齒輪—轉(zhuǎn)子—軸承系統(tǒng)彎扭耦合非線性振動特性研究

陸春榮 李以農(nóng) 竇作成 楊陽 杜明剛

摘要： 針對存在不對中花鍵聯(lián)軸器齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)，考慮齒輪嚙合力和花鍵聯(lián)軸器嚙合力的影響，建立齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)模型，推導(dǎo)了彎扭耦合振動的動力學(xué)微分方程。通過進(jìn)行數(shù)值仿真求解，結(jié)合隨參數(shù)變化的分岔圖和對應(yīng)的相圖及龐加萊截面圖，研究了嚙合頻率、偏心距、花鍵聯(lián)軸器靜態(tài)不對中等參數(shù)對系統(tǒng)振動響應(yīng)特性的影響規(guī)律，為齒輪轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)參數(shù)選擇、診斷和安全運行提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 非線性振動； 齒輪-轉(zhuǎn)子； 彎扭耦合； 嚙合頻率； 花鍵聯(lián)軸器

中圖分類號： O322； TH113.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2018）02-0238-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.006

引 言

齒輪傳動系統(tǒng)是一個包含齒輪副、傳動軸、齒輪盤、軸承等部件的復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，由于齒輪嚙合的作用，其振動特性與簡單的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會有較大的區(qū)別。近年來，以Kaharaman[1]建立的單自由度齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型為基礎(chǔ)，學(xué)者們提出了各種新的改進(jìn)模型[2-3]。Lin H H[4-5]在齒輪動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，采用齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動模型，對齒輪嚙合力、動載系數(shù)及修緣參數(shù)進(jìn)行了考察研究。Farag K Omar等[6]建立一級齒輪傳動系統(tǒng)的9自由度模型，并且研究了傳遞誤差等因素對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。歐衛(wèi)林等[7]針對齒輪耦合復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，利用軸段單元法分析了系統(tǒng)的彎扭耦合振動特性。竇唯等[8]針對實際高速齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，建立了考慮齒輪嚙合及扭轉(zhuǎn)作用的彎扭耦合非線性振動模型，研究了齒輪嚙合剛度等參數(shù)對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響規(guī)律。趙廣等[9]推導(dǎo)了花鍵聯(lián)軸器不對中嚙合力模型，基于有限元法建立考慮嚙合力作用的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)方程，研究了不對中動態(tài)嚙合力對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性影響規(guī)律。大多學(xué)者對齒輪傳動系統(tǒng)的彎扭耦合振動進(jìn)行了大量的研究，但是在齒輪軸中考慮齒輪嚙合力、傳動軸中花鍵不對中嚙合力等因素的少有文獻(xiàn)提及。對于齒輪傳動這樣復(fù)雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，要想正確得出系統(tǒng)振動特性，就得建立更貼近實際的系統(tǒng)動力學(xué)模型。

本文在前人所做的工作的基礎(chǔ)上，利用集中質(zhì)量法，通過對某傳動裝置前轉(zhuǎn)向結(jié)構(gòu)中齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)考慮齒輪動態(tài)嚙合力和花鍵軸聯(lián)軸器不對中嚙合力的作用和傳遞扭矩的彎扭耦合非線性振動特性進(jìn)行仿真分析，并分析嚙合頻率、偏心距、靜態(tài)不對中量等參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)穩(wěn)定性的影響規(guī)律。

1 齒輪-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動力學(xué)模型的建立1.1 建立系統(tǒng)動力學(xué)模型 根據(jù)某傳動裝置前轉(zhuǎn)向機構(gòu)，并且考慮輸入/輸出、軸承支承等因素的影響，建立了如圖1（a）所示的齒輪傳動轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合非線性振動模型。從圖中可以知道，該系統(tǒng)為一級齒輪傳動減速的雙平行轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在考慮主/從傳動齒輪以及從動齒輪傳動軸較長的情況下，建立9盤質(zhì)量模型，每盤的質(zhì)量為mi、轉(zhuǎn)動慣量為Ji以及偏心量為ei（i=1～9），盤6和盤7分別代表主/從傳動齒輪所在質(zhì)量盤位置，e0代表花鍵聯(lián)軸器靜態(tài)位移。圖1 齒輪傳動轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型

Fig.1 Dynamic of model of gear-rotor system

圖1（b）中所示齒輪嚙合模型中，在主/從動齒輪的理想中心處建立固定坐標(biāo)系A(chǔ)i（xi，yi）（i=6，7）假設(shè)坐標(biāo)軸xi垂直于系統(tǒng)齒輪嚙合線方向；yi平行于系統(tǒng)齒輪嚙合線方向。主/從動齒輪旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)系Oi（xi，yi）（i=6，7），齒輪質(zhì)心坐標(biāo)為Gi（xgi，ygi）（i=6，7）。主動齒輪的轉(zhuǎn)角為ψ6，扭轉(zhuǎn)角位移為β6；從動齒輪的轉(zhuǎn)角為ψ7，扭轉(zhuǎn)角位移為β7。

根據(jù)前面的定義的關(guān)系可知，主從動齒輪的轉(zhuǎn)角分別為ψ6=ω1t+β6， ψ7=ω2t+β7（1）式中 t為時間。

規(guī)定在t=0時，9個質(zhì)量盤的初相位都是0，且從動齒輪的轉(zhuǎn)角方向為正，則齒輪質(zhì)心G6，G7與旋轉(zhuǎn)中心O6，O7之間的關(guān)系為xg6=x6+e6cos（- ψ6）

yg6=y6+e6sin（-ψ6）

xg7=x7+e7cosψ7

yg7=y7-e7sinψ7（2） 根據(jù)扭轉(zhuǎn)振動的相對性原理和主從動齒輪嚙合線方向上幾何關(guān)系，可以得出嚙合線上的相對位移δ= y6-y7+r6β6-r7β7+e6sinψ6-e7sinψ7-e（t），因此齒輪嚙合時沿嚙合線方向的動態(tài)嚙合力為FG=kmf（δ）+cmf（）（3）式中 km為齒輪嚙合的綜合嚙合剛度；cm為齒輪嚙合的綜合嚙合阻尼；r6和r7為主從齒輪的基圓半徑；e（t）為齒輪嚙合誤差，可表示為et=ep+ersin（ωet+φe）（4）式中 ep， er為嚙合誤差的均值和波動幅值，取ep為0，φe為相位角，其中ωe=2πn1z1/60為齒輪副的嚙合頻率，n1為主動齒輪的轉(zhuǎn)速，z1為主動齒輪的齒數(shù)，f（…）是非線性函數(shù)，其表達(dá)式為f（δ）=δ>bc

0，-bc≤δ≤bc

δ+bc，δ<-bc（5）式中 bc為齒側(cè)間隙的一半。

1.2 花鍵聯(lián)軸器嚙合力模型

如圖1（c）為花鍵聯(lián)軸器受力圖，聯(lián)軸器傳遞扭矩時，會使各鍵產(chǎn)生變形，即扭轉(zhuǎn)使各鍵產(chǎn)生一個嚙合力，同時，兩個半聯(lián)軸器所在節(jié)點隨系統(tǒng)振動又使各鍵產(chǎn)生變形，即動態(tài)位移使各鍵產(chǎn)生一個嚙合力。

本文參考文獻(xiàn)[9]，假定動態(tài)位移發(fā)生在x正向，可得每個鍵扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的嚙合力為：FTi=LiKLi（6）

=T/∑zi=1LiKLiR+Li（7）式中 為各鍵變形產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角位移，T為扭矩，z為花鍵聯(lián)軸器的個數(shù)，Li和KLi分別為各鍵等效嚙合距離和剛度，R為鍵根圓半徑。

動態(tài)位移產(chǎn)生的嚙合力為：FDi=（e′sinφi）KLi（8）

φi=2πi-1/z（9）

e′=x+e0cosα2+y+e0sinα2（10）式中 φi為各鍵與x軸正向夾角，e′為聯(lián)軸器動態(tài)徑向位移，即兩個半聯(lián)軸器所在節(jié)點的相對位移，α為靜態(tài)位移e0與x正向的夾角，一般情況下取α=π/2。

綜上分析，得到系統(tǒng)花鍵聯(lián)軸器不對中故障產(chǎn)生的嚙合力為FLi=Li+e′sinφiKLi（11）因為每一個鍵的嚙合力均大于零，所以FLi=Li+e′sinφiKLi，Li+e′sinφi>0

0，Li+e′sinφi≤0（12） 則聯(lián)軸器不對中產(chǎn)生的動態(tài)嚙合力分解為FX=∑zi=1Li+e′sinφiKLicosθi

FY=∑zi=1Li+e′sinφiKLisinθi（13）式中 θi為每個鍵作用力方向與x軸正向的夾角，其中θi=φi+π/2。

當(dāng)動態(tài)位移發(fā)生在任意角度ψ時，此時，聯(lián)軸器嚙合力為FLx=FXcosψ-FYsinψ

FLy=FXsinψ+FYcosψ（14）1.3 建立系統(tǒng)動力學(xué)方程

考慮不平衡力、嚙合力矩、輸入輸出扭矩等建立齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合動力學(xué)微分方程：

m11+k1（x1-x2）+c1（1-2）+kb1x1+

cb11=m1e1（1sinψ1+ψ21cosψ1），

m11+k1（y1-y2）+c1（1-2）+kb1y1+

cb11=m1e1（-1cosψ1+ψ21sinψ1）-m1g，

（J1+m1e21）1+kt1（β1-β2）+ct1（1-2）=

m1e1[1sinψ1-（1+g）cosψ1]-T2，

mpp+kp-1（xp-xp-1）+kp（xp-xp+1）+

cp-1（p-p-1）+cp（p-p+1）=

mpep（psinψp+ψ2pcosψp），

mpp+kp-1（yp-yp-1）+kp（yp-yp+1）+

cp-1（p-p-1）+cp（p-p+1）=

mpep（-pcosψp+ψ2psinψp）-mpg，

（Jp+mpe2p）p+kt（p-1）（βp-βp-1）+ktp（βp-βp+1）+

ct（p-1）（p-p-1）+ctp（p-p+1）=

mpep[psinψp-（p+g）cosψp]，

m55+k4（x5-x4）+k5（x5-x7）+c4（5-

4）+c5（5-7）=m5e5（5sinψ5+

ψ25cosψ5）+FLx，

m55+k4（y5-y4）+k5（y5-y7）+c4（5-

4）+c5（5-7）=m5e5（-5cosψ5+

ψ25sinψ5）+FLy-m5g，

（J5+m5e25）5+kt4（β5-β4）+kt5（β5-β7）+

ct4（5-4）+ct5（5-7）=m5e5[5sinψ5-

（5+g）cosψ5]，

m66+k6x6+c66+kb6x6+cb66=

m6e6（6sinψ6+ψ26cosψ6），

m66+k6y6+c66+kb6y6+cb66=

m6e6（6cosψ6-ψ26sinψ6）+FG-m6g，

（J6+m6e26）6+kt6β6+ct66=m6e6[6sinψ6+

（6+g）cosψ6]+FGr6+T1，

m77+k5（x7-x5）+k7（x7-x8）+c5（7-5）+c7（7-8）=m7e7（7sinψ7+ψ27cosψ7）-FLx，

m77+k5（y7-y5）+k7（y7-y5）+c5（7-5）+c7（7-8）=m7e7（-7cosψ7+ψ27sinψ7）-

FLy-FG-m7g，

（J7+m7e27）7+kt5（β7-β5）+kt7（β7-β8）+

ct5（7-5）+ct7（7-8）=m7e7[7sinψ7-（7+g）cosψ7]-FGr7，

m99+k8（x9-x8）+c8（9-8）+kb9x9+

cb99=m9e9（9sinψ9+ψ29cosψ9），

m99+k8（y9-y8）+c8（9-8）+kb9y9+

cb99=m9e9（-9cosψ9+ψ29sinψ9）-m9g，

（J9+m9e29）9+kt8（β9-β8）+ct8（9-8）=m9e9[9sinψ9-（9+g）cosψ9]（15）

式中 p=2，3，4，8，下同。

對動力學(xué)方程進(jìn)行無量綱化處理，令ω0=kav/me，kav為平均嚙合剛度，me 為齒輪副等效質(zhì)量，me=m6m7/（m6+m7）。令T=ω0t， ω2為從動輪角速度，無量綱化后為ω=ω2/ω0，令γ為齒輪傳動比。引入特征尺寸bc，無量綱側(cè)隙的一半D=b/bc。令X=x/bc，=dX/dT，Y=y/bc，=dY/dT，=dβ/dT，Mi=（Ji+mie2i），Kij=kj/（mibcω02），Cij=cj/（Miω0），Ktij=ktj/（Miω02），Ctij=ctj/（miω0），Kbi=kbi/（miω02），Cbi=cbi/（miω0），Ei=ei/bc，Hi=mieibc/Mi，G=g/（bcω02）。所以，得到無量綱化后動力學(xué)方程為：

1+K11（X1-X2）+C11（1-2）+Kb1X1+

Cb11=E1[1sin（ωT+θ1）+

（ω+θ1）2cos（ωT+θ1）]，

1+K11（Y1-Y2）+C11（1-2）+Kb1Y1+

Cb11=E1[-1cos（ωT+θ1）+

（ω+θ1）2sin（ωT+θ1）]-G，

1+Kt11（θ1-θ2）+Ct11（1-2）=H1[1·

sin（ωT+θ1）-（1+gbc）cos（ωT+θ1）]-T2M1ω20，

p+Kp（p-1）（Xp-Xp-1）+Kpp（Xp-Xp+1）+Cp（p-1）（p-p-1）+Cpp（p-p+1）=

Ep[psin（ωT+θp）+（ω+θp）2cos（ωT+θp）]，

p+Kp（p-1）（Yp-Yp-1）+Kpp（Yp-Yp+1）+Cp（p-1）（p-p-1）+Cpp（p-p+1）=

Ep[-pcos（ωT+θp）+（ω+θp）2·

sin（ωT+θp）]-G，

p+Ktp（p-1）（θp-θp-1）+Ktpp（θp-θp+1）+

Ctp（p-1）（p-p-1）+Ctpp（p-p+1）=

Hp[psin（ωT+θp）-（p+gbc）·

cos（ωT+θp）]，

5+K54（X5-X4）+K55（X5-X7）+C54（5-4）+C55（5-7）=E5[5sin（ωT+θ5）+

（ω+θ5）2cos（ωT+θ5）]+FLxm5bcω20，

5+K54（Y5-Y4）+K55（Y5-Y7）+C54（5-

4）+C55（5-7）=E5[-5cos（ωT+θ5）+（ω+θ5）2sin（ωT+θ5）]+FLym5bcω20-G，

5+Kt54（θ5-θ4）+Kt55（θ5-θ7）+Ct54（5-4）+Ct55（5-7）=H5[5sin（ωT+θ5）-

（5+gbc）cos（ωT+θ5）]，

6+K66X6+C666+Kb6X6+Cb66=

E6[6sin（ωγT+θ6）+（ωγ+θ6）2·

cos（ωγT+θ6）]，

6+K66Y6+C666+Kb6Y6+Cb66=E6[6·

cos（ωγT+θ6）-（ωγ+θ6）2sin（ωγT+θ6）]+FGm6bcω20-G，

6+Kt66θ6+Ct666=H6[6sin（ωγT+θ6）+

（6+gbc）cos（ωγT+θ6）]+FGr6+T1M6ω20，

7+K75（X7-X5）+K77（X7-X8）+C75（7-5）+C77（7-8）=E7[7sin（ωT+θ7）+（ω+θ7）2cos（ωT+θ7）]-FLxm7bcω20，

7+K75（Y7-Y5）+K77（Y7-Y8）+C75（7-

5）+C77（7-8）=E7[-7cos（ωT+

θ7）+（ω+θ7）2sin（ωT+θ7）]-

FGm7bcω20-FLym7bcω20-G，

7+Kt75（θ7-θ5）+Kt77（θ7-θ8）+Ct75（7-5）+Ct77（7-8）=H7[7sin（ωT+θ7）-（7+gbc）cos（ωT+θ7）]-FGr7M7ω20，

9+K98（X9-X8）+C98（9-8）+Kb9X9+

Cb99=E9[9sin（ωT+θ9）+

（ω+θ9）2cos（ωT+θ9）]，

9 + K98（Y9-Y8）+C98（9-8）+Kb9Y9+

Cb99=E9[-9cos（ωT+θ9）+

（ω+θ9）2sin（ωT+θ9）]-G，

9+Kt98（θ9-θ8）+Ct98（9-8）=H9[9·

sin（ωT+θ9）-（9+gbc）cos（ωT+θ9）]（16）

齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動仿真參數(shù)如表1～4中所示。

表1 齒輪仿真參數(shù)

Tab.1 Simulation parameters of gear參數(shù)符號數(shù)值齒輪齒數(shù)z1

z221

29質(zhì)量/kgm6

m72.6775

4.9818轉(zhuǎn)動慣量/（10-4kg·m2）J6

J754.33

146.869模數(shù)m5偏心距/（10-6m）e6

e71

2嚙合剛度/（108 N·m-1）km1.288嚙合阻尼比ε0.0317嚙合傳遞誤差幅值/（10-6m）er2表2 集中質(zhì)量盤仿真參數(shù)

Tab.2 Simulation parameters of mass disk參數(shù)圓盤質(zhì)量

m/kg轉(zhuǎn)動慣量J/

（10-4kg·m2）偏心距e/

（10-6m）〖〗偏心初相位

φ0/rad12.667829.49331021.26952.01091031.26952.01091041.26952.01091051.01581.81231062.677554.33301077.2705146.86912084.678145.36881091.535010.153410表3 花鍵聯(lián)軸器仿真參數(shù)

Tab.3 Simulation parameters of spline shaft coupling花鍵聯(lián)軸器參數(shù)數(shù)值鍵數(shù)z11鍵高L/mm3.59鍵寬B/mm5.15鍵厚H/mm88.01鍵根圓半徑R/mm15.33彈性模量E/GPa210泊松比λ0.3傳遞扭矩T1/（N·m）100等效嚙合距離L0/mm2.68表4 軸段仿真參數(shù)

Tab.4 Simulation parameters of shaft軸段

參數(shù)彎曲剛度

k/（107·

N·m-1）彎曲阻尼

c/（N·

m-1）扭轉(zhuǎn)剛度kt/

（104 N·

m·rad-1）扭轉(zhuǎn)阻尼

ct/（N·

m·s·rad-1）12.13015.0667.74820.153022.13013.70237.76820.111832.13013.70237.76820.111842.13013.60487.76820.1088519.903015.10088.66410.1575644.1000123.834019.90001.315376.956939.28464.90340.5215828.879539.10123.90480.2277 而對于系統(tǒng)支承軸承，將四處軸承均視為各向同性，不考慮交叉項。并依據(jù)《滾動軸承設(shè)計原理》，計算得到：kb1=8.1799×108 N/m，kb6=1.7465×108 N/m，kb7=8.4278×108 N/m，kb9=8.7329×108 N/m，cb1=cb6=cb7=cb9=300 N·s/m。

2 系統(tǒng)彎扭耦合非線性振動特性分析

系統(tǒng)考慮了齒輪嚙合力、花鍵聯(lián)軸器不對中嚙合力等非線性因素，偏心量、轉(zhuǎn)速、嚙合剛度、靜態(tài)不對中量等對系統(tǒng)動力學(xué)特性影響較大。采用變步長的4階Runge-Kutta法求解量綱化后的動力學(xué)方程，用所求的數(shù)值解分別得到了系統(tǒng)在不同參數(shù)下的分岔圖和龐加萊截面圖，并據(jù)此為工具研究參數(shù)變化對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響規(guī)律。

齒輪在6，7盤處嚙合，花鍵不對中嚙合力在5，7盤處產(chǎn)生，故質(zhì)量盤7的振動特征最具特性，主要研究7盤的彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動的運動分岔特性。

2.1 嚙合頻率的影響

取齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中齒輪副的半齒側(cè)間隙值為bc=40 μm。

圖2和3分別為系統(tǒng)隨頻率變化的分岔圖和某些頻率下的相圖及龐加萊截面圖。從分岔圖可以看出，系統(tǒng)運動隨嚙合頻率變化表現(xiàn)出復(fù)雜多樣的分岔特性。彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動同步運動。嚙合頻率較小時，運動狀態(tài)較為復(fù)雜，混沌運動、單周期、多周期交替變換；嚙合頻率較大時，系統(tǒng)運動相對穩(wěn)定，隨著頻率的增大，最終穩(wěn)定在周期1運動狀態(tài)。為了更好的描述系統(tǒng)的分岔特性，結(jié)合圖3，分析相應(yīng)特定頻率下的相圖和Poincaré圖，可以得出：當(dāng)ω=1.08時，相圖比較混亂，且龐加萊截面圖也是散亂的點，系統(tǒng)為混動運動；當(dāng)ω=2.61時，相圖為3條封閉的曲線，龐加萊聚合成3個點集，系統(tǒng)為周期3運動；當(dāng)ω=2.86時，相圖為封閉的曲線，龐加萊聚合成單個點，系統(tǒng)為單周期運動。圖2 系統(tǒng)隨嚙合頻率變化的分岔圖

Fig.2 Bifurcation diagram via frequency圖3 系統(tǒng)在不同嚙合頻率下的相圖和龐加萊截面圖

Fig.3 Phase diagram and Poincaré diagram of different frequency2.2 偏心距的影響

取嚙合頻率ω=2.8，其他參數(shù)保持不變，圖4（a）和（b）為系統(tǒng)振動隨偏心距變化的分岔圖。從系統(tǒng)的分岔圖中可以看出：偏心距較小時，系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期1運動；當(dāng)偏心距繼續(xù)增加至E=0.0012時，系統(tǒng)位移發(fā)生激變，而激變后又保持短暫的周期1運動，當(dāng)偏心距繼續(xù)增加直到E=0.0014時，系統(tǒng)直接由周期1運動進(jìn)入混沌狀態(tài)。該混沌運動狀態(tài)隨著偏心距E的繼續(xù)增大，保持短暫的范圍至E=0.0032時，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)再次退化為周期1運動，并且在繼續(xù)增大偏心距到一定的范圍，系統(tǒng)仍然保持著穩(wěn)定的周期1運動，但是，系統(tǒng)的振動位移都隨之明顯增大。圖4（c）表明：E=0.0025時，系統(tǒng)處于混沌運動。由此可見，在一定范圍內(nèi)，系統(tǒng)振動分岔特性隨偏心距的變化相對簡單，只存著周期1運動和混沌運動的轉(zhuǎn)變，只是在某一范圍內(nèi)，發(fā)生了混沌運動。

2.3 其他系統(tǒng)參數(shù)的影響

齒輪是傳遞運動和動力的基本傳動機構(gòu)，建模時，考慮了齒輪輸入扭矩、齒輪嚙合力和花鍵聯(lián)軸器不對中嚙合力，故輸入扭矩T1、齒輪嚙合剛度k和花鍵靜態(tài)不對中量E0對系統(tǒng)振動特性也必然會有較大影響。

圖5（a）中是系統(tǒng)隨輸入扭矩T1變化時的分岔特性圖。容易看出：扭矩較小時，系統(tǒng)運動表現(xiàn)為混沌運動狀態(tài)；隨著輸入扭矩的增大，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)直接退化為周期1運動。但在T1=110～115 N/m小范圍內(nèi)，系統(tǒng)再次由周期1運動進(jìn)入混沌運動，而繼續(xù)的增大扭矩，系統(tǒng)穩(wěn)定為周期1運動。

圖5（b）中是系統(tǒng)隨嚙合剛度k變化時的分岔特性圖。嚙合剛度在0～0.04范圍內(nèi)，系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運動狀態(tài)；剛度增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性增強，系統(tǒng)分別在k=0.05和k=0.062處發(fā)生了瞬態(tài)混沌現(xiàn)象，在k=0.07處出現(xiàn)了短暫的周期3運動，但隨著剛度的繼續(xù)增大，系統(tǒng)穩(wěn)定為周期1運動。

圖5（c）中是系統(tǒng)隨嚙合剛度k變化時的分岔特性圖。當(dāng)花鍵靜態(tài)不對中量小于0.108時，系統(tǒng)在多數(shù)范圍內(nèi)表現(xiàn)為周期1運動，但周期1運動與瞬態(tài)混沌運動之間交替轉(zhuǎn)變頻繁，但是當(dāng)E0大于0.108后，系統(tǒng)幾乎都處在混沌運動。

可見，輸入扭矩以及嚙合剛度的增大，會使系統(tǒng)穩(wěn)定性增強，而靜態(tài)不對中量的增大，則會使系統(tǒng)運動穩(wěn)定性減弱。圖4 系統(tǒng)隨偏心距變化的分岔圖及對應(yīng)Poincaré圖

Fig.4 Bifurcation diagram via eccentric distance and Poincaré diagram圖5 系統(tǒng)隨各參數(shù)變化的分岔圖

Fig.5 Bifurcation diagram via parameters3 結(jié) 論

本文數(shù)值計算得到了考慮了齒輪嚙合力、花鍵聯(lián)軸器不對中動態(tài)嚙合力等因素的齒輪傳動轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎、扭振動位移，借助分岔圖和對應(yīng)參數(shù)下的相圖以及龐加萊截面圖，分析了系統(tǒng)的動力學(xué)非線性振動特性，得到了以下結(jié)論：

（1）系統(tǒng)隨著嚙合頻率的增大表現(xiàn)豐富的分岔特性。混沌運動、周期1運動、周期2運動等都在交錯變換，高轉(zhuǎn)速要比低轉(zhuǎn)速穩(wěn)定。

（2）偏心距對彎扭振動位移和系統(tǒng)的穩(wěn)定性都有較大影響。偏心距增大，使得彎曲振動和扭轉(zhuǎn)振動的位移都明顯增大，會使得系統(tǒng)穩(wěn)定性減弱。

（3）系統(tǒng)扭矩、嚙合剛度等參數(shù)都會引起系統(tǒng)發(fā)生分岔，出現(xiàn)混沌運動。輸入扭矩較大時，系統(tǒng)穩(wěn)定，而較小時不穩(wěn)定；嚙合剛度越大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好；但靜態(tài)不對中增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性會變差，進(jìn)入混沌運動，為了保證系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性，必須控制齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中花鍵聯(lián)軸器靜態(tài)不對中的大小。

參考文獻(xiàn)：

[1] Kahraman A， Singh R. Non-linear dynamics of a spur gear pair [J]. Journal of Sound and Vibration， 1990， 142（1）： 49—75.

[2] WANG Jianhong， ZHANG Qingwei， HE Renbing. Effect of involute contact ratio on the dynamic performance of spur gear with no tooth profile modification [J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2003， 16（4）： 417—421.

[3] 唐進(jìn)元， 陳思雨， 鐘 掘. 一種改進(jìn)的齒輪非線性動力學(xué)模型[J]. 工程力學(xué)， 2008， 25（1）：217—223.

TANG Jinyuan， CHEN Siyu， ZHONG Jue. A improved nonlinear model for a spur gear pair system[J]. Engineering Mechanics， 2008， 25（1）： 217—223.

[4] Lin H H， Huston R L， Coy J J. On dynamic loads in parallel shaft transmissions[J]. Mechanisms Transmissions and Automation in Design， 1998， 110（2）：221—229.

[5] Lin H H. Dynamic loading of spur gear with linear or parabolic tooth profile modifications[J]. Mechanism and Machine Theory， 1194， 29（8）：1115—1129.

[6] Omar F K， Moustafa K A F， Emam S. Mathematical modeling of gearbox including defects with experimental verification[J]. Journal of Vibration and Control， 2011：1077546311403791.

[7] 歐衛(wèi)林， 王三民， 袁 茹. 齒輪耦合復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動分析的軸單元法[J]. 航空動力學(xué)報， 2005，20（3）：434—439.

Ou Weilin，Wang Sanmin， Yuan Ru. Shaft element method for the analysis of lateral-torsional coupling vibration of a complex gear-rotor system[J]. Journal of Aerospace Power， 2005， 20（3）：434—439.

[8] 竇 唯， 張 楠， 劉占生. 高速齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動研究[J]. 振動工程學(xué)報， 2011， 24（4）：385—393.

Dou Wei， Zhang Nan， Liu Zhansheng. The coupled bending and torsional vibrations of the high-speed geared rotor-bearing system[J]. Journal of Vibration Engineering，2011， 24（4）：385—393.

[9] 趙 廣， 劉占山， 陳 鋒，等. 花鍵聯(lián)軸器對轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)穩(wěn)定性影響研究[J]. 振動工程學(xué)報， 2009， 22（3）：280—286.

Zhao Guang， Liu Zhansheng， Chen Feng， et al. Influences of spline coupling on stability of rotor-bearing system[J]. Journal of Vibration Engineering， 2009， 22（3）：280—286.

Nonlinear vibration of bending-torsion coupling

gear-rotor-bearing system

LU Chun-rong1， LI Yi-nong1， DOU Zuo-cheng1， YANG Yang2， DU Ming-gang2

（1.College of Automotive Engineering， Chongqing University， Chongqing 400030， China；

2.China North Vehicle Research Institute， Beijing 100072， China）

Abstract： The dynamic characteristics of the gear-rotor-bearing system with misalignment spline coupling are studied. Considering nonlinear mesh force of gear pairs and spline coupling， the dynamic model of the gear-rotor-bearing system is proposed and the dynamic differential equation of coupled bending and torsional nonlinear vibration is deduced. The characteristic graphs， such as the diagrams of bifurcation via parameters and the corresponding phase diagram and Poincaré diagram， are obtained through the numerical simulation. The effects of the gear mesh frequency parameter， the static displacement parameter of misalignment spline coupling etc. are studied on the system vibration response. This study can provide a theoretic reference for optimum design， fault diagnosis and safe operation of geared rotor-bear coupled system.

Key words： nonlinear vibration； gear-rotor； bending-torsion coupling； gear mesh frequency； spline coupling