二階復(fù)域微分方程解的徑向振蕩

孫桂榮，楊琰琰

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

1 主要定理

文中采用值分布論的標(biāo)準(zhǔn)符號，用ρ（f）和 μ（f）分別表示 f（z）的增長級和下級，用δ（a，f）表示函數(shù) f（z）在點(diǎn)a的虧量，詳見文獻(xiàn)[1-6]。

如果 0＜α＜β≤2π，記

分別表示復(fù)平面上的角域和扇形區(qū)域，并用表示Ω（α，β）的閉包。

當(dāng) g（z）為 Ω（α，β）內(nèi)的解析函數(shù)時，定義 g（z）在 Ω（α，β）角域內(nèi)的級如下

其中

另外，g（z）在射線 argz=θ上的徑向級ρθ（g）定義為。

顯然，如果 g（z）在復(fù)平面上解析，則對任意的 α，β（0＜β－α≤2π），有ρ（g）≥ρα，β（g）。 并且不難發(fā)現(xiàn)對于無窮級超越整函數(shù) g（z），一定存在某個角域 Ω（α，β）使得ρα，β（g）=∞，但是不能保證ρα，β（g）=∞ 在任意的角域內(nèi)成立。例如，g（z）=eez滿足ρ（g）=∞ 而ρπ/2，3π/2（g）=0。一個自然的問題是：使ρα，β（g）=∞ 的角域 Ω（α，β）有多大？用mes（E）表示E的Lebesgue測度；如果集合E?[1，∞），用來表示E的對數(shù)測度，并定義E的上對數(shù)密度和下對數(shù)密度如下

下面就剛才的問題對二階齊次線性微分方程

的無窮級整函數(shù)解進(jìn)行討論。為此定義

黃志剛和王珺對方程（1）中系數(shù)滿足條件μ（A）＞ρ（B）的情形進(jìn)行了討論，得到如下結(jié)果：

定理1[7]假設(shè) A（z），B（z）為整函數(shù)且 μ（A）＞ρ（B）。 如果 f（z）是方程（1）的非平凡解，則有

文中不要求B（z）的增長級小于A（z）的下級，結(jié)論如下：

定理2假設(shè) A（z）是超越整函數(shù)且 μ（A）＜1/2，B（z）是有限級的整函數(shù)且有一個有限虧值 a，即 δ=δ（a，B）＞0。 若 f（z）是方程（1）的非平凡解，則

其中。

2 相關(guān)引理

在討論相關(guān)預(yù)備定理之前先介紹一下角域內(nèi)特征函數(shù)的一些記號[4，8]。 如果 0＜β－α≤2π，g（z）是角域Ω（α，β）內(nèi)的亞純函數(shù)，記

其中表示 g（z）在 Ω（α，β）內(nèi)的所有極點(diǎn)（計算重數(shù)）。 特別地，用 σα，β（g）表示Sα，β（r，g）的級，定義為。

引理 1[9]如果 A（z）是超越整函數(shù)且 μ（A）＜1/2，B（z）是有限級的整函數(shù)且有一個有限虧值 a，即δ=δ（a，B）＞0，則方程（1）的每個非平凡解 f（z）都是無窮級的。

引理 2[10]設(shè) z=reiφ，r0+1＜r，α＜φ＜β，其中 0＜β＜α≤2π。 如果 g（z）是角域 Ω（α，β）上的亞純函數(shù)且 σα，β（g）是有限值，則存在僅與 g和 Ω（α，β）有關(guān)而與 z的選擇無關(guān)的正數(shù) K1和 M1，使得對所有的 z∈Ω（α+ε，β－ε）（至多除去一個 R-集 D1），有。

引理 3[8]假設(shè) z=reiφ，r＞r0+1，α≤φ≤β，0＜β－α≤2π，如果 g（z）在角域 Ω（α，β）內(nèi)解析且 σα，β（g）＜∞。 則對任意∈∈（0，（β-α）/2）至多除去一個零線性測度集外，存在僅與g和Ω（α，β）有關(guān)而與z的選擇無關(guān)的正數(shù)K2和 M2，使得對所有的 z∈Ω（α+ε，β-ε）（至多除去一個 R-集 D2），有其中

其中。

下面的引理及注解參見文獻(xiàn)[9]。

引理 4假設(shè)A（z）是滿足0＜μ（A）＜1/2的整函數(shù)，B（z）為亞純函數(shù)且ρ（B）＜+∞。 如果B（z）有一個有限

其中d的表達(dá)式如定理2所示。

注如果A（z）是下級μ（A）=0的整函數(shù)，引理4仍成立。

引理5[11]假設(shè) g（z）是下級 0≤μ（g）＜1 的整函數(shù)。 則對每個 α∈（μ（g），1），存在集合 E?[0，∞）使得，其中虧值 a，即 δ=δ（a，B）＞0，則對任意給定的常數(shù) ε＞0，存在序列{Rn}，Rn→∞，使得 n 充分大時，下面兩個不等式同時成立。

3 定理證明

由引理 1 知方程（1）的每一個非平凡解都是無窮級的，下面證明 mesI（f）≥d。 假設(shè) mesI（f）＜d，則η=d-mesI（f）＞0。 因為 I（f）是閉集，所以 S=2πI（f）是開集，且 S 至多由可數(shù)多個開區(qū)間構(gòu)成。 選擇有限多個區(qū)間 Ik=（αk，βk）（k=1，2，…，m）使得 Ik?S 且。 對角域 Ω（rk，αk，βk），易見當(dāng) rk充分大時，

這意味著對每個 k=1，2，…，m，ραk，βk（f）＜∞，因而由 Sαk，βk（f）的定義可得 σαk，βk（f）＜∞。 于是由引理 2 和引理 3得：對充分小的ε＞0，存在正常數(shù)M及K使得

對所有的成立，至多除去一個 R-集 H1。

下面分兩種情形證明定理結(jié)論。

情形 10＜μ（A）＜1/2。 對 A（z）和 B（z）運(yùn)用引理 4 ，存在序列{Rn}，Rn→∞，使得 n 充分大時，（2）式和（3）式同時成立，從而

不失一般性，假設(shè)（6）式對所有的n成立。顯然，

則對每個n有

設(shè) a 是 B（z）的有限虧值，則由方程（1）得

這說明在 Ik（k=1，2，…，m）中至少存在一個開區(qū)間 Ik0=（α，β）使得對無窮多個 n，有

于是對這些 n 和 φ∈Fn∩（α，β），有

由（4）、（5）、（7）和（8）式得

這是一個矛盾。

情形 2μ（A）=0。 由引理 5，存在集合 E?[0，+∞）使得，使得對所有 z，|z|=r∈E 有，

其中。

由引理4的注解，類似于情形1可得：對E中的序列Rn（至多除去一個R-集H2），在Ik（k=1，2，…，m）中至少存在一個開區(qū)間Ik0=（α，β）使得對無窮多個 n，有 mes（Fn∩（α，β））＞η/2m＞0。 于是對這些 n 和φ∈Fn∩（α，β），當(dāng) z=Rneiφ，φ∈Fn∩（α，β）時，（4）、（7）、（10）式同時成立，由此可得

這是一個矛盾，因為A（z）是超越整函數(shù)?！?/p>

4 結(jié)語

筆者在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，對二階齊次線性微分方程的增長級在角域內(nèi)的分布估計進(jìn)行了研究，通過考慮方程系數(shù)對方程解的制約影響，得到方程解的徑向振蕩與系數(shù)增長級之間的關(guān)系，使得二階齊次線性微分方程解的增長性問題的討論進(jìn)一步完善。

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