Ising模型在金融市場價格構(gòu)成中的應(yīng)用

欒玉國，賈澤正,李東海，付天宇(沈陽航空航天大學.理學院，.航空航天工程學部(院)，沈陽 110136)

隨著現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展，特別是互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)推動全球化的深入發(fā)展，世界各國之間金融市場的發(fā)展非常迅速而深入。不斷出現(xiàn)的金融風險和危機表明我們對金融系統(tǒng)復(fù)雜性形成機制的認識還不能使我們充分理解金融活動和管控金融風險，需要從原理和微觀層面上研究金融市場的特性。近年來，由于計算機的快速發(fā)展，把金融市場看成是非線性統(tǒng)計動力學系統(tǒng)，利用理論物理知識和各種物理模型如Ising模型等來研究金融系統(tǒng)的價格形成機制和市場特性已經(jīng)成為新的研究熱點[1-4]。

Ising模型是利用粒子之間相互作用描述鐵磁體的磁性及相變的隨機模型，其中粒子自旋可以選擇向上或向下[5-10]。簡化的市場交易者在市場交易中則是一買一賣，粒子自旋和交易者這兩者在行為上具有相似性。同時，比較金融價格形成和鐵磁體的磁化強度，以及市場價格的突變和鐵磁性的臨界磁性相變等，也可看出它們都具有相似的復(fù)雜系統(tǒng)性質(zhì)。應(yīng)用Ising模型研究金融市場，可以通過簡單的模型來研究和解釋金融市場的行為[11-14]。本文主要分析中國金融市場中單個股票的價格行為，通過Ising模型模擬其價格曲線，研究其收益率時間序列和統(tǒng)計性質(zhì)，并和A股市場的股指波動行為進行比較，了解個股價格行為的主要特點。研究結(jié)果表明，個股的收益率尖峰厚尾特征和A股上證指數(shù)相似，但概率密度函數(shù)分布更不均勻。

1 簡化的Sznajd伊辛模型

Ising模型在經(jīng)濟市場中的應(yīng)用，是將一維或二維格點上的N*N個自旋粒子看成投資人，粒子自旋Si(i,j=1,2,3，…,N2)的量子化取向只有朝上(Si=1)和朝下(Si=-1)，分別對應(yīng)投資人的買進和賣出。在每一定步長的離散交易時間里 , 投資人有買進和賣出兩個選項。每個投資人的交易決策，和相鄰格點上的投資人投資取向以及投資輿論環(huán)境有關(guān)，以一定的概率形成自己下一步的交易取向，系統(tǒng)的哈密頓量如式(1)所示。

(1)

式中是對格點(i,j)的所有相鄰格點上投資人交易取向進行求和，B代表輿論對投資人的影響。

(2)

式中系統(tǒng)的價格x(t)會隨著時間的變化而變化，當x(t)>0時，智者的交易選擇為買進，反之則賣出。

根據(jù)以上所給的Sznajd簡化的Ising模型，我們可以通過數(shù)值模擬的方式，給出價格曲線隨時間的變化，并由此計算其收益率，通過與A股市場中的個股收益率的統(tǒng)計規(guī)律等進行比對研究，分析Sznajd模型描述價格產(chǎn)生機制和中國股市里個股的收益率的統(tǒng)計規(guī)律是否一致。模擬方法主要取20 000個格點，通過隨機數(shù)產(chǎn)生其初始狀態(tài)，根據(jù)蒙特卡羅方法按照Sznajd給出的規(guī)則進行演化。模擬按照中國股市的交易時間，每半個小時采集一組數(shù)據(jù)，共產(chǎn)生1 000個交易日的模擬價格曲線。圖1為模擬得到的一組價格曲線。

圖1 Sznajd模型模擬股票的價格走勢

模擬數(shù)據(jù)的相對收益率r(t)可以如公式(3)所示。

(3)

圖2(橫坐標表示模擬進行天數(shù)，縱坐標表示相對收益率，其值在-2～1.5之間)為上面模擬價格曲線對應(yīng)的日收益率曲線。

2 模型結(jié)果和實際個股的分析比較

為和模型數(shù)據(jù)比較我們選取了一組A股市場的個股，計算了它們的相對收益率。在統(tǒng)計性質(zhì)上，這些個股的相對收益率和概率密度統(tǒng)計特性比較相似，因此這里主要就給出一支股票平安銀行(000001)，來和模擬數(shù)據(jù)進行比較分析。圖 3是平安銀行從2014年8月22日到2016年5月13日的價格曲線，其對應(yīng)的相對收益率曲線如圖 4所示。由上面給出的實際平安銀行數(shù)據(jù)和模擬數(shù)據(jù)走勢圖我們進行線性回歸分析和比較，給出圖 5和圖 6，可以看出在擬合線的上方，模擬數(shù)據(jù)的分布和實際個股的情況相當接近，都密集地分布于擬合線附近，表明模擬數(shù)據(jù)能夠很好地模擬實際市場。

圖2 模擬數(shù)據(jù)相對收益率曲線

圖3 平安銀行股票的股價分布

同時，從模擬數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)的比較中，我們還看出，真實的市場中個股上漲和下跌的幅度和頻次并不完全對稱，小幅度上漲出現(xiàn)的概率很高，大幅上漲的數(shù)據(jù)很少出現(xiàn)，而大幅下跌的情況卻并不少見。在圖6的下方，可以明顯地看到實際股票的開盤-收盤數(shù)據(jù)中，有少量數(shù)據(jù)大幅偏離擬合線，這些數(shù)據(jù)往往都是當天股價大幅下跌甚至跌停所導致。個股頻繁的大幅下跌甚至跌停，實際上是市場恐慌情緒下的一種極端從眾心理導致的非理性價格現(xiàn)象。這種現(xiàn)象在單個的個股中表現(xiàn)更為突出，甚至超過模型假定的范圍，而在上證指數(shù)等綜合指數(shù)中出現(xiàn)這種單日極端行情的情況相對較小，因此和模型模擬數(shù)據(jù)更加接近。

圖4 平安銀行股價相對收益率分布

圖5 Sznajd模型模擬證券的價格線性回歸曲線

圖6 平安銀行股票價格的線性回歸曲線

圖7和圖8是根據(jù)平安銀行股票數(shù)據(jù)和模擬數(shù)據(jù)繪制的頻率直方圖，并分別疊加了基于回歸分析給出的正態(tài)分布密度曲線。從圖中可以看出模擬數(shù)據(jù)和個股的實際收益率樣本在均值附近直方圖的數(shù)值都明顯地高于正態(tài)分布曲線，尾部也要高出密度曲線，具有明顯的尖峰厚尾特點[15-16]。但平安銀行證券實際收益率數(shù)據(jù)明顯具有不對稱特點，如負收益率的部分出現(xiàn)低頻大數(shù)值現(xiàn)象要比對應(yīng)的正收益率部分高，而模擬數(shù)據(jù)的頻率直方圖分布更加對稱。

這一現(xiàn)象表明投資人在證券市場上，同樣的收益率大小，不同的方向上交易偏好存在差異。在Sznajd模型中，這種交易偏好差異僅僅給出投資人買賣的簡化假設(shè)，對正負收益率不加區(qū)分，因此模擬數(shù)據(jù)沒有反映出這一交易偏好差異現(xiàn)象。

圖7 模擬數(shù)據(jù)頻率分布直方圖

圖8 平安銀行頻率分布直方圖

3 結(jié)論

通過Sznajd模型的模擬數(shù)據(jù)所給出的收益率等和實際證券的數(shù)據(jù)比較，可以看出Sznajd模型所給的價格形成機制和實際證券市場具有一致的統(tǒng)計性質(zhì)，如都具有相同的尖峰厚尾等普遍特征。與此同時，將Sznajd模型和中國股市的個股比較，我們還能發(fā)現(xiàn)個股具有不同的個性特點，如正收益率往往幅度小頻率高，負收益往往有一定數(shù)量的較大數(shù)值，顯示出個股收益率上存在著不對稱性，通過考慮這種不對稱性，可以在金融市場中進一步發(fā)展Sznajd模型，使得Sznajd模型的研究更具有應(yīng)用價值。

參考文獻(References)：

[1] MANTEGNA R N,STANLEY H E.An introduction to econophysics-correlations and complexity in finance [M].Cambridge:Cambridge University Press,2000.

[2] PETER E E.Chaos and oder in the capital market [M].New York :John Wiley & Sons,1991.

[3] CHALLER D,MARSILI M,ZHANG Y C.Modeling market mechanism with minority game [J].physica A,2000,276(1):284-315.

[4] WERON K S,WERON R.A simple model of price formation [J].International Journal of Modern Physics C,2002,13(1):115-123.

[5] ISING E.Eeitrag zur therie des ferromagnetismus [J].Z Phys,1925,31(1):253-258.

[6] H OSBORN.Modern theory of critical phenomena[J].Physics Bulletin,1977,28(4):183.

[7] KRAMERS H A,WANNIER G H.Statistics of the two-dimensional ferromagnet.part I[J].Physical Review,1941,60(3):252-262.

[8] 張祥,陳冬保,陳武鳴.二維伊辛模型蒙特卡羅模擬[J].南京大學學報(自然科科學版),1997(1):137-141.

[9] 張志東.伊辛模型的研究進展簡介[J].自然雜志,2008,30(2):94-98+101.

[10]郭松青.三維蜂穴Ising模型的磁矩[J].沈陽航空工業(yè)學院學報,2000,17(3):54-56.

[11]SILVA L,STAUFFER D.Ising-correlated clusters in the cont-bouchaud stock market model[J].Physica A,2001,294(1):235-238.

[12]涂育松,李曉,鄧敏藝,等.一維Sznajd輿論模型相變的研究[J].廣西師范大學學報(自然科學版),2005,23(3):5-8.

[13]李其德,王軍.基于Ising模型的股票價格統(tǒng)計特征及模擬[J].北京交通大學學報,2007,31(6):81-83.

[14]金華,陸繼宗.Ising模型在經(jīng)濟物理學中的應(yīng)用[J].上海電機學院學報,2008,11(1):66-70.

[15]邊寬江,程波,王蕾蕾.收益分布尖峰厚尾問題的統(tǒng)計檢驗[J].統(tǒng)計與決策,2009(7):83-85.

[16]趙鵬舉,劉玉敏.反饋交易與證券市場收益的尖峰厚尾特征[J].系統(tǒng)工程,2009,27(2):7-13.