函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)及評(píng)課

郝晶 張強(qiáng)

關(guān)鍵詞：?jiǎn)握{(diào)性；教學(xué)設(shè)計(jì)；評(píng)課

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1009-010X（2018）14-0059-06

一、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析：

“函數(shù)單調(diào)性”概念以函數(shù)思想方法為核心，與函數(shù)定義、性質(zhì)、特殊函數(shù)等其它數(shù)學(xué)知識(shí)有緊密聯(lián)系。在初中教材中，函數(shù)遞增（遞減）概念依據(jù)變量之間依賴關(guān)系，對(duì)函數(shù)變化趨勢(shì)進(jìn)行描述；而高中函數(shù)單調(diào)性概念是用解析法刻畫函數(shù)在其定義域內(nèi)某區(qū)間上圖像的變化及變化趨勢(shì)，同時(shí)結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行幾何解釋。在新概念學(xué)習(xí)過(guò)程中，要注重函數(shù)單調(diào)性概念的理解，同時(shí)突出函數(shù)單調(diào)性的研究方法，注重讓學(xué)生在研究過(guò)程中，體會(huì)用代數(shù)方法研究函數(shù)特征的必要性與重要性，設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)活動(dòng)，增進(jìn)學(xué)生的體驗(yàn)與經(jīng)歷，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。有了以上學(xué)習(xí)積累與經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在研究函數(shù)其他性質(zhì)、解決相關(guān)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性知識(shí)與思想方法對(duì)函數(shù)其他相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行研究。函數(shù)的單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中具有核心地位和承上啟下的重要作用。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

1.注意圖形語(yǔ)言到符號(hào)語(yǔ)言過(guò)渡。通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的觀察，感悟準(zhǔn)確用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的必要性，領(lǐng)會(huì)準(zhǔn)確用符號(hào)語(yǔ)言對(duì)描述函數(shù)性質(zhì)的基本方法。引導(dǎo)學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言歸納、表達(dá)、函數(shù)單調(diào)性概念。

2.通過(guò)學(xué)生熟悉的初等函數(shù)特例研究，理解和感受用解析法證明函數(shù)單調(diào)性基本思想與過(guò)程，增進(jìn)學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算能力；并能根據(jù)定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性。

3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，利用圖像和定義判斷特殊函數(shù)的單調(diào)性，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。

4.通過(guò)對(duì)若干數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，感受函數(shù)單調(diào)性在刻畫函數(shù)變化規(guī)律、解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的思想方法與作用，特別通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)實(shí)際問(wèn)題的解決，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

三、情境與問(wèn)題分析

1.通過(guò)學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)情境，引出本課主題函數(shù)單調(diào)性，同時(shí)借助多媒體的直觀展示，讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像變化趨勢(shì)，過(guò)渡到用代數(shù)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)單調(diào)性。

2.設(shè)置“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生深入思考與研究，總結(jié)研究函數(shù)性質(zhì)規(guī)律與方法。

3.設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)“學(xué)習(xí)活動(dòng)”，將數(shù)學(xué)習(xí)題與練習(xí)轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)問(wèn)題，結(jié)合例題設(shè)置“螺旋上升”式思考問(wèn)題，逐步讓學(xué)生感受并理解以下問(wèn)題：?jiǎn)握{(diào)性定義中，如何理解自變量在給定區(qū)間取值“任意”性？滿足什么條件函數(shù)就是單調(diào)函數(shù)？函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)區(qū)間有什么關(guān)系？單調(diào)函數(shù)證明基本思路與步驟是什么？

4.設(shè)置與現(xiàn)實(shí)相關(guān)的問(wèn)題與情境，感受利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性過(guò)程，體會(huì)利用函數(shù)單調(diào)性表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

四、整體把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)價(jià)值

函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生高中階段學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)特性，是學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)思想與特殊函數(shù)模型的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。教學(xué)分為三個(gè)層次逐步提升學(xué)生數(shù)學(xué)感知與素養(yǎng)——第一個(gè)層次，創(chuàng)設(shè)情境引出課題，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于生活，又能應(yīng)用于生活，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，感受“知識(shí)從哪里來(lái)”；第二個(gè)層次，設(shè)置合理學(xué)習(xí)事件與環(huán)節(jié)，自主探究數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程，通過(guò)逐級(jí)抽象，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值，掌握數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，在學(xué)習(xí)經(jīng)歷中提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；第三個(gè)層次，理解概念與初步應(yīng)用，嘗試用概念解決問(wèn)題是提升概念理解的最佳途徑，在這一過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生 “回歸概念”，體會(huì)用函數(shù)單調(diào)性概念理解和解釋數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路與方法，在用概念過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)推理與證明的習(xí)慣，提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)。

五、學(xué)生學(xué)情分析：

學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中主要存在兩個(gè)方面的困難：第一，從初中描述性遞增（遞減）函數(shù)出發(fā)，需要把具體的、直觀的函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來(lái)，并用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言描述，存在一定思維跳躍；第二，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性過(guò)程，對(duì)學(xué)生在代數(shù)方面嚴(yán)格推理能力的要求較高，應(yīng)該給予學(xué)生自主嘗試空間與時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)語(yǔ)言進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理與證明。

六、學(xué)習(xí)的重、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：1.函數(shù)單調(diào)性的概念抽象過(guò)程。

2.函數(shù)單調(diào)性概念理解。

3.判斷和證明函數(shù)的單調(diào)性。

難點(diǎn)：理解函數(shù)單調(diào)性的概念。

七、教學(xué)策略分析：

1.多媒體演示創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生通過(guò)觀察氣溫變化曲線圖的變化趨勢(shì)，完成對(duì)單調(diào)性直觀認(rèn)識(shí)，為概念的引入提供了必要性，讓學(xué)生結(jié)合已有的初中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)入新課題研究。

2.利用“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí)。圍繞本節(jié)課“核心問(wèn)題”，展開(kāi)小組合作與交流。

3.實(shí)驗(yàn)器材的恰當(dāng)使用，提高了課堂的趣味性，豐富了學(xué)生的直觀感受。

4.多媒體展示和學(xué)生“板演”相結(jié)合，提高課堂效率的同時(shí)注意數(shù)學(xué)推理嚴(yán)謹(jǐn)性。

八、教學(xué)過(guò)程：

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

觀察一個(gè)圖形（函數(shù)），（通過(guò)多媒體給出承德市今年8月8日氣溫變化曲線圖）

思考問(wèn)題：同學(xué)們共同觀察承德市今年8月8日的氣溫曲線圖，如果用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)分析，設(shè)時(shí)間為t，溫度為T，這條曲線表達(dá)的是關(guān)于這兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

預(yù)案：教師結(jié)合學(xué)生回答追問(wèn)：如果設(shè)時(shí)間t為自變量，能從圖中得出自變量的變化范圍嗎？這個(gè)函數(shù)的定義域及它的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】

回歸函數(shù)定義，師生共同總結(jié)：該曲線反映了氣溫T隨時(shí)間t的變化規(guī)律，在區(qū)間[0，24]內(nèi)每給一個(gè)時(shí)間t的值，根據(jù)圖像都有唯一確定的溫度T與之對(duì)應(yīng)，是一個(gè)函數(shù)。

師：觀察圖像，結(jié)合已學(xué)過(guò)的函數(shù)觀點(diǎn)，你能說(shuō)出這一天的氣溫變化規(guī)律嗎？

設(shè)計(jì)要求，學(xué)生獨(dú)立思考，師生共同交流辨析。單調(diào)函數(shù)：（1）當(dāng)天的最高氣溫，最低氣溫及何時(shí)達(dá)到；（2）某些時(shí)段溫度升高，某些時(shí)段溫度降低。

思考問(wèn)題：最高氣溫和最低氣溫是在什么范圍研究的？結(jié)合學(xué)生回答給以及時(shí)評(píng)價(jià)；如果在定義域內(nèi)，根據(jù)函數(shù)在定義域某一個(gè)范圍內(nèi)變化規(guī)律，把定義域分成若干部分進(jìn)行研究，你又會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

師生共同歸納關(guān)鍵點(diǎn)：研究函數(shù)性質(zhì)要在整個(gè)定義域內(nèi)研究；在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上，隨著時(shí)間t的增加，對(duì)應(yīng)溫度升高、降低的變化規(guī)律就是函數(shù)的單調(diào)性，引出課題，板書(shū)課題。

思考問(wèn)題：除了氣溫在某一范圍的變化規(guī)律，你還能舉出生活中具有單調(diào)性質(zhì)的實(shí)例嗎？

預(yù)案：（1）承德市橡膠壩水庫(kù)一年中水位隨時(shí)間的變化；（2）某段時(shí)間學(xué)生身高的變化。

師生共同歸納：拋開(kāi)實(shí)際背景，從函數(shù)觀點(diǎn)看，它們都反映了在定義域內(nèi)的某區(qū)間上，隨著自變量的變化，函數(shù)值變大或變小的規(guī)律（即函數(shù)的單調(diào)性）；在初中學(xué)會(huì)用文字來(lái)描述函數(shù)的單調(diào)性，這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)一種更為方便的定義形式：用符號(hào)語(yǔ)言對(duì)單調(diào)性進(jìn)行代數(shù)刻畫。

【設(shè)計(jì)意圖】

生活情境引入新課，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)可以解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，并向?qū)W生提出這節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（二）探索歸納，建構(gòu)定義

觀察下列函數(shù)圖像，說(shuō)出函數(shù)的變化規(guī)律。

①f（x）=x；②f（x）=-x+1；③f（x）=x2

預(yù)案：學(xué)生回答圖像變化趨勢(shì)并描述函數(shù)的變化規(guī)律，回答思路基本利用初中“描述法”。

【設(shè)計(jì)意圖】

1.由圖像認(rèn)識(shí)增函數(shù)與減函數(shù)，直觀且易于學(xué)生接受；

2.為單調(diào)函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞“區(qū)間上”作鋪墊；

3.讓學(xué)生反復(fù)體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

核心問(wèn)題1：根據(jù)上面的描述，對(duì)比函數(shù)f（x）=x與f（x）=x2在區(qū)間（-∞，+∞）上的變化規(guī)律，說(shuō)出它們的不同點(diǎn)？

預(yù)案：函數(shù)在整個(gè)定義域上都是增函數(shù)，f（x）=x2是在定義域內(nèi)的區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)。

教師追問(wèn)：如果要定義增函數(shù)，應(yīng)該選擇在定義域上還是在定義域內(nèi)的區(qū)間上呢？

師生共同歸納：?jiǎn)握{(diào)性應(yīng)與定義域內(nèi)的區(qū)間相對(duì)應(yīng)。

核心問(wèn)題2：請(qǐng)歸納函數(shù)f（x）=x，f（x）=2x+1在其定義域上和函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間（0，+∞）上的共同特征，并試著用符號(hào)語(yǔ)言表述“函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某區(qū)間D上是增函數(shù)”。

設(shè)計(jì)要求，學(xué)生獨(dú)立思考后并回答出共同特征，然后進(jìn)入小組合作探究，探究核心是，如何用符號(hào)語(yǔ)言表述“函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某區(qū)間D上是增函數(shù)”。

預(yù)案：增函數(shù)的共同特征：在定義域內(nèi)某區(qū)間D上，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；不同小組進(jìn)行符號(hào)表述，但學(xué)生描述可能不準(zhǔn)確，如： 在區(qū)間D上，取兩個(gè)自變量值x1，x2，當(dāng)x1

【設(shè)計(jì)意圖】

由特殊到一般，歸納得到增函數(shù)定義，在自主探究階段中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，利用學(xué)生的思維節(jié)點(diǎn)引導(dǎo)更深層次的思考。

討論交流問(wèn)題：“在函數(shù)f（x）=x2的定義域（-∞，+∞）上，取兩個(gè)自變量值x1=-1，x2=2，由x1

預(yù)案：（1）在定義域（-∞，+∞）上不是增函數(shù)（舉反例如x1=-3，x2=2）；（2）在（0，+∞）上取特殊值；（3）x1，x2取特殊值不具有代表性，任意取才能代表區(qū)間上的所有值。

師生共同思考辨析：歸納得到增函數(shù)定義，進(jìn)一步完善學(xué)生對(duì)增函數(shù)理解。

【設(shè)計(jì)意圖】

定義中取值的“任意性”是關(guān)鍵點(diǎn)，也是學(xué)生理解的難點(diǎn)問(wèn)題，為了幫助學(xué)生對(duì)給定區(qū)間兩個(gè)不同自變量取值的“任意性”理解，教師應(yīng)給以適時(shí)的點(diǎn)撥：區(qū)間上的值有無(wú)數(shù)多個(gè)，是取不完的，因此應(yīng)該注意取值的“任意性”，不可由特殊值代替取值“任意性”。

（三）嚴(yán)格定義，理解概念

教師學(xué)生共同給出增函數(shù)定義，并研究增函數(shù)定義本質(zhì)。

思考問(wèn)題：有了增函數(shù)的定義，請(qǐng)你具體談?wù)勀銓?duì)“f（x）=x2在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)”是怎樣理解的？

預(yù)案：對(duì)定義域： 研究函數(shù)性質(zhì)，首先應(yīng)該在定義域內(nèi)研究； 針對(duì)（0，+∞）這個(gè)區(qū)間，單調(diào)性與定義域內(nèi)區(qū)間相對(duì)應(yīng)，是局部概念；兩個(gè)自變量的取值的任意性，代表了區(qū)間上所有值；自變量變化與相應(yīng)函數(shù)值變化的一致性。

【設(shè)計(jì)意圖】

逐步深化對(duì)單調(diào)函數(shù)定義的理解。

教師追問(wèn)：有了對(duì)函數(shù)性質(zhì)的這些認(rèn)識(shí)，對(duì)比增函數(shù)的定義，你能給出減函數(shù)的定義嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】

讓學(xué)生通過(guò)類比，歸納概括出減函數(shù)定義。

師生共同辨析：減函數(shù)定義及單調(diào)區(qū)間概念。

教師引導(dǎo)：函數(shù)f（x）=x在整個(gè)定義域內(nèi)都是單調(diào)的，而函數(shù)f（x）=x2在其定義域（-∞，+∞）內(nèi)不單調(diào)。

核心問(wèn)題3：回到前面引課時(shí)的氣溫曲線，說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指明函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】

讓學(xué)生正確表達(dá)單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性。

組織活動(dòng)交流：師生共同檢測(cè)判斷學(xué)生對(duì)定義的理解情況，并說(shuō)明理由。

鞏固練習(xí)：判斷下列說(shuō)法是否正確，并結(jié)合定義說(shuō)明理由。

（1）定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x），滿足f（n）

（2）對(duì)于定義域內(nèi)的區(qū)間D，若任意x1，x2∈D，當(dāng)x1>x2時(shí)，都有f（x1）>f（x2），則函數(shù)f（x）在D上是增函數(shù).（ ）

變式：函數(shù)f（x）在D上增函數(shù)，若任意x1，x2∈D，f（x1）>f（x2），則有x1______x2.

（3）對(duì)于定義域內(nèi)的區(qū)間D，任意x1，x2∈D，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]>0，則函數(shù)在D上是增函數(shù).（ ）

【設(shè)計(jì)意圖】

深化學(xué)生對(duì)定義的理解，進(jìn)一步鞏固概念。

師生總結(jié)歸納：有了定義，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)該有新的認(rèn)識(shí)：?jiǎn)握{(diào)性反映了在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上隨自變量的變化，單調(diào)性的定義從代數(shù)形式刻畫函數(shù)變化趨勢(shì)，更加嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確。借助圖像可以直觀感知單調(diào)性，但無(wú)法操作，而且并不是所有函數(shù)的圖像都很簡(jiǎn)單，有些函數(shù)圖像畫不出來(lái)，但可以應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明一個(gè)函數(shù)是否具有單調(diào)性。

（四）知識(shí)應(yīng)用

例1：用定義證明：函數(shù)f（x）=2x+1在其定義域上是增函數(shù).

設(shè)計(jì)要求，關(guān)注推理證明嚴(yán)謹(jǐn)性與推理證明基本思路。（1）用區(qū)間表示定義域；（2）取值（突出“任意性”）兩個(gè)不等的自變量值x1，x2，預(yù)案：以下有學(xué)生完成：不妨設(shè)x1

學(xué)生完成證明后，教師追問(wèn)：如何比較f（x1），f（x2）的大小呢？希望獲得什么關(guān)系，結(jié)論是什么？你的基本推理證明過(guò)程是否完整？推理證明基本思路是什么？你對(duì)嚴(yán)格的推理證明有什么感受？在數(shù)學(xué)推理證明過(guò)程中需要注意什么？總結(jié)歸納。

【設(shè)計(jì)意圖】

讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何分析問(wèn)題，并初步體會(huì)用定義法證明單調(diào)性的過(guò)程中邏輯嚴(yán)密且言必有據(jù)；增強(qiáng)了學(xué)生運(yùn)用代數(shù)法描述單調(diào)性的信心。

師生共同演示小實(shí)驗(yàn)：向上拉動(dòng)活塞，在實(shí)驗(yàn)儀器中用手指封住一定量的氣體，記下此時(shí)儀器上的刻度，用力向下壓活塞并記下此時(shí)儀器上顯示的刻度，結(jié)合手指的感覺(jué)，猜想壓強(qiáng)P隨體積V的變化規(guī)律。

例題2：物理問(wèn)題（見(jiàn)教材）

【設(shè)計(jì)意圖】

不同小組展示，糾正用定義證明過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，讓學(xué)生明確如何從條件和已知出發(fā)獲得想要的結(jié)論和用定義證明單調(diào)性的步驟。

教師追問(wèn)：總結(jié)以上兩個(gè)例題相同點(diǎn)、不同點(diǎn)；總結(jié)歸納證明函數(shù)單調(diào)性一般思路與方法。

（五）能力提升與拓展

【設(shè)計(jì)意圖】

通過(guò)學(xué)生之間的交流，舉出反例，使學(xué)生能夠正確理解單調(diào)性與區(qū)間相對(duì)應(yīng)，并能正確書(shū)寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（六）課堂小結(jié)：

本節(jié)課你有哪些收獲？（學(xué)生交流本節(jié)課學(xué)習(xí)過(guò)程中的體會(huì)和收獲，師生合作共同完成小結(jié)）；

用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟：取值，作差、變形，判定符號(hào)，下結(jié)論；

②數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合；等價(jià)轉(zhuǎn)化；歸納和類比等思想方法的運(yùn)用。

（七）分層作業(yè)：

必做題：課本32頁(yè)《練習(xí)》

九、對(duì)《函數(shù)的單調(diào)性》一節(jié)課的評(píng)課

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容主線之一。“函數(shù)的單調(diào)性”具有承上啟下作用，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有緊密關(guān)聯(lián)；函數(shù)單調(diào)性蘊(yùn)含著用代數(shù)方法研究函數(shù)的思想，在理解、歸納、應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性概念過(guò)程中，需要從具體函數(shù)出發(fā)，完成逐級(jí)抽象過(guò)程，并利用函數(shù)單調(diào)性概念解決一些抽象問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，對(duì)于提升學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理、抽象運(yùn)算素養(yǎng)具有重要意義。本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)從初中學(xué)生思維起點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，利用函數(shù)思想方法研究一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題或特殊函數(shù)變化規(guī)律，在概念形成階段，凸顯概念抽象過(guò)程；在概念鞏固理解階段突出概念本質(zhì)，在概念應(yīng)用階段凸顯數(shù)學(xué)邏輯推理的嚴(yán)密性，在研究與學(xué)習(xí)過(guò)程始終注意“數(shù)形結(jié)合”，凸顯“幾何直觀”；在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，凸顯學(xué)生主觀能動(dòng)性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)起到積極作用。下面從幾個(gè)方面進(jìn)行具體評(píng)析。

（一）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境設(shè)計(jì)到位

從學(xué)生思維角度出發(fā)，從學(xué)生熟悉情境中提煉數(shù)學(xué)材料與問(wèn)題，關(guān)注情境問(wèn)題與其他知識(shí)的關(guān)聯(lián)性。情境設(shè)計(jì)既有現(xiàn)實(shí)情境又有恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境。本節(jié)課數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是從現(xiàn)實(shí)世界現(xiàn)象或數(shù)學(xué)的內(nèi)部問(wèn)題開(kāi)始的，現(xiàn)實(shí)生活中存在大量遞增或遞減問(wèn)題，那么引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度或方法來(lái)認(rèn)識(shí)這些現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題，并將這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的材料，讓學(xué)生了解知識(shí)的背景、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)欲望，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。為了實(shí)現(xiàn)這一目的，從學(xué)生熟知的“溫度變化”入手，“創(chuàng)設(shè)情境，引入新知”，教學(xué)中，抓住新舊知識(shí)聯(lián)系，從學(xué)生認(rèn)識(shí)出發(fā)，回歸函數(shù)定義，并引出新知，這樣設(shè)計(jì)課堂教學(xué)情境，是符合數(shù)學(xué)知識(shí)特征和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的。

（二）注意從整體把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)

從知識(shí)上，關(guān)注初中知識(shí)、高中函數(shù)概念、已經(jīng)學(xué)習(xí)的特殊函數(shù)，關(guān)注與其他學(xué)科知識(shí)關(guān)聯(lián)；從思想方法上，關(guān)注本節(jié)課數(shù)學(xué)本質(zhì)，注意凸顯代數(shù)方法的表達(dá)與抽象過(guò)程，如本節(jié)課設(shè)計(jì)了一個(gè)合理的“探索歸納，建構(gòu)定義”抽象過(guò)程；從數(shù)學(xué)教育價(jià)值上，關(guān)注數(shù)學(xué)思維品質(zhì)培養(yǎng)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展過(guò)程。在學(xué)生觀察感知階段，給出學(xué)生熟悉的特殊函數(shù)，提出問(wèn)題，讓學(xué)生利用舊知識(shí)進(jìn)行分析，同時(shí)建立新舊知識(shí)聯(lián)系，讓學(xué)生感受從哪些角度、什么方法分析函數(shù)變化規(guī)律，判斷研究對(duì)象是具有什么基本特征的函數(shù)等；其次初步利用解析法分析概括特殊函數(shù)的本質(zhì)特征，通過(guò)對(duì)學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)或掌握的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)或材料，經(jīng)過(guò)學(xué)生辨別、類比、化歸、概括、抽象等過(guò)程，感受一類事物的本質(zhì)屬性，即概念或定義的本質(zhì)屬性；最后，明晰數(shù)學(xué)定義，初步運(yùn)用定義，合理設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，完成從具體到抽象、從特殊到一般，最終形成一般函數(shù)單調(diào)性定義；分析利用解析法描述函數(shù)單調(diào)性關(guān)鍵因素，比如對(duì)函數(shù)在給定區(qū)間“任意性”的討論、回歸課堂情境中的問(wèn)題、利用“函數(shù)單調(diào)性”定義判斷分析等，都是圍繞新定義本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生體會(huì)新定義在分析研究函數(shù)單調(diào)性過(guò)程中帶來(lái)了哪些方便，體會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理與運(yùn)算等。

（三）圍繞數(shù)學(xué)本質(zhì)，提出了一系列有學(xué)習(xí)思考價(jià)值的“問(wèn)題串”

問(wèn)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思路和方向，它既體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識(shí)載體，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略。本課教學(xué)設(shè)計(jì)能夠圍繞核心內(nèi)容，設(shè)計(jì)系列“問(wèn)題串”，提升課堂思維質(zhì)量，教師提出問(wèn)題的質(zhì)量決定了教學(xué)的質(zhì)量，課堂問(wèn)題要能夠反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，并在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)發(fā)問(wèn)。教師圍繞變量本質(zhì)特征，結(jié)合函數(shù)概念本質(zhì)，設(shè)計(jì)提出問(wèn)題，引出新課題，圍繞“解析法”歸納、總結(jié)、提煉一類事物本質(zhì)屬性，認(rèn)識(shí)單調(diào)性本質(zhì)，關(guān)注用定義中數(shù)學(xué)語(yǔ)言分析研究對(duì)象，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定義解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。本教學(xué)設(shè)計(jì)有效發(fā)揮了“問(wèn)題串”引領(lǐng)、提升數(shù)學(xué)思維能力的作用。

本節(jié)課教師關(guān)注師生互動(dòng)，給予了學(xué)生思維發(fā)展空間，但在如何發(fā)揮學(xué)生能動(dòng)性，讓學(xué)生“沖鋒在前”主動(dòng)提出“自己的問(wèn)題”方面，以及形成更多的課堂生成方面，還需進(jìn)一步改進(jìn)與提升。