比如圖7所示。

(a) 不同截面圓環(huán)的COR對比

(b) 不同直徑圓環(huán)的COR對比圖7 不同尺寸圓環(huán)的COR對比Fig.7 The contrast of COR in different measurement

由圖7(a)看出，其它參數(shù)不變，只改變截面尺寸，當a∶b在一定范圍內(nèi)(a∶b<1∶4)，不同截面尺寸的圓環(huán)COR變化趨勢基本重合，且COR值在0.8附近，故COR與圓環(huán)截面尺寸呈弱相關關系。由圖7(b)看出，其它參數(shù)不變，只改變直徑大小，在一定的直徑范圍內(nèi)(D<400 mm)，不同直徑尺寸的圓環(huán)COR值穩(wěn)定在0.8附近；但直徑尺寸增加到一定范圍時(如D=1 000 mm)，其COR值會明顯降低。所以圓環(huán)COR值與圓環(huán)截面尺寸、圓環(huán)直徑尺寸在一定范圍內(nèi)弱相關。

3.2 圓環(huán)彈性模量對COR的影響

保持模型其它參數(shù)不變，只改變材料彈性模量E(將圓環(huán)材料的E擴大或減小特定倍數(shù))，COR對比如圖8所示。

由圖8可知，在一定條件下(E≥21 GPa)，彈性模量的改變對圓環(huán)COR無影響，其值同樣落在0.75～0.8，可以近似看做與材料的彈性模量弱相關。但E減小到一定量(如E=2.1 GPa)，COR取值有顯著的改變，曲線最后在0.2附近震蕩，與前者有明顯的差別。

圖8 不同彈性模量下的COR對比Fig.8 The contrast of COR in different elastic modulus

3.3 結果討論

通過對上述情況的分析看出，在較廣泛的參數(shù)范圍內(nèi)，如速度、截面、直徑和彈性模量等的變化，對圓環(huán)COR值的影響很小，可以近似看作是弱相關。但在某些極端條件下，如高速、直徑大幅增加或彈性模量的大幅減小等都會使COR的值顯著下降。為此對撞擊速度v0=400 m/s、圓環(huán)直徑D=1 000 mm、彈性模量E=2.1 GPa三種情況下的圓環(huán)徑向速度作頻譜分析，如圖9所示。

(a) 初始速度為400 m/s的圓環(huán)頻譜分析

(b) 直徑為1 000 mm的圓環(huán)頻譜分析

(c) 彈性模量為2.1 GPa的圓環(huán)頻譜分析圖9 三種情況下的圓環(huán)頻譜分析Fig.9 Spectral analysis of three different situations

從圖9中可以看出，在上述極端情況下，圓環(huán)徑向速度的頻譜分析中，振動頻率顯得雜亂無章，與圖5所示的頻譜分析結果有著顯著差別，說明圓環(huán)回彈后振動形式異常復雜，從而造成COR值的顯著改變。

4 結 論

數(shù)值計算了彈性圓環(huán)在不同初始速度下垂直撞擊剛性壁回彈的過程，發(fā)現(xiàn)在一般情況下，恢復系數(shù)COR的值主要集中在0.76～0.8的狹窄范圍內(nèi)。

將彈性圓環(huán)等效成曲梁進行理論分析，得到圓環(huán)回彈后面內(nèi)振動的各階振型及相應頻率的解析解。結合數(shù)值模擬的結果發(fā)現(xiàn)，在一般情況下，圓環(huán)在撞擊剛性壁后的回彈是以一階平動和二階振動為主的運動形式。

在較廣泛的參數(shù)范圍內(nèi)，如速度、截面、直徑和彈性模量等的變化，對COR的影響很小，可以近似看作是弱相關。但在某些極端條件下，圓環(huán)的振動過程異常復雜，恢復系數(shù)發(fā)生了顯著改變。

考慮到實際振動是由所有模態(tài)按一定的權重進行疊加組合，雖然低階模態(tài)的所占比重比高階模態(tài)高得多，但是也絕不僅僅是一階模態(tài)能夠完全描述的。從另一方面來講，彈性圓環(huán)不同的入射速度所激發(fā)出來的振動模態(tài)比重必然也是不同的，所以恢復系數(shù)也存在著差異。再者，實際彈性圓環(huán)撞擊中，彈性圓環(huán)與剛性壁分離的過程非常復雜，有限元模擬結果顯示某些碰撞過程中，圓環(huán)和剛性壁完全分離之前會發(fā)生多次的分離和接觸，且接觸點隨速度的不同也會有所變化。因此，后續(xù)工作將進一步分析多次碰撞是否會影響圓環(huán)的振動模態(tài)及恢復系數(shù)。

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