混頻數(shù)據(jù)抽樣模型等權(quán)低頻化處理的估計(jì)偏誤研究

王春枝，穆 楠，趙國杰，于 揚(yáng)

（1.內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特 010070；2.天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072）

0 引言

混頻數(shù)據(jù)抽樣模型(Mixed Data Sampling，簡記為MIDAS)近年來得到了學(xué)界的廣泛關(guān)注，其主要思想是利用比較容易觀測到的高頻率數(shù)據(jù)來預(yù)測不容易觀測到的低頻率數(shù)據(jù)，但是由于數(shù)據(jù)頻率的差異，在參數(shù)估計(jì)方面存在較大的難度。早期，學(xué)術(shù)界對(duì)于此問題的處理，主要采用兩大類方法：插值法和橋接模型法。橋接模型法的本質(zhì)和插值法是一樣的，二者都是建立在依時(shí)性加總思想基礎(chǔ)之上。此外，還有一些學(xué)者直接采用其他頻率相同的指標(biāo)來近似代替低頻指標(biāo)進(jìn)行量化分析。Amemiya和Wu（1972）[1]利用處理非平穩(wěn)時(shí)間序列的ARIMA模型以及單位根檢驗(yàn)的ADF方法，對(duì)比分析了插值法、橋接模型等方法的適用性以及有效性，對(duì)比分析的結(jié)果表明這類依時(shí)性加總的處理方法對(duì)信息的利用并不充分，因?yàn)楦鞣N頻率的數(shù)據(jù)都蘊(yùn)含其獨(dú)有的信息和趨勢，將不同頻率數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為同一頻率數(shù)據(jù)的處理方式造成了高頻數(shù)據(jù)信息損失，降低了模型精度。在這樣的背景下，對(duì)不同頻率的混合數(shù)據(jù)進(jìn)行直接建模的混頻數(shù)據(jù)模型便應(yīng)運(yùn)而生[2-4]。GDP相關(guān)性較高的CPI等指標(biāo)的月度數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)預(yù)測了季度GDP數(shù)據(jù)，這是混頻數(shù)據(jù)直接應(yīng)用的開端，為混頻數(shù)據(jù)抽樣模型的廣泛應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

Ghysels等(2004)[5]在Koenig[4]研究的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了考慮數(shù)據(jù)非平衡性的混頻數(shù)據(jù)抽樣模型（MIDAS），其主要思想是根據(jù)數(shù)據(jù)特征構(gòu)建不同的權(quán)重多項(xiàng)式，將高頻和低頻指標(biāo)結(jié)合，從而可以動(dòng)態(tài)地考察不同頻率指標(biāo)之間的關(guān)系。此后，MIDAS模型在金融、宏觀經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域得到普遍應(yīng)用，越來越多的研究成果將高頻數(shù)據(jù)加入到低頻宏觀經(jīng)濟(jì)變量預(yù)測模型中，并取得了極大成功，這些成功的案例均表明高頻變量和低頻變量直接應(yīng)用能夠顯著提高模型的預(yù)測精度[6-9]。

縱覽相關(guān)成果，當(dāng)前關(guān)于MIDAS模型的研究主要基于實(shí)證角度進(jìn)行，重在運(yùn)用MIDAS模型對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行定量分析與預(yù)測，尚缺乏從理論角度探討其與經(jīng)過轉(zhuǎn)換的傳統(tǒng)同頻率模型之間內(nèi)在關(guān)系的研究，對(duì)其估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也缺乏相應(yīng)的數(shù)理證明。鑒于此，本文從MIDAS模型的構(gòu)成形式出發(fā)，通過對(duì)高頻變量的成分進(jìn)行分解，從而將MIDAS模型與傳統(tǒng)處理混頻數(shù)據(jù)的方法進(jìn)行比較，傳統(tǒng)的混頻數(shù)據(jù)處理的主要思路是賦予高頻變量均等化的權(quán)重將其轉(zhuǎn)換為低頻變量，得到EQW（Equal Weights）模型。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的角度對(duì)EQW模型參數(shù)的普通最小二乘估計(jì)量（Ordinary least squares，簡記為OLS）的統(tǒng)計(jì)偏倚性和有效性進(jìn)行推導(dǎo)，得出其偏倚為零的約束條件，以期為MIDAS模型在實(shí)時(shí)預(yù)測的精度保證方面提供理論支持。

1 MIDAS模型的EQW導(dǎo)出

1.1 一元混頻數(shù)據(jù)模型（MIDAS）及其分解

首先，以一元混頻數(shù)據(jù)模型為例，設(shè)變量Yt是模型的被解釋變量（因變量），具有低頻屬性，下標(biāo)t代表所考察的時(shí)期。一元混頻模型中只含有一個(gè)高頻解釋變量（自變量），記為，其中m為高頻數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，時(shí)間區(qū)間為第t期到t-1期，m實(shí)際上就是高頻變量與低頻變量的頻率的倍差。記q代表模型中滯后變量的滯后階數(shù)，則一元混頻模型（MIDAS）的函數(shù)方程可以寫為：

式（1）中，ωi(θ)是賦予目標(biāo)參數(shù)θ向量的一個(gè)權(quán)重函數(shù)，并且滿足權(quán)數(shù)之和等于1的統(tǒng)計(jì)要求，即L為模型中的延遲算子，其滿足條件是除之外其他影響被解釋變量Yt的隨機(jī)干擾項(xiàng)，滿足零均值、同方差、無自相關(guān)、與解釋變量不相關(guān)等古典假定，并且 μt～N(0'σ2)。

令代表高頻解釋變量與低頻被解釋變量的頻率倍差m內(nèi)的所有樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)經(jīng)過等權(quán)重平均得到的指標(biāo)，即有：

根據(jù)式（2），經(jīng)典的同頻EQW回歸模型可表示為：

設(shè)qm=m-1，則式（1）可以轉(zhuǎn)化為：

進(jìn)一步展開得到具體形式為式（5）：

令(θ)為高頻解釋變量按照不等權(quán)重進(jìn)行加權(quán)平均的權(quán)重函數(shù)，則將其帶入式（5），可以得到：

即：

同理，當(dāng)qm＞m-1時(shí)，最高滯后階數(shù)設(shè)為qm，式（1）可分解為：

從上述分解過程中可以清晰地看到一元MIDAS模型與EQW模型之間的關(guān)系，觀察式(6)和式（7）可以發(fā)現(xiàn)：一元MIDAS模型的解釋變量部分既包含了傳統(tǒng)的按等權(quán)重平均進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的部分同時(shí)也包含了獨(dú)立引入權(quán)重函數(shù)ωi(θ)的加權(quán)平均部分這意味著通過賦予高頻變量均等化的權(quán)重將其轉(zhuǎn)換為低頻變量得到的EQW模型只是一元MIDAS模型的一個(gè)組成部分，EQW模型損失了模型中高頻解釋變量的一部分信息是顯而易見的[10]。

1.2 多元混頻數(shù)據(jù)模型（M-MIDAS）及其分解

接下來，將MIDAS模型中的高頻解釋變量擴(kuò)展至一般情形，令為k個(gè)同頻的高頻解釋變量，其函數(shù)表達(dá)式記為為模型中高頻解釋變量的個(gè)數(shù)，且 j=1'2…k。另外，設(shè)q為模型中高頻變量的最大滯后階數(shù)，從而多元混頻數(shù)據(jù)模型M-MIDAS的方程形式可以表示為：

式（8）中，m1'm2'…'mk代表了k個(gè)高頻解釋變量的頻率，不同解釋變量的頻率既可以相等也可以不相等，另外，記為每個(gè)高頻解釋變量的滯后階數(shù)，一般情況下，認(rèn)為這些高頻解釋變量的滯后階數(shù)是相同的，即同步變化性，令表示高頻解釋變量的權(quán)重函數(shù)，其滿足權(quán)重函數(shù)之和為1的統(tǒng)計(jì)要求。

當(dāng) j個(gè)高頻解釋變量的頻率滿足m1=m2=…=mk=m，即頻率都相同時(shí)，第 j個(gè)高頻解釋變量的等權(quán)平均的部分可表示為同理，設(shè)qm=m-1，多元混頻數(shù)據(jù)模型M-MIDAS可轉(zhuǎn)化為:

式（9）中

如果 j個(gè)高頻解釋變量的頻率m1'm2'…'mk至少一個(gè)不同時(shí)，權(quán)重函數(shù)方程的表達(dá)式調(diào)整為

設(shè)qm＞m-1，模型中高頻變量的最大滯后階數(shù)設(shè)為qm，根據(jù)同樣的思路，可將式（7）進(jìn)一步變形為：此時(shí)，多元混頻數(shù)據(jù)模型M-MIDAS的方程形式就可表示為：

根據(jù)式(10)和式（11）可以看到，在 qm=m-1和qm＞m-1兩種情形下，多元混頻數(shù)據(jù)模型M-MIDAS均可以分解為兩部分：按等權(quán)重平均處理的部分、獨(dú)立引入權(quán)重函數(shù)的加權(quán)平均部分。由此可得與一元混頻數(shù)據(jù)模型MIDAS同樣的結(jié)論：簡單地將高頻解釋變量等權(quán)低頻化處理的多元EQW模型仍然不可避免的損失了一部分高頻解釋變量自帶的信息。

1.3 非限制性多元混頻模型（U-M-MIDAS）及其分解

式（1）和式（8）在分解時(shí)，都施加了約束條件：所有高頻解釋變量的各個(gè)滯后項(xiàng)權(quán)重函數(shù)ωi(θ)的和等于1，當(dāng)解釋變量與和被解釋變量的頻率倍差較小時(shí)，并且所需要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)較少時(shí)，可以放松對(duì)權(quán)重函數(shù)之和為1的約束條件，選擇非限制混頻數(shù)據(jù)回歸模型U-M-MIDAS對(duì)低頻被解釋變量進(jìn)行回歸，借鑒分布滯后回歸模型，對(duì)高頻解釋變量不賦予權(quán)重，則可得非限制混頻數(shù)據(jù)回歸模型的方程形式為：

其中 Φ(L)和 β(L)為算子-φpLp，回 歸 系 數(shù)的白噪聲序列。

首先，假設(shè)qm=m-1的情形下，按照與前文同樣的方法，式（12）可以分解為：

其中回歸系數(shù)

當(dāng)qm＞m-1時(shí)，假設(shè)式（12）中，所有高頻解釋變量的最高滯后階數(shù)為qm，據(jù)此，式（12）可分解為：

觀察式(13)和式（14）同樣可以發(fā)現(xiàn)，等權(quán)低頻化處理的部分Xj'E

t只是非限制混頻數(shù)據(jù)回歸模型U-M-MIDAS的部分構(gòu)成，而U-M-MIDAS模型其余部分所攜帶的信息，EQW模型是無法體現(xiàn)的。

綜上，通過對(duì)三種基本形式的MIDAS模型按等權(quán)重和非等權(quán)重分解高頻回歸元數(shù)據(jù)集，可以清晰地看到MIDAS模型與EQW模型的區(qū)別及內(nèi)在聯(lián)系，也均證明了MIDAS模型進(jìn)行直接的等權(quán)低頻化處理，會(huì)造成高頻變量本身攜帶的信息損失，這種信息損失，會(huì)給模型的估計(jì)量帶來什么后果？這也是本文接下來要研究的另一個(gè)問題。

2 EQW模型OLS估計(jì)量的偏倚性

本文以多元混頻模型（M-MIDAS）為例，從估計(jì)量的偏倚角度，探討M-MIDAS模型直接等權(quán)低頻化處理得到的EQW模型，在損失信息的情況下如何影響模型參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

將式（8）的多元混頻模型由代數(shù)形式改寫為矩陣形式：

同樣地，假設(shè)所有高頻解釋變量的頻率一致，此時(shí)隨機(jī)過程滿足：

其中，j為高頻解釋變量個(gè)數(shù)，j=1'2'…'k，q為高頻解釋變量最高滯后階數(shù)。ωij(θj)為關(guān)于權(quán)重參數(shù)向量θj的權(quán)重函數(shù)，滿足條件ωij(θj)∈[0'1]，定義變量：

假設(shè)被解釋變量與解釋變量之間真實(shí)的函數(shù)關(guān)系為式（8），其中高頻解釋變量Xt(θ)可以表示為兩部分：等權(quán)重加權(quán)部分和非等權(quán)重加權(quán)部分(θ)，即 Xt(θ)滿足等式從而式（15）的矩陣形式進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

其中隨機(jī)項(xiàng)ut服從正態(tài)分布。(θ)是一個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角線元素為且

假設(shè)q=m，在模型中加入自回歸項(xiàng)，得到混頻數(shù)據(jù)自回歸模型AR-M-MIDAS形式如下：

其中依據(jù)式（18）建立經(jīng)典回歸模型為：

其中

對(duì)式（19）的回歸模型利用普通最小二乘法（OLS）進(jìn)行回歸，得到參數(shù)估計(jì)量的表達(dá)式為：

將式（18）帶入式（20），可得：

其中所以EQW模型的普通最小二乘估計(jì)量的偏度可表示為：

觀察式（22）可以看到，只要ψ(θ)≠0，EQW模型的普通最小二乘估計(jì)量的偏倚就不為0，這意味著偏誤的存在。只有當(dāng)與滿足即

與為正交關(guān)系，則 E(β?*)=β 成立，此時(shí)，EQW模型的OLS估計(jì)量才具有無偏性。

3 EQW模型OLS估計(jì)量的有效性

良好的統(tǒng)計(jì)量的另外一個(gè)性質(zhì)是有效性，主要考察估計(jì)量的方差。接下來，本文對(duì)EQW模型和多元混頻M-MIDAS普通最小二乘估計(jì)量的漸進(jìn)分布以及漸進(jìn)有效性進(jìn)行對(duì)比分析。首先，定義關(guān)于參數(shù)β和θ的參數(shù)空間為Φ=(β'θ)，定義模型的兩個(gè)組成部分：等權(quán)處理與非等權(quán)處理的總體均值為：

設(shè)導(dǎo)數(shù)存在，從而普通最小二乘估計(jì)量可表示為：

對(duì)式（24）移項(xiàng)并進(jìn)一步整理，可得：

根據(jù)逆矩陣是關(guān)于原始矩陣的一個(gè)連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)，令 plim(X'Xn)-1=Q-1，同時(shí)，根據(jù)林德伯格—費(fèi)樂中心極限定理可以得到：

由式（26）的極限分布為σ2Q-1)。

記

因?yàn)榈仁匠闪?，所以M-MIDAS模型中參數(shù)估計(jì)量?的方差為：

如果令

則

從而?的均方誤可表示為：

而多元混頻模型的OLS估計(jì)量?的均方誤為:

比較式（29）和式（30），可以得到兩個(gè)結(jié)論：

（1）當(dāng) θ=0,且時(shí)，

（2）當(dāng) θ=0,而時(shí)，由于所以有此時(shí)是比β?更有效的一個(gè)估計(jì)量。

本文進(jìn)一步分解混頻模型，探索EQW模型普通最小二乘估計(jì)量與頻率倍差m的關(guān)系。設(shè)為一個(gè)獨(dú)

立同分布的隨機(jī)過程，并且滿足條件

設(shè)為MIDAS模型等權(quán)重的均值,其

非線性部分記為：

則只有一個(gè)獨(dú)立同分布回歸元的MIDAS模型可表示為：

因?yàn)樗猿闪ⅰＳ汕拔目芍?，EQW模型的OLS估計(jì)量的偏倚為則：

結(jié)合式（27）可得：

由式（34）可以看到，將高頻解釋變量等權(quán)低頻化處理得到低頻數(shù)據(jù)，并將其應(yīng)用于傳統(tǒng)回歸模型，按照普通最小二乘法進(jìn)行擬合，得到的參數(shù)OLS估計(jì)量β?*的方差與頻率倍差m呈同方向變化的關(guān)系，高頻解釋變量與低頻被解釋變量的倍差m越大，β?*的方差也越大，統(tǒng)計(jì)量β?*的有效性也隨之不斷降低，這對(duì)模型而言是一個(gè)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)：首先，從模型檢驗(yàn)層面看，建立在估計(jì)量的方差基礎(chǔ)之上進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)，如回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)等，其檢驗(yàn)的信度都會(huì)降低；其次，從模型應(yīng)用的層面看，被解釋變量與解釋變量之間關(guān)系的結(jié)構(gòu)分析、被解釋變量未來取值的預(yù)測等常見的模型應(yīng)用都將面臨精度下降的問題。

4 結(jié)論

本文依據(jù)高頻數(shù)據(jù)低頻化的常用變換方法，將三種基礎(chǔ)類型的MIDAS模型從內(nèi)部結(jié)構(gòu)上進(jìn)行分解，結(jié)果發(fā)現(xiàn)將高頻數(shù)據(jù)直接等權(quán)低頻化處理的EQW模型損失了MIDAS模型的非等權(quán)重加權(quán)平均部分。進(jìn)而，本文通過數(shù)理推導(dǎo)，從估計(jì)量的偏倚性以及有效性角度證明了EQW模型OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。結(jié)果表明：EQW模型由于信息損失會(huì)導(dǎo)致回歸系數(shù)估計(jì)時(shí)產(chǎn)生偏倚，只有當(dāng)?shù)葯?quán)重加權(quán)平均部分和非等權(quán)重加權(quán)平均部分(θ)正交時(shí)，偏倚才會(huì)為零；EQW模型OLS估計(jì)量的方差與頻率倍差呈同方向變化的關(guān)系，高頻解釋變量與低頻被解釋變量時(shí)間頻率的倍差越大，估計(jì)量的有效性越低。

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