基于凸多面體碰撞檢測的虛擬砂輪建模研究

陳 豪 趙 繼 徐秀玲 于天彪

東北大學機械工程與自動化學院，沈陽，110819

0 引言

磨削是精密制造的關鍵技術之一，被廣泛應用于精密零件的加工制造。雖然磨削加工具有較長的歷史，但由于磨削過程比較復雜，磨削機理至今仍然是精密加工的研究熱點之一[1]。在計算機技術高速發(fā)展的今天，仿真技術通常被應用于磨削機理的研究以及加工參數(shù)的優(yōu)化，其中，虛擬砂輪建模是磨削過程仿真的基礎。虛擬砂輪建模的研究，有利于磨削表面質(zhì)量的預測，對磨削技術的改進提高具有重要的意義。

目前，虛擬砂輪建模的方法主要有三類。第一類是利用檢測設備對實際砂輪表面進行檢測，根據(jù)砂輪表面的三維數(shù)據(jù)進行重構。XIE等[2]對砂輪表面形貌進行測量并提出砂輪表面評價方法，線性擬合砂輪表面形貌，并對其進行了量化。第二類是利用高斯隨機粗糙表面去模擬實際的砂輪表面，認為模擬的隨機粗糙表面上的凸峰為磨粒。SALISBURY等[3]利用二維傅里葉變換對三維砂輪表面結構進行研究，建立了適用于磨削過程仿真的砂輪表面模型。第三類是基于磨粒模型構建虛擬砂輪，即將磨粒模型按照一定規(guī)律排布到虛擬砂輪表面。CHEN等[4]先將磨粒陣列排布在三維空間中，然后給予磨粒隨機位移，生成具有隨機磨粒位置的虛擬砂輪。

在磨削研究中，常用的磨粒模型有球形、圓錐、圓臺以及凸多面體。在第三類砂輪建模方法的相關研究中，基于凸多面體模型建模占有較大比重。凸多面體有四面體、六面體、八面體等簡單的幾何圖形[5-7]，也有復雜的隨機凸多面體[8-11]。隨著計算機技術的快速發(fā)展，近年來采用凸多面體建模的虛擬砂輪研究日益增多。LI等[8]通過立方體與八面體相交的方法，生成具有金剛石磨粒特征的隨機凸多面體磨粒。PELLEGRIN等[9]模仿磨粒在磨損過程中頂點和邊緣位置先磨損的現(xiàn)象，采用隨機截去空間凸多面體頂角的方法生成了隨機凸多面體磨粒模型。宿崇等[10]通過球的隨機切平面切割空間立方體的方法生成了隨機多面體磨粒模型。鄧朝暉等[11]采用基于球坐標的隨機點產(chǎn)生空間平面切分實體的方法生成隨機磨粒。

利用磨粒模型生成虛擬砂輪，關鍵是將磨粒排布在砂輪表面，在此過程中會涉及磨粒之間的干涉問題。少數(shù)研究為了簡化模型，不考慮磨粒之間的干涉[6，12]，多數(shù)研究為了得到更具實際砂輪表面特征的虛擬砂輪，考慮了磨粒的干涉問題。對磨粒干涉問題的處理方法主要有兩類：一類是限制磨粒的移動范圍，使磨粒的移動范圍不重疊；另一類是對磨粒進行碰撞檢測，以避免磨粒之間出現(xiàn)干涉，大部分的磨粒干涉問題研究采用該處理方法。目前，虛擬磨粒干涉檢測基本采用包圍球碰撞檢測方法[4，13-14]。

對于凸多面體，采用包圍球碰撞檢測磨粒干涉時存在包圍球相互接觸但磨粒間距過大的情況，這一現(xiàn)象影響了磨粒的空間位置分布，導致虛擬砂輪表面與實際砂輪表面存在一定的偏差。為解決該問題，本文提出一種基于凸多面體碰撞檢測的虛擬砂輪建模方法，并與包圍球碰撞檢測方法進行對比分析，驗證本方法的優(yōu)越性。

1 隨機磨粒模型

1.1 磨粒的生成

目前的磨粒形狀除了球形、圓錐形之外，大多數(shù)為凸多面體，如四面體、六面體、八面體以及隨機凸多面體等。造成磨削過程復雜的原因之一就是磨粒的隨機性，砂輪表面有成千上萬顆磨粒，這些磨粒在形狀、大小、姿態(tài)上都各不相同。為更具一般性，本文采用文獻[10]的隨機凸多面體磨粒模型，該模型是利用球的隨機切平面對立方體進行切割生成的。該模型的實現(xiàn)原理如圖1所示，具體生成步驟如下：①建立棱長為l的立方體；②以立方體質(zhì)心為球心，建立半徑為r的球體；③在球體表面隨機選取一點，以此點作球體的切平面對立方體進行切分，保留球心一側的實體，去除另一側實體；④重復步驟③，直至達到預設的切分次數(shù)。最終生成的磨粒為不規(guī)則的凸多面體，具有形狀隨機性。

圖1 隨機凸多面體磨粒模型示意圖Fig.1 Random convex polyhedron abrasive model

1.2 磨粒的當量直徑

在傳統(tǒng)的磨削研究中，人們習慣將磨?？醋髑蛐危虼私?jīng)典的磨削理論采用磨粒直徑表示磨粒大小，但由于凸多面體磨粒不是球形，并沒有直徑這一參數(shù)，故采用當量直徑來表征磨粒大小。本文采用最小包圍球(minimum enclosing ball，MEB)的直徑作為凸多面體磨粒模型的當量直徑，如圖2所示。磨粒的最小包圍球是能夠包含磨粒的最小球體，具有唯一性。最小包圍球一般應用于碰撞檢測，可以粗略判斷磨粒干涉情況。

圖2 磨粒的最小包圍球Fig.2 Minimum enclosing ball of abrasive grain

1.3 磨粒大小修正

通常采用粒度來劃分磨粒直徑大小。對于某一粒度的磨粒，其磨粒直徑分布區(qū)間由篩選磨粒的篩網(wǎng)決定。磨粒先通過網(wǎng)孔較大的篩網(wǎng)，將大于該篩網(wǎng)孔徑dmax的磨粒篩除。然后通過網(wǎng)孔較小的篩網(wǎng)，將小于該篩網(wǎng)孔徑dmin的磨粒篩除，留下磨粒的尺寸范圍為[dmin，dmax]。相關研究表明，磨粒的直徑大小服從正態(tài)分布[15]，如圖3所示。本文假設磨粒的直徑服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)如下：

(1)

(2)

式中，d為磨粒直徑；μ、σ分別為磨粒直徑的均值和標準差。

圖3 磨粒直徑分布的概率密度函數(shù)Fig.3 Probability density function of abrasive grain diameter distribution

根據(jù)正態(tài)分布的3σ原則，隨機變量的值基本集中在[μ-3σ，μ+3σ]，認為μ-3σ和μ+3σ分別是隨機變量取值的下限和上限，因此，磨粒直徑的最大值、最小值、均值和標準差之間存在以下關系：

(3)

則磨粒直徑的標準差為

σ=(dmax-dmin)/6

(4)

根據(jù)磨粒的直徑分布，將1.1節(jié)的磨粒模型進行縮放變換，使磨粒模型的直徑符合實際的磨粒大小。假設點(x，y，z)是磨粒模型上的點，則經(jīng)過縮放變換后的坐標為

(5)

式中，d0為縮放前的磨粒模型直徑。

2 砂輪模型

2.1 砂輪的磨粒率

因為磨削時主要是砂輪表層的磨粒參與切削，因此本文只建立單層磨粒的砂輪模型。首先，將砂輪的圓周面展開，建立坐標系Oxyz；然后，參考文獻[4]中的方法，將磨粒按照等距離排布，使相鄰磨粒球心的間隔為L，如圖4a所示。這相當于將磨粒放入棱長為L的立方體中，并使磨粒的球心與立方體質(zhì)心重合，如圖4b所示。立方體體積與砂輪模型的磨粒率有如下關系：

V=Vg/Vcube

(6)

式中，V為磨粒率，即磨粒在磨具中占有的體積百分數(shù)；Vg為所有磨粒的總體積；Vcube為所有立方體的總體積。

(a) 磨粒陣列排布

超硬砂輪一般用濃度號表示磨粒的相對體積分數(shù)，可以根據(jù)濃度號的定義來換算出超硬砂輪的磨粒率。對于普通砂輪，磨粒率可按下面公式進行計算[16]：

V=2(31-S)/100

(7)

式中，S為砂輪的組織號。

凸多面體體積的計算比較復雜，本文采用最小包圍球體積估算磨粒體積，虛擬砂輪中所有磨粒的體積計算公式如下：

(8)

式中，dk為第k個磨粒的直徑；n為磨?？倲?shù)。

立方體個數(shù)與磨粒總數(shù)一致，所有立方體的總體積計算公式如下：

Vcube=nL3

(9)

將式(8)和式(9)代入式(6)，求解得到立方體棱長為

(10)

2.2 磨粒的隨機位置

磨粒突出高度是非常重要的參數(shù)，它關系到磨削表面的形貌。有研究認為，磨粒突出高度服從正態(tài)分布，其均值和標準差分別如下[17]：

(11)

實際上，磨粒突出高度的取值范圍存在上下限。本文假設磨粒突出高度的取值范圍為(μh-cσh，μh+cσh)，其中，c為系數(shù)，決定了突出高度的上下限。

給予磨粒z軸方向上的隨機位移使磨粒突出高度符合正態(tài)分布，移動后第(i，j)顆磨粒球心的z軸坐標為

(12)

在保持磨粒突出高度不變的情況下，給予磨粒一個Oxy平面上的隨機移動，使磨粒的空間位置具有隨機性。移動后磨粒球心的x、y軸坐標如下：

(13)

2.3 磨粒的碰撞檢測

在真實的砂輪表面，磨粒之間并不存在干涉，因此需要對磨粒進行碰撞檢測。傳統(tǒng)的虛擬砂輪建模通常采用包圍球碰撞檢測方法，該方法要求任意兩顆磨粒之間的中心距離大于或等于兩顆磨粒的半徑之和，即需滿足如下關系：

(14)

對于凸多面體，采用包圍球碰撞檢測會存在較大的誤差，如圖5所示，當兩磨粒的最小包圍球接觸時，兩磨粒并未接觸，磨粒間存在較大的間隙，而在真實的砂輪中，經(jīng)常出現(xiàn)磨粒相互接觸的情況，此時磨粒間隙小于磨粒的半徑之和，所以用包圍球檢測方法檢測凸多面體磨粒干涉已不適用。為使虛擬砂輪更加接近真實砂輪，本文采用凸多面體碰撞檢測方法檢測磨粒干涉狀況。

凸多面體是由一系列平面包圍形成的三維幾何體，它所占的空間可用下式表示：

(15)

式中，(Ai，Bi，Ci)為磨粒第i個面的法向量，方向指向磨粒外部；(xi，yi，zi)為磨粒第i個面上的一點；m為磨粒的總面數(shù)。

(a) 包圍球接觸

式(15)中每個不等式表示的是以凸多面體某個面所在的平面劃分的半空間區(qū)域。對于三維空間中的一點(x，y，z)，若滿足式(15)，則該點位于凸多面體內(nèi)部。因此，當檢測兩個磨粒是否干涉時，利用式(15)判斷一顆磨粒上是否存在一點位于另一顆磨粒的內(nèi)部，若存在這樣的點，則兩磨粒相互干涉，反之則不干涉。

2.4 虛擬砂輪模型生成

在磨粒排布時，對磨粒進行碰撞檢測，若存在干涉，則重新給予磨粒隨機位移直到磨粒之間不存在干涉為止。至此，得到砂輪表面展開時的磨粒坐標。最后，將磨粒坐標變換到砂輪的圓周面上，即得到最終的虛擬砂輪，其坐標變換為

(16)

式中，R為砂輪的半徑。

虛擬砂輪生成流程如圖6所示。生成虛擬砂輪主要分兩個步驟：第一步是生成磨粒模型，第二步是磨粒排布。碰撞檢測方法直接影響著虛擬砂輪的最終表面，是磨粒排布的關鍵步驟。

圖6 虛擬砂輪生成流程圖Fig.6 Flow chart of virtual grinding wheel generation

圖7a所示為根據(jù)本文方法生成的虛擬砂輪。為便于觀察磨粒干涉情況，對砂輪表面進行局部放大，如圖7b所示，可以看到，磨粒位置具有隨機性，相鄰磨粒之間的間距較小，部分磨粒重疊，疑似干涉。為分析重疊磨粒是否干涉，對疑似磨粒干涉的區(qū)域進行再次放大，并調(diào)整到適當?shù)囊暯?，如圖7c～圖7e所示，可以看到磨粒之間仍存在極小的間隙，因此可認為磨粒之間并不干涉。這說明在圖7b中，因為視角的原因，導致磨粒部分重疊在一起，實際上磨粒并未干涉。綜上，凸多面體碰撞檢測方法可以用于虛擬砂輪的建模。

(c) (d) (e) 圖7 虛擬砂輪Fig.7 Virtual grinding wheel

3 對比分析

3.1 不同碰撞檢測方法對磨粒位置分布的影響

本文提出的虛擬砂輪建模方法與傳統(tǒng)的虛擬砂輪建模方法相比，主要區(qū)別為，本文方法采用凸多面體碰撞檢測方法進行磨粒的干涉檢測。本文對基于凸多面體碰撞檢測方法和基于包圍球碰撞檢測方法生成的虛擬砂輪表面進行比較。虛擬砂輪的參數(shù)如下：磨粒尺寸150～180 μm；磨粒率20%～60%。

表1所列為基于兩種碰撞檢測方法在不同磨粒率下的虛擬砂輪表面。在20%磨粒率下，基于包圍球碰撞檢測(以下稱為“原始方法”)的虛擬砂輪表面磨粒分布均勻，磨粒間距較大。而基于凸多面體碰撞檢測(以下稱為“改進方法”)的虛擬砂輪表面，磨粒的位置更具隨機性，相鄰磨粒間距更小，并且出現(xiàn)較大的磨粒間隙區(qū)。隨著磨粒率的增大，單位面積上的磨粒數(shù)量增加，此時，原始方法的虛擬砂輪表面磨粒位置的隨機性逐漸減小，當磨粒率達到40%時，其磨粒基本呈直線排布。這是因為當磨粒率較高時，磨粒間距L減小，若基于包圍球進行碰撞檢測，則留給磨粒隨機移動的空間非常有限，因此磨粒呈直線排布。反觀改進方法的虛擬砂輪表面，當磨粒率為40%時，磨粒位置仍具有很好的隨機性。

實際上，砂輪具有較高的磨粒率，組織號為0時，砂輪的磨粒率高達62%。當磨粒直徑都相等時，原始方法最高能生成磨粒率為52.4%的虛擬砂輪，此時磨粒直徑與立方體邊長相等，磨粒只能規(guī)則陣列排布，不具備磨粒位置的隨機性，與實際砂輪表面不符。實際上，磨粒直徑不可能都相等，因此原始方法生成的砂輪磨粒率要小于52.4%，無法達到較小組織號砂輪的磨粒率要求。如表1所示，包圍球碰撞檢測無法生成磨粒率為50%和60%的虛擬砂輪。而凸多面體碰撞檢測允許包圍球之間部分重疊，能生成更高磨粒率的砂輪。經(jīng)仿真試驗，該方法可以生成62%磨粒率的虛擬砂輪，即可以模擬最小組織號的砂輪。因此，凸多面體碰撞檢測方法比包圍球碰撞檢測方法更適合虛擬砂輪建模。

表1 基于不同碰撞檢測方法生成的虛擬砂輪表面對比

針對每一顆磨粒，計算與之相鄰最近磨粒之間的中心距離，即該磨粒最小中心間距，統(tǒng)計結果如圖8所示?？梢钥吹?，改進方法中最小磨粒中心間距的均值小于原始方法中最小磨粒中心間距的均值。這說明在改進方法下，磨粒的隨機移動范圍更大，能夠形成更小的磨粒間距。當磨粒率增大時，兩種方法的均值和標準差都減小，這是因為隨著磨粒率的增大，磨粒的平均間距減小，導致磨?？呻S機移動的范圍減小。當磨粒率為40%時，原始方法的標準差很小，這說明磨粒間距的變化范圍小，因此，在原始方法下磨粒近似呈直線排布。而此時，改進方法的標準差是原始方法標準差的2.6倍，說明改進方法的磨粒位置分布更加隨機。

(a) 磨粒率為20% (b) 磨粒率為30% (c) 磨粒率為40%圖8 磨粒最小中心間距統(tǒng)計Fig.8 Minimum distance of abrasive grain centers

3.2 虛擬砂輪表面與真實砂輪表面對比

根據(jù)本文方法生成虛擬砂輪表面，并與真實砂輪表面進行比較。虛擬砂輪的參數(shù)為：磨粒尺寸150～180 μm；磨粒率50%。

(a) 虛擬砂輪表面

圖9為虛擬砂輪表面與實際砂輪表面對比圖。圖9a為虛擬砂輪表面圖，圖中相鄰磨粒間距小，存在面積較大的磨粒間隙區(qū)(圖中虛線包圍區(qū)域)。該間隙區(qū)是由于磨粒隨機移動之后產(chǎn)生的無規(guī)則的無磨粒區(qū)。圖9b所示為真實砂輪表面，同樣可以看到相鄰磨粒間距小，也存在較大的無規(guī)則間隙區(qū)，這與虛擬砂輪的表面特征一致，說明基于凸多面體碰撞檢測方法生成的虛擬砂輪表面與真實砂輪表面具有很高的相似性。

綜上所述，基于凸多面體碰撞檢測方法的虛擬砂輪表面具有真實砂輪的表面特征。

4 結論

(1)將最小包圍球直徑作為磨粒的當量直徑，便于實現(xiàn)磨粒大小的修正以及基于包圍球的磨粒干涉檢測。

(2)采用先賦磨粒突出高度后給予磨粒水平隨機位移的方法，保證了磨粒在具有正確的突出高度的同時具備位置隨機性。

(3)與基于包圍球碰撞檢測方法的虛擬砂輪相比，基于凸多面體碰撞檢測方法的虛擬砂輪具備更強的磨粒位置隨機性，能生成磨粒率更高的虛擬砂輪。

(4)基于凸多面體碰撞檢測方法的虛擬砂輪表面特征與真實砂輪一致。