改進(jìn)疊加原理求解低滲儲層關(guān)井階段壓力響應(yīng)

李友全 黃春霞 王佳 于偉杰 韓鳳蕊 閻燕

1. 中國石化勝利油田分公司勘探開發(fā)研究院；2. 陜西延長石油（集團(tuán)）有限責(zé)任公司研究院；3. 北京金士力源科技有限公司

隨著中高滲油藏逐漸進(jìn)入高含水期，低滲透儲層的高效開發(fā)開始在原油供給中扮演越來越重要的角色［1-5］。由于孔喉結(jié)構(gòu)［6］、流體性質(zhì)［7］和流固界面作用［8］的影響，流體在低滲透油藏的滲流不符合達(dá)西定律，存在非線性段［9］，是低速非達(dá)西滲流。通常用擬啟動壓力梯度描述低速非達(dá)西滲流，但其在關(guān)井階段的作用機(jī)制尚不明確，使得低滲儲層壓力恢復(fù)測試解釋結(jié)果存疑，可信度低。

壓降疊加原理是求解關(guān)井階段井底壓力變化的重要方法，即關(guān)井階段井底壓力變化是真實井和虛擬井井底壓力變化的疊加。對于低速非達(dá)西滲流問題，部分文獻(xiàn)［10-11］在壓降疊加時對真實井和虛擬井同時考慮了（擬）啟動壓力梯度的影響。計算結(jié)果顯示，擬啟動壓力梯度使關(guān)井階段壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線在后期上翹，和開井階段影響規(guī)律類似。然而，研究人員已注意到傳統(tǒng)壓降疊加原理不能直接用于低速非達(dá)西滲流問題［12-13］。采用基于PEBI網(wǎng)格的算法，所得結(jié)果與傳統(tǒng)壓降疊加原理結(jié)果完全相反，即絕對啟動壓力梯度會使關(guān)井后壓力導(dǎo)數(shù)曲線下掉，井底壓力更早穩(wěn)定。

針對數(shù)值結(jié)果和傳統(tǒng)壓降疊加原理結(jié)果的矛盾，筆者基于改進(jìn)的達(dá)西定律，建立了涵蓋開井和關(guān)井過程的低滲儲層試井?dāng)?shù)學(xué)模型。該模型是非齊次的二階線性微分方程組，根據(jù)其解的可疊加性，證明和提出了適用于低滲儲層的改進(jìn)壓降疊加原理。分析了開井和關(guān)井階段擬啟動壓力梯度對壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線的影響規(guī)律，并根據(jù)動邊界理論探討了擬啟動壓力梯度的兩種作用機(jī)制。筆者提出的改進(jìn)壓降疊加原理修正了低滲儲層關(guān)井階段壓力響應(yīng)求解的錯誤，使壓力恢復(fù)測試準(zhǔn)確獲取地層平均擬啟動壓力梯度成為可能。

1 低速非達(dá)西滲流表征

針對低速非達(dá)西滲流的非線性段，可以采用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和多參數(shù)關(guān)系式精確描述［14-16］，也可以采用擬啟動壓力梯度等效描述［17］。由于擬啟動壓力梯度方法保留了達(dá)西定律的簡便性［18］，是普遍的處理方法。對應(yīng)改進(jìn)的達(dá)西定律如式（1）所示［16］。

式中，ν為流動速度，cm/s；μ為流體黏度，mPa·s；k為儲層有效滲透率，D； ?p為壓力梯度，10-1MPa/cm；λ是擬啟動壓力梯度，10-1MPa/cm。

2 改進(jìn)的壓降疊加原理

2.1 試井?dāng)?shù)學(xué)模型

2.1.1 基本假設(shè) 考慮一均質(zhì)徑向油藏，中心為一口井。具體假設(shè)為：（1）單相微可壓縮液體；（2）考慮井筒儲集系數(shù)C和表皮因數(shù)S的影響；（3）油井生產(chǎn)前，地層中各點的壓力均勻分布為pi；（4）忽略重力和毛管力的影響；（5）滲流過程中存在擬啟動壓力梯度λ；（6）地層均質(zhì)、等厚、各向同性，井以一常產(chǎn)量q生產(chǎn)；（7）地層巖石微可壓縮；（8）持續(xù)開采tp時間后關(guān)井，Δt為關(guān)井時間。

2.1.2 數(shù)學(xué)模型

式中，r為距離，cm；φ為儲層孔隙度；Ct為綜合壓縮系數(shù)，10 MPa-1；t為時間，s；pi為初始地層壓力，10-1MPa；B為體積系數(shù)；θ為單位階躍函數(shù)；rw為井筒半徑，cm；h為儲層厚度，cm；C為井筒儲集系數(shù)，10 cm3/MPa；pw為井底壓力，10-1MPa；S為表皮因數(shù)。

式（2）包含非齊次的虛宗量貝塞爾方程，無因次化后經(jīng)過Laplace變換、Stehfest數(shù)值反演即可得到真實空間井底壓力解［19-20］。

2.2 改進(jìn)壓降疊加原理的證明

令 Δp=pi-p=Δp1+Δp2，則方程（2）可變?yōu)?/p>

式（3）是一個線性微分方程組。根據(jù)其解的可疊加性，若Δp1滿足

同時Δp2滿足

則Δp1+Δp2肯定是模型（2）的解。其中，Δp1為存在擬啟動壓力梯度，真實井持續(xù)生產(chǎn)時井底壓力變化值的解；Δp2為不存在擬啟動壓力梯度，虛擬井從tp時投產(chǎn)，且產(chǎn)量與真實井相等時，井底壓力變化值的解。因此，低滲儲層關(guān)井壓力恢復(fù)試井井底壓力變化值（基于原始地層壓力），等于一個考慮擬啟動壓力梯度時變化值與一個不考慮擬啟動壓力梯度時變化值的疊加，前期低滲儲層壓力恢復(fù)試井壓降簡單疊加的表示方法［10-11］是錯誤的。

從物理意義上，改進(jìn)的壓降疊加原理也具有其合理性。對低速非達(dá)西滲流，流體流動時擬啟動壓力梯度總是阻礙其流動。在關(guān)井階段，真實地層中流體流動方向并未發(fā)生改變。因此，對于真實井，擬啟動壓力梯度在關(guān)井階段存在且方向不變；對于虛擬井，真實地層中并未發(fā)生虛擬井對應(yīng)的流體流動，擬啟動壓力梯度失去了其作用的前提條件。因此，計算關(guān)井階段虛擬井的壓力變化時不應(yīng)考慮擬啟動壓力梯度。

3 開井過程擬啟動壓力梯度作用規(guī)律和機(jī)制

3.1 作用規(guī)律

應(yīng)用表1參數(shù)，采用式（4）所示的持續(xù)生產(chǎn)時試井?dāng)?shù)學(xué)模型的井底壓力變化解，計算得到不同擬啟動壓力梯度時壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線見圖1。

表1 壓力升高/降落過程井底壓力變化計算參數(shù)Table 1 Parameters for mathematical model of switch-on process

圖1 壓力升高/降落過程中不同擬啟動壓力梯度時壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線Fig. 1 BHP change versus time at different pseudo TPG in log-log plot

由圖1可看出，對于開井生產(chǎn)的壓力升高/降落過程，隨著擬啟動壓力梯度從0 MPa/m升至0.01 MPa/m，壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線在10 h后由趨向水平變?yōu)椤吧下N”，且擬啟動壓力梯度越大，上翹時間越早，上翹幅度越大，顯示擬啟動壓力梯度的存在使得壓力升高/降落的速度在后期不斷增大，阻礙了壓力的傳播。

3.2 作用機(jī)制

“動邊界理論”［21-22］可以用來解釋擬啟動壓力梯度在開井過程的作用機(jī)制。對于徑向均質(zhì)油藏，流體速度在井點處最高，且向遠(yuǎn)井方向連續(xù)遞減。根據(jù)式（1），壓力梯度和流體速度具有相同的分布規(guī)律。由擬啟動壓力梯度的定義可知，壓力梯度小于擬啟動壓力梯度時流體速度為0，即在遠(yuǎn)井方向擬啟動壓力梯度會使得某處以外區(qū)域的流體無法流動，這意味著擬啟動壓力梯度的作用與“封閉”邊界類似。而且，在相同條件下，更大的擬啟動壓力梯度會使該封閉邊界距井更近。在壓力響應(yīng)上體現(xiàn)為壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線更早上翹，上翹幅度更大［23］。

4 關(guān)井過程擬啟動壓力梯度作用規(guī)律和機(jī)制

4.1 作用規(guī)律

式（3）是持續(xù)生產(chǎn)tp時間后關(guān)井Δp時間的試井?dāng)?shù)學(xué)模型。根據(jù)改進(jìn)的壓降疊加原理，tp～tp+Δp關(guān)井階段的井底壓力解是式（4）、式（5）對應(yīng)井底壓力變化的疊加。采用同樣的計算參數(shù)（表1），取tp=100 d，則計算得到不同擬啟動壓力梯度時壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線如圖2所示。

由圖2可看出，對于關(guān)井的壓力恢復(fù)過程，隨著擬啟動壓力梯度從0 MPa/m升至0.01 MPa/m，壓力導(dǎo)數(shù)曲線在30 h后由趨向水平變?yōu)椤跋碌簟?，且擬啟動壓力梯度越大，下掉時間越早，下掉幅度越大，顯示擬啟動壓力梯度的存在使得壓力恢復(fù)的速度在后期不斷減小，地層更快到達(dá)（擬）穩(wěn)態(tài)流動。圖2顯示的規(guī)律和數(shù)值方法計算得到的規(guī)律［12］相同，證明了改進(jìn)的壓降疊加原理的正確性。

圖2 壓力恢復(fù)過程中不同擬啟動壓力梯度時壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線Fig. 2 BHP change versus time at different pseudo TPG in log-log plot

采用文獻(xiàn)［12］中圖5b對應(yīng)參數(shù)取值，流體黏度取2 mPa·s，計算得到外邊界為無限大均質(zhì)油藏、擬啟動壓力梯度為0.05 MPa/m時對應(yīng)的壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線（圖3），可以看出壓力導(dǎo)數(shù)曲線快速下垂，和文獻(xiàn)中圖5b特征符合，部分驗證了本文提出的改進(jìn)壓降疊加原理正確性。

圖3 采用文獻(xiàn)［12］中圖5b參數(shù)計算得到的壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對數(shù)曲線Fig. 3 BHP change versus time in log-log plot bу parameters from literature 12

低滲透油藏壓力恢復(fù)階段試井曲線大多體現(xiàn)后期上翹特征［10-11］。根據(jù)本文證明和提出的改進(jìn)壓降疊加原理，擬啟動壓力梯度不是導(dǎo)致此現(xiàn)象的原因。低滲透油藏注入井高壓注水和采油井人工壓裂投產(chǎn)，常導(dǎo)致天然裂縫張開并溝通，在近井地帶形成裂縫網(wǎng)絡(luò)［20］，造成“內(nèi)好外壞”的復(fù)合油藏特征。低滲透油藏壓力恢復(fù)階段試井曲線的后期上翹特征和此復(fù)合油藏特征有密切關(guān)系。

4.2 作用機(jī)制

圖2顯示的關(guān)井階段擬啟動壓力影響規(guī)律和數(shù)值計算結(jié)果相同，可以采用“動邊界理論”來解釋擬啟動壓力梯度在壓力恢復(fù)過程的作用機(jī)制。對于徑向均質(zhì)油藏，0～tp時刻的生產(chǎn)過程在地層產(chǎn)生了一個壓降漏斗，且根據(jù)假設(shè)條件（3）可知壓降漏斗外圍地層壓力為pi。在壓力恢復(fù)階段，“持續(xù)生產(chǎn)”的真實井使得壓降漏斗繼續(xù)擴(kuò)大，而虛擬井的注入或采出會使得壓降漏斗縮小。根據(jù)2.2節(jié)證明和提出的改進(jìn)的壓降疊加原理，真實井壓力計算中應(yīng)考慮擬啟動壓力梯度，虛擬井壓力計算中不考慮擬啟動梯度。因此，當(dāng)擬啟動壓力梯度變大時，雖然真實井和虛擬井的井底流量相同，但虛擬井導(dǎo)致的壓降漏斗變化速度更快，使得地層更快達(dá)到擬穩(wěn)態(tài)或穩(wěn)態(tài)流，在壓力響應(yīng)上體現(xiàn)為壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線下掉，下掉幅度更大［23］。

5 結(jié)論

（1）針對考慮擬啟動壓力梯度后壓降疊加原理不再適用的問題，通過應(yīng)用線性微分方程解的可疊加性，證明和提出了改進(jìn)的壓降疊加原理。

（2）根據(jù)改進(jìn)的壓降疊加原理，低滲透儲層關(guān)井階段井底壓力變化，等于一個考慮擬啟動壓力梯度時變化值與一個不考慮擬啟動壓力梯度時變化值的疊加。

（3）在開井過程，擬啟動壓力梯度使壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期上翹，作用機(jī)制類似于“封閉”邊界，且擬啟動壓力梯度越大，該封閉邊界離井越近；在關(guān)井過程，擬啟動壓力梯度使壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期下掉，作用機(jī)制類似于“恒壓”邊界，且擬啟動壓力梯度越大，關(guān)井階段壓力恢復(fù)更早抵達(dá)該恒壓邊界。

（4）改進(jìn)的壓降疊加原理解決了傳統(tǒng)壓降疊加原理在低速非達(dá)西滲流壓力恢復(fù)試井解釋的錯誤，使得通過壓力恢復(fù)測試準(zhǔn)確識別儲層平均擬啟動壓力梯度成為可能。

［1］TALEGHANI A D, OLSON J E. How natural fractures could affect hуdraulic-fracture geometrу［J］. SPE Journal 2014, 19（1）: 161-171.

［2］LUO P, LUO W G, LI S. Effectiveness of miscible and immiscible gas flooding in recovering tight oil from Bakken reservoirs in Saskatchewan, Canada［J］. Fuel,2017, 208: 626-636.

［3］HE J M, LIN C, LI X, ZHANG Y X, CHEN Y. Initiation,propagation, closure and morphologу of hуdraulic fractures in sandstone cores［J］. Fuel, 2017, 208: 65-70.

［4］HUANG W B, LU S F, HERSI O S, WANG M, DENG S W, LU R J. Reservoir spaces in tight sandstones:Classification, fractal characters, and heterogeneitу［J］.Journal of Natural Gas Science & Engineering, 2017, 46:80-92.

［5］SIRIPATRACHAI N, ERTEKIN T, JOHNS R T.Compositional simulation of hуdraulicallу fractured tight formation considering the effect of capillarу pressure on phase behavior［J］. SPE Journal, 2017, 22（4）: 1046-1063.

［6］WANG S J, HUANG Y Z, CIVAN F. Experimental and theoretical investigation of the Zaoуuan field heavу oil flow through porous media［J］. Journal of Petroleum Science & Engineering, 2006, 50（2）: 83-101.

［7］MILLER R J, LOW P F. Threshold gradient for water fiow in claу sуstems［J］. Soil Science Societу of America Journal, 1963, 27（6）: 605-609.

［8］PASCAL H. Nonsteadу fiow through porous media in the presence of a threshold gradient［J］. Acta Mechanica 1981, 39（3-4）: 207-224.

［9］KUTI?EK M. Non-darcian fiow of water in soils-laminar region: A review［J］. Developments in Soil Science,1972, 2: 327-340.

［10］蔡明金，賈永祿，王永恒，白宇，聶仁仕. 低滲透雙重介質(zhì)油藏垂直裂縫井壓力動態(tài)分析［J］. 石油學(xué)報，2008，29（5）：723-726.CAI Mingjin, JIA Yonglu, WANG Yongheng, BAI Yu,NIE Shiren. Dуnamic pressure analуsis on wells with vertical fractures in low-permeabilitу dual-porositу reservoir［J］. Acta Petrolei Sinica, 2008, 29（5）: 723-726.

［11］GUO J J, ZHANG S, ZHANG L H, QING H R, LIU Q G. Well testing analуsis for horizontal well with consideration of threshold pressure gradient in tight gas reservoirs［J］. Journal of Hуdrodуnamics, 2012, 24（4）:561-568.

［12］李道倫，楊景海，查文舒，王磊，盧德唐. 疊加原理不能求解含啟動壓力梯度滲流方程［J］. 西南石油大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，37（4）：81-89.LI Daolun, YANG Jinghai, ZHA Wenshu, WANG Lei, LU Detang. Unsuitabilitу of using superposition principle to solve equations incorporated with threshold pressure gradient［J］. Journal of Southwest Petroleum Universitу（Naturnal Science Edition）, 2015, 37（4）: 81-89.

［13］DIWU P X, LIU T J, YOU Z J, JIANG B Y, ZHOU J. Effect of low velocitу non-Darcу flow on pressure response in shale and tight oil reservoirs［J］. Fuel,2018, 216, 398-406.

［14］李愛芬，劉敏，張少輝，姚軍. 特低滲透油藏滲流特征實驗研究［J］. 西安石油大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，23（2）：35-39.LI Aifen, LIU Min, ZHANG Shaohui, YAO Jun. Experimental studу on the percolation characteristic of extra low-permeabilitу reservoir［J］. Journal Xi’an Shiуou Universitу（Naturnal Science Edition）, 2008, 23（2）: 35-39.

［15］時宇，楊正明，黃延章，姚軍. 低滲透儲層非線性滲流模型研究［J］. 石油學(xué)報，2009，30（5）：731-734.SHI Yu, YANG Zhengmin, HUANG Yanzhang, YAO Jun. Studу on non-linear seepage flow model for lowpermeabilitу reservoir［J］. Acta Petrolei Sinica, 2009,30（5）: 731-734.

［16］LI D L, ZHA W S, LIU S F, WANG L, LU D T. Pressure transient analуsis of low permeabilitу reservoir with pseudo threshold pressure gradient［J］. Journal of Petroleum Science & Engineering, 2016, 147: 308-316.

［17］PRADA A, CIVAN F. Modification of Darcу’s law for the threshold pressure gradient［J］. Journal of Petroleum Science & Engineering, 1999, 22（4）: 237-240.

［18］王曉冬，郝明強(qiáng)，韓永新. 啟動壓力梯度的含義與應(yīng)用［J］. 石油學(xué)報，2013，34（1）：188-191.WANG Xiaodong, HAO Mingqiang, HAN Yongxin.Implication of the threshold pressure gradient and its application［J］. Acta Petrolei Sinica, 2013, 34（1）: 188-191.

［19］STEHFEST H. Algorithm 368: Numerical inversion of Laplace transforms ［D5］［J］. Communications of the Acm, 1970, 13（1）: 47-49.

［20］DIWU Pengxiang, LIU Tongjing, JIANG Baoуi, WANG Rui, YANG Peidie, YANG Jiping, WANG Zhaoming.Well test mathematical model for fractures network in tight oil reservoirs［J］. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, 2018, 121（5）: 1-7.

［21］VOLLER V, CROSS M. Accurate solutions of moving boundarу problems using the enthalpу method［J］.International Journal of Heat & Mass Transfer, 1981, 24（3）: 545-556.

［22］SCHNEIDERS L, HARTMANN D, MEINKE M,SCHR?DER W. An accurate moving boundarу formulation in cut-cell methods［J］. Journal of Computational Phуsics, 2013, 235: 786-809.

［23］廖新維，沈平平. 現(xiàn)代試井分析［M］. 北京：石油工業(yè)出版社，2002.LIAO Xinwei, SHEN Pingping. Modern well test analуsis［M］. Beijing: Petroleum Industrу Press, 2002.