由一道?？碱}展開的微專題探究

江蘇省常州市第一中學(xué)

田秀權(quán) 丁春梅 (郵編：213003)

1 試題呈現(xiàn)

解法簡析函數(shù)y=f(x)-m有四個不同的零點(diǎn)，等價于函數(shù)y=f(x)與y=m對應(yīng)的圖象有4個不同的交點(diǎn).作出y=f(x)的圖象，如圖所示.

2 專題探究

教材不提函數(shù)漸近線概念毫不影響漸近線在函數(shù)中的地位，函數(shù)漸近線在各類?？肌⑸踔粮呖碱}中頻繁地展示著它的“妙曼身姿”；再者，教材中導(dǎo)數(shù)概念和雙曲線漸近線的概念的學(xué)習(xí)已經(jīng)為極限思想奠定了一定的基礎(chǔ).故筆者以函數(shù)漸近線為對象進(jìn)行微專題訓(xùn)練和探究.

以下是專題探究過程簡錄.

2.1 初步探究 生成概念

問題1觀察并說出下列曲線的漸近線.

(2)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)；

(3)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)；

(4)函數(shù)y=tanx.

問題2怎么理解函數(shù)漸近線的概念？

(通過學(xué)生的思考、交流，老師的點(diǎn)撥、引導(dǎo)……)歸納出概念：圖象上的點(diǎn)M沿著曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時，如果點(diǎn)M到一條直線的距離無限地趨近與零，那么這條直線稱之為這個函數(shù)圖象的漸近線.

設(shè)計(jì)意圖利用最基本的初等函數(shù)模型引入課題，并由此生成函數(shù)漸近線的概念，情境上讓學(xué)生感到親切熟悉，水到渠成，知識上讓學(xué)生由感性認(rèn)知上升到理性判斷，于無形中引導(dǎo)學(xué)生按照既定目標(biāo)，追求新知識.

2.2 深入探究 突出“函數(shù)模型”

(1)“冪函數(shù)型”函數(shù)的漸近線探究

所謂“冪函數(shù)型”函數(shù)是指以冪函數(shù)為研究對象，對其實(shí)施一系列圖象變換后得到的函數(shù).

問題3在理解函數(shù)漸近線的基礎(chǔ)上，重新思考上述題目.

問題4其他條件不變，把函數(shù)在x≥0時的解析式改成：

結(jié)果如何？

(2)“指數(shù)型”函數(shù)的漸近線探究

所謂“指數(shù)型”函數(shù)是指以指數(shù)函數(shù)為研究對象，對其實(shí)施一系列圖象變換后得到的函數(shù).

問題5其他條件不變，把函數(shù)在x≥0時的解析式改成：

(3)“對數(shù)型”函數(shù)的漸近線探究

所謂“對數(shù)型”函數(shù)是指以對數(shù)函數(shù)為研究對象，對其實(shí)施一系列圖象變換后得到的函數(shù).

問題6設(shè)函數(shù)

評注函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)存在漸近線x=0,對其實(shí)施一系列圖象變換后得到的“對數(shù)型”函數(shù)仍然存在漸近線；比如題中y=lg(x+1)存在漸近線x=-1.

(4)“混合型”函數(shù)的漸近線探究

所謂“混合型”函數(shù)是以兩個或兩個以上初等函數(shù)為研究對象，對其施加有限次的加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算得到的函數(shù).

通過仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，“活躍”在近幾年?？肌⒏呖荚囶}中的“混合型”函數(shù)主要有：y=xex,

,

,y=xlnx,

,

等.

圖1

圖2

評注函數(shù)漸近線的求法：

(1)當(dāng)自變量x→∞時，y→c(c是常數(shù))，則y=c是函數(shù)的一條水平漸近線；

(2)當(dāng)自變量x→x0(x0是常數(shù)，往往是函數(shù)的間斷點(diǎn))時，y→∞,則x=x0是函數(shù)的一條垂直漸近線；

(3)對于漸近線方程是y=ax+b(a≠0)的斜漸近線，這里不做探究.

設(shè)計(jì)意圖在廣義數(shù)學(xué)模型觀下，數(shù)學(xué)是研究“模型”的科學(xué).懷特海在《數(shù)學(xué)與善》一文中說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個體做抽象的過程中對模式進(jìn)行研究”“模型”建構(gòu)是通向數(shù)學(xué)創(chuàng)造的階梯，數(shù)學(xué)教學(xué)中幫學(xué)生建立、總結(jié)、提煉數(shù)學(xué)“模型”，一方面有助于學(xué)生對知識本身的理解和掌握，另一方面更為知識、方法的遷移提供了必須的“前驗(yàn)知識”.

3 經(jīng)典探究 彰顯能力

問題9(2017屆湖南五市十校第四次模擬考試第12題)已知f(x)=xex,g(x)=f2(x)+tf(x)(t∈R),若滿足g(x)=-1的x有四個值,則t的取值范圍為______.

圖3

解因?yàn)闈M足g(x)=-1的x有四個值，所以f2(x)+tf(x)+1=0有4個根.作出f(x)=xex的圖象如圖3(當(dāng)x→-∞時，y→0,故函數(shù)f(x)=xex存在漸近線y=0)所示，令m=f(x),則

再往海邊的話，就該到Cantolio了。這家酒莊成立于70年代，其中一片葡萄藤直接種在海灘上，海灘遍布鈣質(zhì)巖石裂縫。這片葡萄田需要人工種植和采摘，每年的數(shù)量非常有限。Cantolio憑借其高分酒質(zhì)及高性價比，著實(shí)讓人眼前一亮。實(shí)際上這個酒莊的實(shí)力早已彰顯，從2013年起連續(xù)三年在“柏林葡萄酒大獎賽”、“亞洲葡萄酒大獎賽”和“布魯塞爾世界葡萄酒大賽”中拿下金銀獎，意大利最權(quán)威的葡萄酒指南“Luca Maroni”為其評出了90分的高分。如此喝了一圈，最后不如到亞得里亞海邊去大快朵頤，這里的魚蝦非常鮮美！

問題10(2016年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ理科第21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)略.

這道題解法較多，零點(diǎn)存在定理的方法難度較大、對學(xué)生能力要求較高，這里不再贅述.筆者重點(diǎn)介紹函數(shù)漸近線在此題中的應(yīng)用.解法如下：

圖4

圖5

方法二令(x-2)ex+a(x-1)2=0,(x-2)ex=-a(x-1)2.令g(x)=(x-2)ex,g′(x)=(x-1)ex.

當(dāng)x∈(1,+∞)時，g′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-∞,1)時，g′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；x→-∞,y→0,故函數(shù)存在漸近線y=0.

令h(x)=-a(x-1)2,h(1)=0,作出g(x)=(x-2)ex的圖象如圖5所示.所以a∈0,+∞.

設(shè)計(jì)意圖經(jīng)典的?？碱}、高考題對教學(xué)有一定的導(dǎo)向性和示范性作用，通過對經(jīng)典題的研究讓學(xué)生體會漸近線的“價值”，以提升學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.遷移是問題解決的核心，從學(xué)習(xí)遷移理論上看，教育的目的不僅在于使學(xué)生獲得知識、技能和行為方式，更重要的是要促使學(xué)生能將已經(jīng)掌握的知識、技能和行為方式應(yīng)用到新問題解決過程中去，以提升學(xué)生的思維品質(zhì)和綜合能力.

3 幾點(diǎn)感悟

3.1 微專題探究為什么“探”？

鑒于時間的限制和進(jìn)度的要求，很多老師的講評只是停留在就題講題的層面，以講清題目思路、方法的來龍去脈為目的，而不舍得把時間“浪費(fèi)”在錯因的分析以及針對錯因展開的微專題探究上，這在一定程度上導(dǎo)致了學(xué)生“前講后忘”、“錯了還錯”的現(xiàn)象.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，結(jié)合考試的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，在學(xué)生的易錯點(diǎn)處不失時機(jī)的展開微專題探究，可以使錯因明朗化、知識系統(tǒng)化、方法清晰化、思維深刻化.

3.2 微專題探究“探”什么？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行微專題探究的基點(diǎn)是準(zhǔn)確把握學(xué)情和深刻理解教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，課堂教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)牢牢拴住這兩個基點(diǎn).認(rèn)識函數(shù)漸近線的本質(zhì)必須研究清楚兩個問題：一是什么是漸近線；二是研究漸近線的方向和方法是什么.這兩個問題一個是知識，一個是方法，在研究、弄清這兩個問題的基礎(chǔ)上探究、歸納函數(shù)漸近線的常見“函數(shù)模型”，課堂自然朝著系統(tǒng)、深度的方向發(fā)展.教學(xué)中教師只有深刻理解教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，才能抓住這個本質(zhì)明確探究的內(nèi)容和方向.

3.3 微專題探究如何“探”？

“微專題”的設(shè)計(jì)要條理清楚不零散，結(jié)構(gòu)簡潔有深度.如何“探”？ 才能達(dá)到知識系統(tǒng)化更是思維深刻化目的，這取決于對問題的設(shè)計(jì).一方面要重視對“問題串”的設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)一系列相互“關(guān)聯(lián)”的、有“層次性”的“問題串”可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的、連續(xù)的思維的活動；另一方面要重視對問題的變式探究，在比較、變化中體會問題的“形變而質(zhì)不變”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生深刻理解知識的本質(zhì).

1 張乃達(dá).抽象與模式[M].鄭州:大象出版社,2004

2 殷孝鋒.見“微”知著─微專題在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2016(3)