基于橢圓形Monge-Ampére方程的雜散光檢測系統(tǒng)光源特性的研究

張璐璐，趙崎策，徐熙平

（長春理工大學 光電工程學院，長春 130022）

隨著探測器的不斷發(fā)展和改進，其光學系統(tǒng)的精度要求也不斷增高，因此雜散光對于光學系統(tǒng)的影響也越來越大［1-3］。高光譜成像系統(tǒng)實驗中利用PST檢測法對光學系統(tǒng)進行雜散光測試［4-5］。本實驗選擇激光光源作為實驗測試光源是因為其亮度高、色彩好、能耗低、壽命長且體積小的特點，能夠提高實驗的精度和準確性［6］。對于光學系統(tǒng)雜散光檢測的研究開始的相對較早，已有的研究方法是利用離軸三返平行光管來獲得平行光束［7-9］，但是平行光管是基于成像光學方法設計的，得到的光斑質量較差。對于照明系統(tǒng)而言，非成像設計方法更能夠得到較高質量的平行光束，尤其是自由曲面照明設計方法［10］。

本文通過利用自由曲面透鏡代替離軸三返平行光管來獲得均勻性、穩(wěn)定性、準直性較好的平行光束的方法［11-12］，提高高光譜成像系統(tǒng)雜散光檢測的數(shù)量級，降低高光譜成像系統(tǒng)的雜散光系數(shù)，通過調整自由曲面透鏡的參數(shù)，滿足不同光譜的光源測試條件，從而提高整個實驗的精度，降低光學系統(tǒng)在實驗過程中的雜散光系數(shù)［13］。

1 基本原理

高光譜成像系統(tǒng)PST測試實驗包括測試前的光束性能測試和雜散光檢測兩部分，其中被測光束照射到雙柱罐之前應該滿足穩(wěn)定性S＜=5%，均勻性U＜2%，和一定的準直性。已有的實驗采用的是平行光管來得到平行光束。本文為了提高光束性能，更好的滿足實驗測試條件，且避免平行光管的大體積和作用單一的缺點，選取自由曲面來對激光光源的出射光進行改善。

當被測光源為結構緊湊的點光源時，采用基于點光源的自由曲面設計方法可以獲得較好性能的光源。

圖1 點光源光線追跡圖

如圖1所示，采用自由曲面透鏡來改善實驗光源的特性。透鏡的入射面為球面，出射面為自由曲面，點光源S位于入射球面的球心位置，實驗過程中由光源發(fā)出的光經(jīng)過球面入射到自由曲面上點P的位置，經(jīng)自由曲面偏折后其出射光線到達目標面上點T的位置，在球坐標系下點P的坐標可表示為P(θ,φ,P(θ,φ))，通過球坐標運算可得到點P的位置矢量為：

其中，角度φ是入射光線與z軸的夾角，角度θ為入射光線在xoy平面內的投影與x軸的夾角，如圖1所示，根據(jù)微分幾何運算可得曲面在點P處的單位法矢N為：

其中，Pφ和Pθ分別為矢量P關于φ和θ的偏導數(shù)。入射光線的單位矢量I、出射光線的單位矢量O以及曲面單位矢量N三者滿足：

其中，角度α是I和N的夾角；ni和no分別為透鏡材料的折射率和透鏡周圍介質的折射率，對周圍介質為空氣的自由曲面反射器設計no=-1及ni=1。進而可求出點T的坐標：

其中，（Px,Py,Pz）為矢量P的三個分量，（Ix,Iy,Iz）為矢量I的三個分量，（Nx,Ny,Nz）為矢量N的三個分量；z=L，L為光源到目標面之間的照明距離。將該式簡寫成以下形式：

由此可得到x、y和θ、φ之間的坐標變換關系：

其中，T為目標面上點T的位置矢量，J(T)為矢量T的Jacobian矩陣，且

在不考慮量損失的情況下，根據(jù)能量守恒定律，要求透鏡入射面所接收的能量與照明區(qū)域所接收到的能量相等，即滿足：

其中，E(x,y)為目標照明區(qū)域的照度分布，I(θ,φ)為光源的出射光強，R為目標照明區(qū)域，Ω為透鏡入射面接收到的光線所定義的立體角。將公式（6）帶入公式（7）得：

去掉積分號得到：

化簡整理后得到橢圓形Monge-Ampére方程：

其中，系數(shù)Ai=Ai（θ,φ,ρ,ρθ,ρφ）（i=1，…，5），ρθθ和ρ??和ρθρ分別是ρ關于θ和φ的二階偏導數(shù)和混合偏導數(shù)。公式（10）描述了自由曲面對點光源出光進行偏折時光能重新分配過程。為保證目標照明的形狀，還需施加一定的邊界條件：

其中，?Ω和?R分別為空間Ω和R的邊界。這是一個非線性邊界條件，該條件要求邊界?Ω上的光線經(jīng)自由曲面偏折后入射到邊界上?R，然而并沒有給定光線在邊界偏R上落點的具體位置，進而保證了較高的設計自由度。由此得到點光源自由曲面照明設計對應的數(shù)學模型：

至此，本小節(jié)從折射定律和能量守恒定律出發(fā)，建立了點光源自由曲面照明的數(shù)學模型，通過該模型的建立和應用進而改善光源特性。

2 軟件仿真

本實驗利用自由曲面透鏡代替平行光管來獲得平行光束，利用光線追跡軟件Tracepro對光線分布進行仿真，得到三種情況下的仿真光斑分布圖，如圖2所示。

圖2（a）所示為正常情況下模擬光斑的輻照度分布圖，從光斑的分布可以看出，利用橢圓形Monge-Ampére方程的方法設計的自由曲面透鏡的出光分布均勻性較高，達到85.3%，且能量的分布較為平均，光斑的形狀輪廓較為明顯；由于在實際操作過程中光源位置和透鏡的位置均具有安裝誤差，因此還仿真了光源位置偏離3mm的情況，如圖2（b）所示。從圖中可以看出該光斑的分布均勻性較差，且能量較為集中在中間區(qū)域，說明光源的位置誤差對于光斑能量分布的影響較大；圖2（c）是透鏡角度偏離2°情況下的仿真光斑輻照度分布圖，可以看出由于透鏡角度的偏離導致光斑的能量分布呈現(xiàn)出一側強一側弱的趨勢，這對于PST檢測系統(tǒng)的后續(xù)操作將產(chǎn)生較大的影響。因此，在實際操作的過程中，需要注意光源的位置與透鏡的角度這兩個因素的把控。

圖2 模擬光斑輻照度分布圖

3 實驗分析

對于PST測試系統(tǒng)的光束性能測試分為均勻性、準直性和穩(wěn)定性三部分。

本文根據(jù)實驗要求搭建了可見與近紅外光學系統(tǒng)PST測試實驗平臺，PST測試結構原理圖如圖3所示。

圖3 PST測試系統(tǒng)原理圖

PST測試系統(tǒng)主要由光源組、斬波器、鎖相放大器、光電倍增管、平行光管、光探測器、光功率計、雙柱罐、轉臺等部件組成。本文用自由曲面透鏡代替系統(tǒng)中的平行光管，通過實驗測試和分析來提高光束性能。

3.1 光束均勻性測試

首先對通過自由曲面的光斑均勻性進行測試。在光斑出射位置放置二維位移臺，將光功率計固定在二維位移臺上。使光功率計在出射光斑上走S型，每10mm采集一次數(shù)據(jù)。表1為實驗記錄采集到的光功率數(shù)據(jù)。

表1 光源均勻性實驗測試數(shù)據(jù)表

由表1得出測試結果中最大值和最小值，分別將最大值和最小值分別代入均勻性計算公式：

根據(jù)實驗設計要求，計算結果U=1.461%＜2%，則認為光束均勻性滿足實驗要求。

3.2 光束準直性測試

在光學系統(tǒng)PST測試實驗中，主要的雜光光源是太陽光，太陽與光學系統(tǒng)的距離可以認為是無窮遠，因此太陽光可以認為是平行光。本文光源透過自由曲面透鏡的出射光斑是模擬太陽光。采用“五棱鏡法”對出射光的準直性進行測試。原理如圖4所示。

圖4 準直性測試光路圖

為保證光源經(jīng)自由曲面出射后發(fā)散角小于1″，實驗中選擇CCD像元尺寸大于4.12×105dCCDmm，實驗得出發(fā)散角為0.7″，滿足實驗精度的要求。

3.3 光束穩(wěn)定性測試

開啟光源并使其工作在穩(wěn)定的狀態(tài)，光功率計固定在出射光斑的某一點出，每隔10min測試一次該點的光功率，連續(xù)測試100min，取測試結果的最大值和最小值。

實驗中光源穩(wěn)定性計算公式如下：

根據(jù)表2中的實驗數(shù)據(jù)，計算得到S=0.847≤5%，則平行光束的穩(wěn)定性滿足實驗要求。

表2 光源穩(wěn)定性實驗測試數(shù)據(jù)表

4 結論

本文利用解橢圓形Monge-Ampére方程的方法設計了自由曲面光學透鏡，并應用于PST檢測系統(tǒng)中以替代平行光管的出光分布，從仿真結果可以看出，以自由曲面透鏡所得到的準直光線光斑的分布較為均勻，且光斑輪廓明顯，較傳統(tǒng)平行光管的出光性能有了一定的提升。為了驗證所提出方法的正確性，分別設計了光束均勻性、光束準直性和光束穩(wěn)定性實驗，實驗結果表明解橢圓形Monge-Ampére方程的方法設計的自由曲面光學透鏡能夠滿足PST檢測系統(tǒng)的相關要求，并提升了系統(tǒng)的照明性能。

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