一類含間隙碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制

衛(wèi)曉娟 李寧洲 張惠 丁旺才

摘要： 應(yīng)用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能優(yōu)化控制方法研究一類含間隙碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的控制?；赗BF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計混沌控制器，利用混沌控制器輸出小擾動施加于系統(tǒng)的可控參數(shù)，將混沌運動控制為預(yù)期的規(guī)則運動，同時將自適應(yīng)混合引力搜索算法與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，利用自適應(yīng)混合引力搜索算法收斂速度快和全局尋優(yōu)能力強的優(yōu)勢，優(yōu)化混沌控制器的參數(shù)，避免了控制器參數(shù)選擇的盲目性和主觀性，提高了控制器的性能。該方法不需要被控系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，適用于系統(tǒng)模型未知而僅獲得實驗數(shù)據(jù)的情況。

關(guān)鍵詞： 非線性振動； 碰撞振動； 混沌控制； RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； AHGSA算法

中圖分類號： O322； TH113.1； TP183 文獻標(biāo)志碼：A文章編號1004-4523（2018）02-0336-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.018

引言

實際應(yīng)用中，由于設(shè)計、制造或裝配誤差等因素影響，機械系統(tǒng)中各零部件間會存在間隙，導(dǎo)致在外部激勵作用下零部件間將出現(xiàn)碰撞振動現(xiàn)象。由于碰撞的存在，碰撞振動系統(tǒng)具有非光滑和強非線性特性，其復(fù)雜的不穩(wěn)定動力學(xué)行為（如混沌行為）不僅會引起噪聲或機械部件磨損，甚至?xí)＜跋到y(tǒng)運行安全（例如由于輪軌間隙的存在，當(dāng)機車車輛運行速度高于機車車輛蛇行運動的臨界速度時，隨著運行速度的提高，蛇行運動將漸趨惡化，各剛體的振動位移變得越來越大而最終出現(xiàn)分岔現(xiàn)象并伴有混沌運動狀態(tài)，輪軌間會產(chǎn)生劇烈碰撞而導(dǎo)致機車車輛運行性能惡化，不僅可能損傷輪對及線路，甚至可能造成脫軌事故[1-2]）。

因此，鑒于工程實際中的需求，對碰撞振動系統(tǒng)的混沌運動進行控制，以獲得該類系統(tǒng)的穩(wěn)定動力學(xué)行為，減少由其不穩(wěn)定動力學(xué)行為（如混沌運動）所引起的不必要的損失并延長機械設(shè)備的使用壽命是非常必要且具有實際工程價值的。

近年來，研究者們關(guān)于碰撞振動系統(tǒng)混沌運動控制策略和方法的研究取得了相應(yīng)的成果。文獻[3-4] 提出了一類單自由度碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的狀態(tài)變量預(yù)測反饋控制策略及非線性延遲反饋控制策略；文獻[5]提出了碰撞振動系統(tǒng)的參數(shù)自調(diào)節(jié)混沌控制策略；文獻[6]提出了基于反饋控制思想的一類單自由度碰撞振子位置控制策略；文獻[7]將OGY方法應(yīng)用于一類單自由度碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的控制中；文獻[8]基于阻尼控制思想實現(xiàn)了一類單自由度碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的控制，文獻[9]基于反饋控制思想實現(xiàn)了不對稱雙邊約束下兩自由度碰撞振動系統(tǒng)的位置控制。

然而既有的多數(shù)碰撞振動系統(tǒng)混沌控制方法都需要獲知系統(tǒng)模型信息，在受控系統(tǒng)模型未知或存在不確定性時將很難適用。但是工程實際中，由于混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性，系統(tǒng)的解析模型往往是未知的或是難以精確得到的，因此，研究并提出不依賴于受控對象精確數(shù)學(xué)模型，僅利用系統(tǒng)的輸入/輸出數(shù)據(jù)進行混沌控制的控制策略和方法，具有重要的理論與現(xiàn)實意義。

將智能控制方法與智能計算方法相結(jié)合而形成的智能優(yōu)化控制方法[10]，由于不依賴于受控對象精確數(shù)學(xué)模型，且控制參數(shù)可利用智能計算方法自動優(yōu)選，所以很適于解決難以建立受控對象精確數(shù)學(xué)模型的控制問題。但將智能優(yōu)化控制方法引入碰撞振動系統(tǒng)混沌控制領(lǐng)域還未發(fā)現(xiàn)有相關(guān)文獻，為了彌補現(xiàn)有碰撞振動系統(tǒng)混沌控制方法的不足，本文針對一類含間隙碰撞振動系統(tǒng)混沌控制問題，提出一種基于AHGSA-RBFNN的混沌控制策略，采用不依賴于受控對象精確數(shù)學(xué)模型的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計混沌控制器，并采用自適應(yīng)混合引力搜索算法[11]（簡稱AHGSA算法）優(yōu)化選擇控制器的參數(shù)（即隱層節(jié)點中心、中心寬度、連接隱層和輸出層的權(quán)值），通過給系統(tǒng)可控參數(shù)施加一個小擾動量，達到使系統(tǒng)產(chǎn)生預(yù)期規(guī)則運動的目的。該方法無需了解系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型及不動點的位置等先驗知識，實現(xiàn)簡單。仿真結(jié)果也表明該方法具有良好的控制效果。

第2期衛(wèi)曉娟，等： 一類含間隙碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制振 動 工 程 學(xué) 報第31卷1系統(tǒng)力學(xué)模型及混沌運動

本文研究含間隙碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的控制，圖1所示為一類單自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)的典型代表。質(zhì)量塊的質(zhì)量用M表示，其位移用X表示，質(zhì)量塊與左側(cè)剛性約束之間由剛度為K的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的線性阻尼器相連，當(dāng)質(zhì)量塊M處于平衡位置時，其與右側(cè)剛性約束的間隙為B。作用在質(zhì)量塊上的簡諧激振力為Fsin（ΩT+τ）。

圖1單自由度含間隙碰撞振動系統(tǒng)的力學(xué)模型

Fig.1The mechanical model of a single-degree-of-freedom vibro-impact system with clearance

若碰撞持續(xù)時間忽略不計，則圖1所示系統(tǒng)運動微分方程為M+C+KX=Fsin（ΩT+τ）， X

+=-R-， X=B（1）式中，和X分別為質(zhì)量塊M的加速度、速度和位移；M，C，K分別為質(zhì)量塊M的質(zhì)量、線性阻尼器的阻尼和線性彈簧的剛度；-，+分別為質(zhì)量塊M與右側(cè)剛性約束碰撞前后的瞬時速度；R為恢復(fù)系數(shù)。

不失一般性，引入無量綱量x=XKF， ζ=C2MK， ω=ΩMK， t=TKM， b=BKF，對式（1）進行無量綱變換，得+2ζ+x=sin（ωt+τ）， x

+=-R-， x=b （2）式中-，+分別為質(zhì)量塊M與右側(cè)剛性約束碰撞前后的瞬時速度。

為研究圖1所示系統(tǒng)動力學(xué)演化機理，選擇碰撞后瞬時的σ截面（即σ={（x，，θ）∈R2×S1x=b，=+}，其中，θ=ωtmod2nπ）為Poincaré截面，以影響系統(tǒng)動力學(xué)特性的參數(shù)——簡諧激振力頻率ω為分岔參數(shù)，取ζ=0.2，R=0.8，b=0.05，數(shù)值模擬系統(tǒng)狀態(tài)隨簡諧激振力頻率ω變化所產(chǎn)生的分岔現(xiàn)象，如圖2所示。

圖2隨ω變化的分岔圖

Fig.2The bifurcation diagram of with ω changing

由圖2可知，當(dāng)簡諧激振力頻率ω在一定范圍內(nèi)變化時，圖1所示系統(tǒng)具有穩(wěn)定的周期n-1運動（n表示周期數(shù)，1表示碰撞次數(shù)；如當(dāng)ω∈[2.50，2.55] 時，圖1所示系統(tǒng)具有穩(wěn)定的周期1-1運動），但隨著ω增大，系統(tǒng)則會發(fā)生倍周期分岔，并最終演化為混沌運動，且在混沌運動過程中還具有一些周期窗口，這正是非線性系統(tǒng)混沌運動的典型特征之一；隨著ω的進一步增大，混沌運動又會退化為周期運動。當(dāng)ω=2.65時，如圖3所示，系統(tǒng)相平面圖不重復(fù)且雜亂無章，同時 Poincar截面圖中的無規(guī)律散落點集以及頻譜圖中的連續(xù)譜也表明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)；圖3（a）所示為系統(tǒng)在Poincaré截面上的混沌吸引子。圖3混沌吸引子、相平面圖和頻譜圖（ω=2.65）

Fig.3Chaotic attractor， phase plane portrait and amplitude spectrum（ω=2.65）

2基于RBFNN的混沌控制器設(shè)計

由于混沌運動是由非線性動力系統(tǒng)某些關(guān)鍵參數(shù)變化所引起，基于此，本文基于參數(shù)反饋混沌控制法的原理控制混沌運動，即通過RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌控制器輸出一個小擾動施加于系統(tǒng)的可控參數(shù)，通過對系統(tǒng)可控參數(shù)進行動態(tài)微幅調(diào)整，從而將混沌運動控制到期望的規(guī)則運動。

本文設(shè)計混沌控制器時，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為3層結(jié)構(gòu)，包括輸入層、隱層和輸出層，根據(jù)混沌運動控制目標(biāo)，將能夠反映系統(tǒng)趨近于穩(wěn)定的周期1-1運動趨勢的k次迭代后Poincaré截面上的投影點與系統(tǒng)經(jīng)k-1次迭代后Poincaré截面上的投影點間的距離（即d（k）=X（k）-X（k-1））、以及系統(tǒng)經(jīng)k-1次迭代后Poincaré截面上的投影點與系統(tǒng)經(jīng)k-2次迭代后Poincaré截面上的投影點間的距離（即d（k-1）=X（k-1）-X（k-2））作為控制器的輸入，控制器的輸出則定義為系統(tǒng)激勵頻率或阻尼系數(shù)的微幅調(diào)整量（即控制器輸出小擾動量施加于系統(tǒng)的一個可控參數(shù)），由此，確定RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層為2個節(jié)點、輸出層為1個節(jié)點；控制器結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4控制器結(jié)構(gòu)

Fig.4The structure of controller

圖4中，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)采用AHGSA算法進行優(yōu)化；d（k）為Poincaré截面上相鄰兩點的距離， d（k）=X（k）-X（k-1），其中，X（k）為受控系統(tǒng)狀態(tài)變量X在k時刻的值；u為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌控制器輸出的擾動量，為保持控制的有效性，設(shè)定最大擾動量為umax，則-umax

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖5所示。

圖5控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

Fig.5The structure diagram of the control system

圖5中，d*為Poincaré截面上相鄰兩點距離的期望值，e（k）為誤差，且e（k）=d*-d（k）。

3基于AHGSA的控制器參數(shù)優(yōu)化

混沌控制器設(shè)計時需確定若干參數(shù)，這些參數(shù)質(zhì)量決定了控制器性能的優(yōu)劣，不同的參數(shù)組合會得到不同的控制效果，因此必須對控制器的參數(shù)進行優(yōu)化選擇，然而如果依靠人工經(jīng)驗確定控制器參數(shù)，將會造成參數(shù)優(yōu)選過程繁瑣、效率低下，也不利于保證控制系統(tǒng)的性能。控制器參數(shù)的優(yōu)化選擇實際上是一種多維參數(shù)空間上的優(yōu)化問題，優(yōu)化算法的性能是決定參數(shù)優(yōu)選結(jié)果乃至影響控制系統(tǒng)性能的關(guān)鍵因素。傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器參數(shù)選擇一般采用基于梯度下降的算法，但易于陷入適應(yīng)度函數(shù)的局部極小值，從而影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能。為了解決這一問題，研究者們采用遺傳算法[12]、蟻群算法[13]等智能優(yōu)化算法來優(yōu)化選擇神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，并取得了一定的成效。但是GA需要進行復(fù)制、交叉、變異操作，其算法結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，而ACO中的控制參數(shù)相對較多，容易產(chǎn)生早熟收斂現(xiàn)象。

AHGSA算法是在GSA算法[14]的基礎(chǔ)上經(jīng)過改進而提出的，其既具有GSA算法所需控制參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡單的特點，又利用了混沌運動的典型特征：遍歷性和隨機性，采用混沌序列初始化種群，增強了粒子搜索初期的遍歷性，并在粒子搜索過程中構(gòu)造變異算子，對速度和位置進行變異操作，發(fā)揮了全局最優(yōu)解對粒子搜索運動的引導(dǎo)作用；同時，又依據(jù)粒子的性能，對其進化過程中的控制參數(shù)（即萬有引力系數(shù)）進行自適應(yīng)調(diào)整，從而克服了GSA算法全局探索能力較強而局部開發(fā)能力較差的弱點，提高了算法的整體尋優(yōu)效率。因此本文采用AHGSA以提高碰撞振動系統(tǒng)混沌運動控制中待優(yōu)化問題的求解效率。

3.1適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)建

適應(yīng)度函數(shù)是用來衡量基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所設(shè)計的混沌控制器對被控系統(tǒng)的控制能力的。目標(biāo)是找到這樣一個網(wǎng)絡(luò)，能使被控含間隙碰撞振動系統(tǒng)由混沌狀態(tài)最終趨于期望的規(guī)則運動。適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)建不僅需考慮控制系統(tǒng)的快速性、穩(wěn)定性及準(zhǔn)確性，同時也應(yīng)考慮控制能量問題。

假設(shè)粒子群規(guī)模為n，粒子i的位置用m維向量i表示，m=s×h+2h（s為混沌控制器輸入變量的個數(shù)，h為RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點數(shù)），則粒子群的位置可以用矩陣n×m表示，根據(jù)碰撞振動系統(tǒng)混沌運動控制目標(biāo)，本文選定Poincaré截面上相鄰兩點的距離d（k）=X（k）-X（k-1）作為判斷依據(jù)，構(gòu)建控制器參數(shù)優(yōu)化選擇時所應(yīng)滿足的適應(yīng)度函數(shù)如下f（i）=λ1∑Lk=1d*-X（k）-X（k-1）·

ln（1η）+λ2∑Lk=1u（k）（3）式中X（k）為受控系統(tǒng)狀態(tài)變量X在k時刻的值； u（k）為k時刻的控制輸入；d*為Poincaré截面上相鄰兩點距離的期望值；η為（0，1）區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)；λ1， λ2為相對權(quán)重；L為輸入/輸出數(shù)據(jù)序列長度。

3.2基于AHGSA的控制器參數(shù)優(yōu)化

采用AHGSA算法使式（3）取得最小值的全局最優(yōu)位置g即是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混沌控制器的最優(yōu)參數(shù)w，σ和c，其具體優(yōu)化步驟如下：

Step1：利用混沌序列初始化粒子位置，隨機產(chǎn)生粒子的初始速度；

Step2：按式（3）計算粒子的適應(yīng)值，確定個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置；

Step3：更新粒子的速度和位置；

Step4：按式（3）計算各粒子的適應(yīng)值，更新個體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置；

Step5：判斷算法是否滿足終止條件，滿足則搜索停止，輸出全局最優(yōu)位置對應(yīng)的混沌控制器的參數(shù)解；否則，轉(zhuǎn)向Step3。

4仿真研究

采用本文所提出的混沌控制方法對圖3（a）所示混沌吸引子進行控制仿真，控制方法中沒有用到系統(tǒng)的模型信息，文中利用系統(tǒng)的模型僅僅為了產(chǎn)生系統(tǒng)的輸入/輸出數(shù)據(jù)，并不用其進行控制器的設(shè)計。

選用高斯RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行混沌控制器設(shè)計，且經(jīng)過對比分析發(fā)現(xiàn)：隱層節(jié)點少于5個時，由于控制器的非線性映射能力弱，仿真分析發(fā)現(xiàn)無法完成有效混沌控制，而當(dāng)隱層節(jié)點增多后，控制器的非線性映射能力增強，智能算法優(yōu)選到適當(dāng)?shù)目刂破鲄?shù)則控制效果會變得更好；但隨著隱層節(jié)點進一步增多，控制器結(jié)構(gòu)也會變得相較更為復(fù)雜，需要確定的控制器參數(shù)也會成倍數(shù)增多，智能算法要搜尋到合適的控制器參數(shù)也變得相對更為困難，算法的尋優(yōu)效率隨之相應(yīng)降低；根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點數(shù)的基本確定原則（即：滿足控制系統(tǒng)性能要求的前提下取盡可能緊湊的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，也就是取盡可能少的隱層節(jié)點數(shù)），所以選擇能夠完成有效混沌控制的最少隱層節(jié)點數(shù)，即將網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點選定為5個。AHGSA算法的參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為100，G0=130，α=18，等比系數(shù)p=0.96。針對系統(tǒng)可控參數(shù)ω施加微小擾動，以抑制系統(tǒng)的混沌運動，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的周期運動。為了更清楚地顯示混沌運動控制效果，系統(tǒng)迭代400次時對混沌運動施加控制。

圖6為將混沌運動控制為周期1-1運動的仿真結(jié)果圖，展現(xiàn)了基于AHGSA-RBFNN的混沌運動控制效果。采用AHGSA算法優(yōu)化后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如表1所示。圖6（a）～6（c）是系統(tǒng)的受控周期1軌道（a-）、相平面圖（b）及頻譜圖（c）。

圖6系統(tǒng)的受控周期1-1運動

Fig.6Controlled period 1-1 motion of the system

由圖6可知，混沌運動能夠很快地被控制為周期1-1運動，相圖為1條封閉曲線，頻譜圖出現(xiàn)1個峰值。表1RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)（周期1-1）

Tab.1Parameters of RBFNN（period 1-1）

隱層節(jié)點中心中心寬度連接隱層和輸

出層的權(quán)值（-0.4634，0.0615）0.1553-0.1295（0.0145，0.4333）0.49590.6096（0.3884，-0.1873）0.54800.6572（-0.4650，0.9533）0.97531.8719（0.1798，-0.4595）0.4057-0.7667

圖7為將混沌運動控制為周期2-2運動的仿真結(jié)果圖。采用AHGSA算法優(yōu)化后的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)如表2所示。

圖7（a）～7（c）是系統(tǒng)的受控周期2軌道（a-）、相平面圖（b）及頻譜圖（c）。

由圖7可知，混沌運動能夠很快地被控制為周期2-2運動，相圖為2條封閉曲線，頻譜圖出現(xiàn)2個明顯峰值。

圖7系統(tǒng)的受控周期2-2運動

Fig.7Controlled period 2-2 motion of the system

表2RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)（周期2-2）

Tab.2Parameters of RBFNN（period 2-2）

隱層節(jié)點中心中心寬度連接隱層和輸

出層的權(quán)值（-0.5571，-0.0145）0.1551-0.4048（-0.4343，-0.2695）0.22701.4516（0.6568，-0.2486）0.16571.1380（-0.4287，-0.0286）0.40520.1679（-0.3259，-0.5974）0.3730-1.1044

由上述仿真結(jié)果可見，利用本文方法能夠很好地實現(xiàn)對圖1所示系統(tǒng)混沌運動的有效控制，而且預(yù)期目標(biāo)不僅可為周期1不動點，也可以設(shè)定為其他的周期軌道。但是出于篇幅的考慮，這里只給出部分n-p周期軌道的控制效果圖，其余周期軌道的控制效果不再贅述。

5結(jié)論

本文利用高斯RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不依賴被控對象精確數(shù)學(xué)模型的優(yōu)勢和AHGSA算法優(yōu)良的全局尋優(yōu)性能，提出了一類含間隙碰撞振動系統(tǒng)混沌運動的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略，以解決被控系統(tǒng)模型難以精確得到及無法獲得被控系統(tǒng)確切的動力學(xué)信息（如不動點位置等信息）時的混沌運動控制問題。仿真結(jié)果表明：本文所提出的控制方法是有效的、可行的。實施混沌運動控制時，在所建立的適應(yīng)度函數(shù)引導(dǎo)下，AHGSA算法可以對混沌控制器的參數(shù)進行有效地自動調(diào)節(jié)，相應(yīng)地使得所設(shè)計的混沌控制器能夠很好地達到控制要求，針對不同的預(yù)期目標(biāo)，均能在很短的時間內(nèi)搜索到并穩(wěn)定在相應(yīng)的目標(biāo)周期軌道上，同時也降低了控制器設(shè)計時對人類干預(yù)的依賴。本文所提控制方法不依賴被控系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型，無需了解被控系統(tǒng)確切的動力學(xué)信息（如不動點位置等），易于實現(xiàn)，能夠適用于動力學(xué)模型未知而僅獲得實驗數(shù)據(jù)的情況。

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Chaos control of a vibro-impact system with clearance based

on RBF neural networkWEI Xiao-juan， LI Ning-zhou， ZHANG Hui， DING Wang-cai（School of Mechatronic Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： By using intelligent optimization control method based on RBF neural network， the chaotic motion control of a vibro-impact system with clearance is studied in this paper. The chaos controller designed based on RBF neural network is used to output a small perturbation to adjust the controllable parameter of the vibro-impact system. Thus， the chaotic motion is controlled to the expected regular motion. At the same time， adaptive hybrid gravitational search algorithm （AHGSA） is combined with RBF neural network. By using the advantages of AHGSA algorithm with high convergence speed and global optimization ability， the parameters of chaos controller are optimized so that the blindness and subjectivity of the parameters selection of the chaos controller are avoided， and the performance of the chaos controller is improved. The proposed method in this paper does not need the exact mathematical model of the controlled system， so it is suitable for the cases where the exact mathematical model of the controlled system is unknown and only the experimental data can be obtained.

Key words： nonlinear vibration； vibro-impact； chaos control； RBF neural network； adaptive hybrid gravitational search algorithm