基于Kriging插值的鋼軌打磨溫度預(yù)測

曾威，丘文生，宋紅，解歡，楊岳

(1. 西安石油大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710065；2. 中南大學(xué) 交通運輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；3. 西京學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710123)

鋼軌打磨施工過程中，約 60%～95%的磨削功將轉(zhuǎn)化成為熱量堆積在磨削區(qū)域[1]，使得打磨作業(yè)區(qū)域溫度迅速升高。過高的溫度會改變鋼軌表層材料的金相組織，導(dǎo)致鋼軌灼傷，造成鋼軌打磨“發(fā)藍(lán)”事故[2]。因此，建立鋼軌打磨溫度模型，計算不同打磨參數(shù)下打磨溫度，可為鋼軌打磨施工中打磨參數(shù)的優(yōu)化提供依據(jù)。聶蒙等[3]基于Matlab建立了單打磨頭作業(yè)與多打磨頭聯(lián)合作業(yè)的打磨磨削溫度模型，通過仿真計算獲得了單打磨頭作業(yè)與多打磨頭聯(lián)合作業(yè)工況下的模型溫度變化趨勢。張青等[4]通過建立鋼軌打磨三維熱彈性有限元模型，分析了打磨參數(shù)對打磨磨削溫度的影響規(guī)律。ZHANG等[5]將打磨砂輪等效為移動熱源，應(yīng)用有限元方法分析了多個打磨砂輪聯(lián)合作業(yè)條件下打磨溫度變化趨勢，能夠為打磨模式的優(yōu)化提供依據(jù)。上述研究成果對合理控制鋼軌打磨溫度，優(yōu)化鋼軌打磨模式具有積極作用。但是，在每次調(diào)整打磨參數(shù)后，均需要重復(fù)進(jìn)行較為復(fù)雜的打磨溫度數(shù)值模型與有限元模型建模、仿真，導(dǎo)致打磨參數(shù)設(shè)計周期較長。尤其是當(dāng)需要建立鋼軌打磨列車打磨參數(shù)在線優(yōu)化系統(tǒng)時，該種方法不能實現(xiàn)鋼軌打磨工藝參數(shù)的實時在線設(shè)計、優(yōu)化，影響了鋼軌打磨施工效率。因此，有必要建立鋼軌打磨參數(shù)與打磨溫度間的預(yù)測模型，實現(xiàn)鋼軌打磨溫度的實時在線預(yù)測。本文建立鋼軌打磨單磨粒磨削溫度模型和多砂輪打磨磨削溫度模型，分別計算不同打磨參數(shù)對應(yīng)的鋼軌打磨溫度。以此為基礎(chǔ)，采用 Kriging插值方法，構(gòu)建鋼軌打磨參數(shù)與打磨溫度間的預(yù)測模型，實現(xiàn)不同打磨參數(shù)下打磨溫度的實時在線預(yù)測，為構(gòu)建鋼軌打磨列車打磨參數(shù)在線優(yōu)化系統(tǒng)提供理論支撐。

1 鋼軌打磨單磨粒磨削溫度模型

鋼軌打磨過程中，打磨砂輪對鋼軌表面的磨削是由無數(shù)個帶有微小切削刃的磨粒共同作用實現(xiàn)的[6]。打磨過程中每個砂輪磨粒與鋼軌表面接觸時均會產(chǎn)生熱量，可建立單磨粒磨削模型進(jìn)行砂輪熱效應(yīng)分析[3]。

1.1 單磨粒磨削有限元模型

為保證磨削模型的精度，根據(jù)商維等[7]的研究結(jié)果，使用圖1所示圓錐形磨粒進(jìn)行鋼軌打磨磨削仿真計算時，可以獲得與實際情況相吻合的分析結(jié)果?？紤]磨粒強(qiáng)度與硬度遠(yuǎn)大于鋼軌金屬材料的強(qiáng)度和硬度，因此將磨粒視作為剛體，忽略磨粒的磨損，不進(jìn)行網(wǎng)格劃分。由于磨粒尺寸遠(yuǎn)小于鋼軌尺寸，且打磨接觸時間很短，因此將被打磨范圍內(nèi)的鋼軌材料設(shè)置成長方體，可以滿足磨削溫度仿真精度需求。在Abaqus中，以0.02 mm為網(wǎng)格劃分尺度[5]，并對表層2mm網(wǎng)格結(jié)構(gòu)進(jìn)行自動加密處理，建立的鋼軌打磨單磨粒磨削模型如圖2所示。

圖1 單磨粒模型Fig. 1 Single grain model

圖2 單磨粒磨削有限元模型Fig. 2 Single grain grinding finite element model

1.2 材料本構(gòu)模型及材料參數(shù)

使用如式(1)所示的Johnso-Cook材料本構(gòu)方程描述鋼軌材料，其具體形式如式(1)[8]所示。

其中：A，B，n，C和m均為材料參數(shù)，分別表示材料的屈服極限、硬化模量、硬化系數(shù)、應(yīng)變率指數(shù)和熱軟化系數(shù)；ε表示材料的等效塑性應(yīng)變；ε*表示等效塑性應(yīng)變率；Tr表示室溫；Tm表示材料的融化溫度，描述了材料的流動應(yīng)力與溫度、應(yīng)變率敏感指標(biāo)間的關(guān)系。

鋼軌打磨砂輪的磨粒材料是氧化鋁，鋼軌材料則為U75Mn。磨粒與鋼軌材料的物理特性相關(guān)參數(shù)分別如表1和表2所示。

表1 氧化鋁磨粒材料性能參數(shù)Table 1 Material properties of aluminium oxide grain

表2 U75Mn鋼材料性能參數(shù)Table 2 Material properties of U75Mn steel

根據(jù)磨粒和鋼軌材料特性，確定 Johnso-Cook本構(gòu)模型中的參數(shù)分別為：A=792 MPa，B=510 MPa，n=0.26，C=0.014，m=1.03。Tm=1 370 ℃，Tr=25 ℃。

為了模擬磨削過程中的切屑分離過程，使用Johnso-Cook剪切失效模型，該模型是基于式(2)所示的累積損壞法則推導(dǎo)出來的：

其中：εf為材料發(fā)生破壞時的臨界應(yīng)變值，可以使用式(3)計算：

其中：Δε是材料累積破壞應(yīng)變值；D1～D5為常數(shù)；D=1時，表明材料發(fā)生失效。對于鋼軌材料U75Mn，D1～D5的取值分別為：0.05，3.44，?2.12，0.002和0.61。

1.3 有限元分析結(jié)果

鋼軌打磨砂輪使用端面對鋼軌表面進(jìn)行磨削，因此沿砂輪徑向不同磨粒的線速度是不同的。但是，由于打磨砂輪轉(zhuǎn)速較高，打磨砂輪直徑尺寸相對較小，使得沿徑向不同磨粒的線速度差別并不大。因此，本文假設(shè)不同位置磨粒的線速度均一致，影響磨粒切削速度的因素僅為砂輪轉(zhuǎn)速。以GMC-96X型打磨列車的打磨砂輪為例，其直徑為25 cm，分別計算砂輪轉(zhuǎn)速ω=2 000，2 500，3 000，3 500和 4 000 r/min時，對應(yīng)磨粒切削速度 v分別為26.17，32.71，39.26，45.80和52.34 m/s的磨削溫度。因為鋼軌打磨功率不同，砂輪的切深也不同，本文分別計算切深h為0.05，0.1，0.15，0.175和 0.2 mm下對應(yīng)的打磨溫度。

當(dāng)磨粒磨削速度v=39.26 mm/s，切削深度h為0.2 mm時，得到的磨削溫度分布云圖如圖3所示。

圖3 v=39.26 m/s，h=0.2 mm的磨削溫度分布Fig. 3 Distribution of grinding temperature when v=39.26 m/s,h=0.2 mm

根據(jù)仿真獲得的磨削溫度云圖可知，磨削過程中的最高溫度為544.1 ℃。使用該單磨粒磨削模型對不同磨削速度v和切削深度h下鋼軌的打磨溫度進(jìn)行計算，獲得的計算結(jié)果如表3所示。

表3 不同磨粒速度v和切深h下的鋼軌打磨磨削溫度T(℃)Table 3 Rail grinding temperature T(℃) in different values of v and h

根據(jù)表3中不同磨削速度與切深下鋼軌的打磨溫度仿真結(jié)果，當(dāng)磨粒以相同的線速度切削鋼軌表面時，隨著切削深度(打磨功率)的提高，鋼軌表面的溫度開始不斷增加。而當(dāng)磨粒切削深度相同時，隨著磨粒切削線速度(砂輪轉(zhuǎn)速)的增加，鋼軌的打磨溫度也不斷增加。

2 多砂輪聯(lián)合打磨溫度模型

2.1 移動熱源模型

鋼軌打磨過程中，砂輪隨打磨車輛沿鋼軌運動，需考慮打磨砂輪移動對打磨溫度產(chǎn)生的影響。打磨車輛單次打磨的磨削量約為0.2 mm，與打磨砂輪的尺寸相比，在該微小磨削量下產(chǎn)生的熱源帶寬度有限，可以將之等效為一個線熱源[3]。根據(jù)表 3中的分析結(jié)果，當(dāng)磨粒線速度相差較小時，同一磨削深度下的磨削溫度相差不大(即打磨砂輪中處于不同半徑位置的磨粒的最高磨削溫度一致)，因此認(rèn)為該線熱源上的溫度處處相等。基于預(yù)測保守性原則，將處于打磨砂輪最外沿磨粒的最高磨削溫度作為該砂輪在對應(yīng)轉(zhuǎn)速的標(biāo)準(zhǔn)打磨溫度。定義鋼軌打磨作業(yè)方向為x正方向，得到移動熱源模型的計算模型如式(4)所示[3]。

式中：θl為任意點M(x, y, z)因熱源移動導(dǎo)致的溫升，℃；c為材料比熱，J/(kg?℃)；ρ為材料密度，kg/m3；V為打磨列車速度，m/s；a為材料的熱擴(kuò)散系數(shù)，m2/s，qd為線熱源上每一點的熱源功率，cal/(m?s)，可使用單磨粒磨削溫度模型計算得到，qd=Qd/l，其中Qd為熱源總功率，cal/s；l為線熱源長度，m。

為了模擬多個砂輪同時打磨時的熱效應(yīng)，基于式(4)，可計算任意位置在任意時刻由打磨砂輪(xi, yi,zi)引起的溫升，如式(5)所示：

將n個打磨砂輪通過熱傳遞產(chǎn)生的熱量疊加，得到n個砂輪打磨作業(yè)時打磨區(qū)域的溫度變化為：

開展多砂輪聯(lián)合打磨施工打磨溫度計算時，n=4符合鋼軌打磨列車的實際工況[4]。

2.2 有限元模型

在Abaqus軟件中，基于式(4)所示的線熱源模型，應(yīng)用DFLUX建立可移動的線熱源模型，模擬打磨磨削熱。以高速鐵路用60 N鋼軌為對象，考慮鋼軌軌頭廓形曲線形狀對熱分析結(jié)果影響很大[4]，保留鋼軌原有的軌頭廓形曲線，去掉軌頭曲線下部圓角，獲得簡化的鋼軌有限元模型。在有限元計算過程中將打磨過程分為加熱和冷卻 2個階段。對應(yīng)的，在Abaqus軟件的瞬態(tài)熱分析模塊中，建立2個分析步：第1個分析步為0.25 s，步長為0.01 s；第2個分析步為0.75 s，步長為0.1 s。其中，第1個分析步用于模擬鋼軌打磨砂輪的加熱過程，第2個分析步用于模擬打磨砂輪通過之后，鋼軌的冷卻過程，環(huán)境溫度為25 ℃，默認(rèn)打磨功率為3 000 cal/s。分析過程中，約束鋼軌底部和兩個端面沿打磨方向的自由度，使用 C3D8T網(wǎng)格單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分。鋼軌有限元模型的材料屬性使用表2中的材料參數(shù)。

2.3 計算結(jié)果

利用構(gòu)建的鋼軌打磨溫度瞬態(tài)熱分析模型，計算鋼軌在不同打磨車速下鋼軌表面的溫度。例如，當(dāng)車速V為1 m/s時，單個砂輪打磨鋼軌0.25 s后的磨削溫度仿真分析結(jié)果如圖4所示。

圖4 V=1 m/s單個砂輪打磨鋼軌磨削溫度分布Fig. 4 Distribution of single wheel grinding temperature when V=1 m/s

利用Abaqus的DFLUX模塊，基于式(6)中多砂輪打磨磨削溫度計算方法，可計算不同車速V下的最高打磨溫度。例如，當(dāng)砂輪轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，鋼軌打磨車速V=1，2，3和4 m/s時，打磨過程中鋼軌的最高溫度分別為：496.8，402.7，309.1和246.4℃。多砂輪打磨溫度計算結(jié)果表明，鋼軌打磨溫度隨打磨列車速度運行速度的增加而降低。

3 基于 Kriging插值的鋼軌打磨溫度預(yù)測

上述方法雖然能夠獲得鋼軌打磨溫度，但是當(dāng)打磨參數(shù)調(diào)整后，需要重新建立有限元模型，并再次計算打磨參數(shù)對應(yīng)的打磨溫度，不利于實現(xiàn)鋼軌打磨參數(shù)的在線優(yōu)化。Kriging插值方法充分考慮各變量的相關(guān)特征，可較好的擬合響應(yīng)參數(shù)與變量之間的非線性關(guān)系[9]，選擇Kriging插值方法建立鋼軌打磨溫度預(yù)測模型，實現(xiàn)不同打磨參數(shù)下鋼軌打磨磨削溫度的預(yù)測。

3.1 Kriging插值方法

Kriging插值函數(shù)包括回歸部分和非參數(shù)部[10]：

其中：X為設(shè)計變量；為關(guān)于X的已知函數(shù)組確定的回歸模型，可表示為：

為回歸系數(shù)；f(x)為基函數(shù)；n為訓(xùn)練樣本點數(shù)。

Z(X)是均值為0，方差為2σ的隨機(jī)過程，兩插值點間的協(xié)方差為：

其中：為隨機(jī)過程方差；R為n×n階的對稱正定對角矩陣；為n個樣本點中任意2個樣本點xi與xj的空間相關(guān)函數(shù)，通常采用Gaussian相關(guān)函數(shù)：

式中：h為變量數(shù)目；為樣本點ix和jx在第k個方向上的坐標(biāo)；kθ為相關(guān)系數(shù)；為樣本點ix和jx第k個元素的差值。

則，任意插值點x的響應(yīng)值為：

其中：rT為長度為n的相關(guān)向量；f為長度為n的單位列向量；

3.2 模型參數(shù)

根據(jù)單磨粒仿真分析模型的分析結(jié)果可知，打磨砂輪線速度v，打磨深度h和打磨車速V不同，鋼軌的打磨最高溫度是不相同的。其中，打磨砂輪線速度v由砂輪轉(zhuǎn)速ω決定；打磨深度h由打磨功率p決定，本文僅考慮恒功(3 000 cal/s)下磨削溫度的變化，此時打磨深度h為0.2 mm。因此，選擇打磨列車打磨砂輪轉(zhuǎn)速ω和打磨車輛運行速度V作為模型變量，打磨溫度T作為模型的因變量，構(gòu)建打磨列車打磨最高溫度的預(yù)測模型。

在構(gòu)建 Kriging預(yù)測模型時，需要確定打磨參數(shù)的實際取值范圍。以GMC-96X型打磨列車為例，車輛的打磨作業(yè)速度區(qū)間為1.6～16 km/h (0.44～4.4 m/s)；砂輪轉(zhuǎn)速在2 500～4 000 r/min之間。此時，對應(yīng)的磨粒線速度取值區(qū)間為32.7～52.3 m/s。

3.3 鋼軌打磨溫度預(yù)測模型構(gòu)建方案

根據(jù) Kriging模型設(shè)計變量，利用構(gòu)建的單磨粒磨削溫度有限元分析模型，分析在不同的打磨參數(shù)下，鋼軌打磨的最高溫度T，使用如圖5所示的方案構(gòu)建鋼軌打磨溫度Kriging預(yù)測模型。

在構(gòu)建鋼軌打磨溫度Kriging預(yù)測模型過程中，為保證構(gòu)件的 Kriging模型能夠更加精確的擬合鋼軌打磨最高溫度 T隨打磨參數(shù)(砂輪打磨線速度 v和打磨車輛行車速度V)變化的趨勢，并控制模型的計算量，需要合理的確定Kriging模型的樣本規(guī)模。通常，取 Kriging模型的樣本規(guī)模為 3 k，k=(n+1)(n+2)/2，n為設(shè)計變量個數(shù)[10]。因為鋼軌打磨溫度Kriging預(yù)測模型設(shè)計變量為2，因此該模型的樣本數(shù)量為18。

在樣本點抽樣過程中，使用拉丁超立方試驗設(shè)計方法，在打磨參數(shù)設(shè)計空間內(nèi)獲得均勻分布的樣本點，使得Kriging 插值方法能夠獲得全局范圍內(nèi)的樣本信息。使用拉丁超立方試驗設(shè)計方法抽樣獲得18個打磨參數(shù)樣本組合，即得到18個對應(yīng)的打磨模式，使用構(gòu)建的單磨粒磨損模型與多砂輪聯(lián)合打磨溫度模型，計算獲得不同打磨模式下鋼軌的最高打磨溫度，其具體結(jié)果如表4所示。

圖5 鋼軌打磨溫度Kriging預(yù)測模型構(gòu)建方案Fig. 5 Construction of Kriging prediction model for rail grinding temperature

表4 不同打磨模式下的打磨溫度Table 4 Grinding temperatures in different grinding modes

3.4 鋼軌打磨溫度Kriging預(yù)測模型

利用表 4中不同打磨模式下鋼軌打磨溫度數(shù)據(jù)，基于圖6中磨削溫度Kriging預(yù)測模型構(gòu)建方案，建立鋼軌打磨溫度Kriging預(yù)測模型，如式(12)所示。

其中：=[0.024, 0.321, …, ?0.223, 0.410]；ytemp為表4中訓(xùn)練樣本打磨溫度值。

Kriging模型的三維圖形如圖6所示。

從該模型的變化趨勢分析，當(dāng)打磨車速在1.6～16 km/h，砂輪轉(zhuǎn)速在2 500～4 000 r/min時，最高打磨溫度可達(dá)到547.5 ℃(打磨車速為1.94 km/h，2 961 r/min)，最低打磨溫度為221.7 ℃(打磨車速為13.65 km/h，3 192 r/min)。其中，最高打磨溫度為 547.5 ℃，顯著低于鋼軌馬氏體組織形成的溫度(723℃)[11?12]，能夠有效避免因為打磨溫度累積導(dǎo)致的“發(fā)藍(lán)”事故。

為了檢驗該模型的預(yù)測誤差，在打磨車速V為1.6～16 km/h，砂輪轉(zhuǎn)速為2 500～4 000 r/min的取值區(qū)間中，隨機(jī)選擇 12組數(shù)據(jù)，分別使用有限元仿真分析和 Kriging預(yù)測模型計算不同打磨參數(shù)下的鋼軌打磨溫度值。以有限元仿真結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)值，得到Kriging預(yù)測模型的統(tǒng)計誤差結(jié)果如圖7所示。其中，最大誤差值為4.5%，表明建立的Kriging模型能夠較精確的預(yù)測不同打磨參數(shù)下鋼軌的磨削溫度，驗證了本文方法的有效性。

圖6 鋼軌打磨溫度Kriging預(yù)測模型Fig. 6 Kriging prediction model of rail grinding temperature

圖7 Kriging模型預(yù)測誤差分析Fig. 7 Prediction error analysis of Kriging model

4 結(jié)論

1) 基于鋼軌打磨砂輪微觀磨削機(jī)理，建立了鋼軌打磨單磨粒磨削熱力耦合模型?？紤]多個砂輪聯(lián)合打磨對打磨溫度的影響，建立了多砂輪打磨溫度模型，實現(xiàn)了多砂輪打磨下鋼軌打磨溫度計算。分析結(jié)果表明，打磨溫度隨砂輪轉(zhuǎn)速和打磨功率的增加而升高，隨打磨列車運行速度的增加而降低。

2) 以不同打磨參數(shù)及其對應(yīng)的打磨溫度為訓(xùn)練樣本，采用 Kriging插值方法，建立了打磨溫度關(guān)于打磨參數(shù)的 Kriging預(yù)測模型，預(yù)測誤差最大值為4.5%，可用于鋼軌打磨參數(shù)的在線優(yōu)化。

3) 根據(jù)構(gòu)建的鋼軌打磨溫度預(yù)測模型，最優(yōu)的鋼軌打磨車速和砂輪轉(zhuǎn)速分別為13.65 km/h、3 192 r/min，此時最高打磨溫升為547.5 ℃，可有效避免鋼軌打磨“發(fā)藍(lán)”事故。

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