Z型折疊板內(nèi)共振下非線性振動(dòng)特性研究

郭翔鷹 張楊 張偉

摘要：Z型折疊板是一類復(fù)雜多體結(jié)構(gòu)，在工程實(shí)際中應(yīng)用廣泛。以大型的空間可展開(kāi)結(jié)構(gòu)為實(shí)際工程背景，考慮了Z型折疊板折疊過(guò)程中各部件的運(yùn)動(dòng)耦合關(guān)系，基于Reddy經(jīng)典板理論和von-Karman幾何非線性應(yīng)變位移關(guān)系，利用Hamilton原理建立了Z型折疊板的非線性動(dòng)力學(xué)控制方程。利用有限元分析得到了Z型折疊板結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)，運(yùn)用二階Galerkin截?cái)?，得到了Z型折疊板二自由度的非線性常微分方程。考慮系統(tǒng)主參數(shù)共振-1∶2內(nèi)共振的情況，通過(guò)攝動(dòng)分析得到系統(tǒng)四維直角坐標(biāo)形式的平均方程，最后利用數(shù)值模擬方法研究了橫向激勵(lì)對(duì)Z型折疊板非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響。

關(guān)鍵詞： 非線性動(dòng)力學(xué)； Z型折疊板； 內(nèi)共振； 數(shù)值模擬

中圖分類號(hào)： O322文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2018）02-0183-15

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.02.001

引言

可展開(kāi)（折疊）結(jié)構(gòu)具有悠久的研究歷史和工程應(yīng)用。折疊板結(jié)構(gòu)是可展結(jié)構(gòu)體系中最常用的一種，近年來(lái)在航空航天和建筑領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。在折疊狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)體積較小，可用于運(yùn)輸或存儲(chǔ)；在外力作用或系統(tǒng)內(nèi)部驅(qū)動(dòng)下，結(jié)構(gòu)逐步展開(kāi)，最終達(dá)到完全展開(kāi)的工作狀態(tài)，然后鎖定為穩(wěn)定狀態(tài)[1-2]。其中，Z型折疊板結(jié)構(gòu)是此類折疊結(jié)構(gòu)中最為經(jīng)典的一種，在航空領(lǐng)域主要被應(yīng)用于可變體飛行器機(jī)翼結(jié)構(gòu)，而其中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由于變形引起的結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)態(tài)特性問(wèn)題是結(jié)構(gòu)平穩(wěn)運(yùn)行的關(guān)鍵。

在Z型折疊板結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的研究方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，如：Lee等[3-4]分別利用有限元方法和高階板理論研究了復(fù)合材料折疊板的振動(dòng)特性。Pal等[5-8]分別使用有限元方法，高階層合板理論研究了復(fù)合材料層合板折疊結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性。Topal等[9] 利用一階板理論建立了具有對(duì)稱折疊角度的復(fù)合材料折疊板的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)MFD方法進(jìn)行頻率優(yōu)化，數(shù)值分析得出層合板的長(zhǎng)厚度比、夾角、板的長(zhǎng)度以及邊界條件會(huì)影響到其頻率特性。Jian等[10]建立了有限元模型，用一種條狀網(wǎng)格劃分單元，模擬了折疊板的靜態(tài)特征和動(dòng)力學(xué)特性分析。Liu等[11]對(duì)折疊板多體系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，并用數(shù)值方法研究了其動(dòng)態(tài)特性。張偉等[12]建立了變角度Z型梁的動(dòng)力學(xué)方程，計(jì)算了結(jié)構(gòu)的固有頻率和振動(dòng)模態(tài)，并通過(guò)數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。此外，Zhang等[13-14]研究了復(fù)合材料正交鋪設(shè)層合板結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)作用下的非線性振動(dòng)問(wèn)題，分析了系統(tǒng)不同參數(shù)下的振動(dòng)響應(yīng)。浙江大學(xué)的趙孟良和關(guān)富玲等[15-16]研究了空間可展結(jié)構(gòu)在外載荷作用下的運(yùn)動(dòng)特性。

然而，Z型折疊結(jié)構(gòu)屬于多體結(jié)構(gòu)，在外激勵(lì)作用下將產(chǎn)生大幅的非線性耦合振動(dòng)響應(yīng)，這部分的研究成果目前還很有限。本文根據(jù)實(shí)際工程背景，研究了一類Z型折疊板結(jié)構(gòu)在一定頻率的外激勵(lì)作用下發(fā)生1∶2內(nèi)共振情況下的非線性動(dòng)力學(xué)特性。

1動(dòng)力學(xué)模型和方程〖2〗1.1動(dòng)力學(xué)模型以大型的空間可展開(kāi)結(jié)構(gòu)為實(shí)際工程背景，建立如圖1所示的力學(xué)模型，所研究的Z型折疊板采用碳纖維復(fù)合材料層合板，折疊結(jié)構(gòu)由三部分組成，靠近固定端的部分稱為內(nèi)板，用Ω1表示，完成翻轉(zhuǎn)動(dòng)作的稱為中間板，用Ω2表示，中間板外側(cè)部分為外板，用Ω3表示。圖中O1x1y1，O2x2y2，O3x3y3分別為內(nèi)板、中間板、外板的局部坐標(biāo)系，全局坐標(biāo)系Oxy與局部坐標(biāo)系O1x1y1重合，各個(gè)板表面受到的橫向簡(jiǎn)諧激勵(lì)表示為P1，P2和P3，如圖1所示。

模型中，各個(gè)部分之間通過(guò)剛性鉸鏈相連接，通過(guò)內(nèi)部的作動(dòng)器和機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行折疊與展開(kāi)動(dòng)作，機(jī)構(gòu)在變形時(shí)，內(nèi)板與固定端相連接，中間板在一定的角度范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，外板始終與內(nèi)板保持平行。

本文研究過(guò)程中，滿足以下條件：

1）Z型折疊板3塊板是等厚度，等寬度的；

2）Z型折疊板3塊板在外激勵(lì)作用下不會(huì)產(chǎn)生材料本身的破壞。

圖1Z型折疊板的動(dòng)力學(xué)模型

Fig.1Mechanical model of the Z-type folding plates第2期郭翔鷹，等： Z型折疊板內(nèi)共振下非線性振動(dòng)特性研究振 動(dòng) 工 程 學(xué) 報(bào)第31卷1.2動(dòng)力學(xué)方程的建立

本文選取折疊板材料為正交鋪設(shè)的碳纖維復(fù)合材料層合板，不考慮剪切效應(yīng)，因此（σz ）z=+ /-h2=0，（τxz）z=+/-h2=0，（τyz）z=+/-h2=0，其中h為層合板結(jié)構(gòu)厚度。

材料的本構(gòu)關(guān)系如下

σxx

σyy

τyz

τzx

τxy=1112000

2122000

004400

000550

000066εxx

εyy

γyz

γzx

γxy（1）

式中ij為轉(zhuǎn)換彈性常數(shù)，定義為ij=T-1QijT-1T（2）并且T-1=cos2θsin2θ0

sin2θ〖〗cos2θ0

00cos2θ-sin2θ（3）正交鋪設(shè)復(fù)合材料層合板的彈性模量Qij（i=1，2，4，5，6； j=1，2，4，5，6）可以表示為如下形式：Q11=Q22=E1-ν2，Q12=Q21=νE1-ν2，

Q44=Q55=Q66=E2（1+ν）（4）內(nèi)力和彎矩的關(guān)系可表示為：Nxxi

Nyyi

Nzzi=∑Nk=1∫zk+1zkσxxi

σyyi

σzzidz （5）

Mxxi

Myyi

Mzzi=∑Nk=1∫zk+1zkσxxi

σyyi

σzzizdz（6）本文所研究的Z型可折疊結(jié)構(gòu)在橫向外載荷的作用下會(huì)產(chǎn)生較大的變形，因此這里用von-Karman大變形理論進(jìn)行分析，各個(gè)板的非線性應(yīng)變表達(dá)式為εx

εy

γxy=ε0+zε1（7）式中ε0=u0ixi+12w0ixi2

v0iyi+12w0iyi2

v0ixi+u0iyi+w0ixiw0iyi（8）

ε1=-ω20ix2i

-ω20iy2i

-2ω20ixiyi （9）式中下標(biāo)i表示第i個(gè)板（i=1，2，3）。

根據(jù)正交鋪設(shè)碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可得到內(nèi)力與應(yīng)變關(guān)系為N

M=AB

BDε1

ε2 （10）式中剛度矩陣Aij， Bij， Dij， 用如下形式表示Aij，Bij，Dij=∫h2-h2ij1，z，z2dz（11）根據(jù)經(jīng)典的層合板理論[17]，3塊板上任意一點(diǎn)在局部坐標(biāo)系中的位移分別表示為以下形式：ui=u0i（xi，yi，zi，t）-ziw0ixi（12a）

vi=v0i（xi，yi，zi，t）-ziw0iyi（12b）

wi=w0i（xi，yi，zi，t），（i=1，2，3）（12c）式中u0i，v0i，w0i是在板Ωi中性層上任意一點(diǎn)在X， Y， Z方向的位移。

根據(jù)本文模型中所建立的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，Z型折疊板結(jié)構(gòu)在全局坐標(biāo)系下的位移場(chǎng)可描述為：r1=R1u1

v1

w1 （13a）

r2 = r1 L1 cosw1′（L1 ）

v2

w2 + R2 u2

v2

w2 （13b）

r3 = r2 L2 cosw2′（L2 ）

v2

w2 （L2 ） + u3

v3

w3 （13c）式中Li為各個(gè)板的長(zhǎng)度， Ri 為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，形式如下R1=1

1

1 （14a）

R2=cosθ0-sinθ

0〖〗10

sinθ0cosθ （14b）將上述表達(dá)式（1）～（14）代入Hamilton原理中，整理展開(kāi)后得到用廣義位移表示的Z型折疊板結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)方程如下。

內(nèi)板的非線性動(dòng)力學(xué)方程為：

A11（2u01x21+w01x12w01x21）+A12（2u01x21+

w01x12w01x21）+A66（v01x1+u01y1+w01x1w01y1）=

I02u01t2-I13w01t2x1（15a）

A12（2v01y21+w01y12w01y21）+A22（2v01y21+

w01y12w01y21）+A66（v01x1+u01y1+w01x1w01y1）=

I02v01t2-I1（3w01〖〗t2y1）（15b）

A11[2u01x21w01x1+u01x12w01x21+3〖〗2w01x122w01x21]+

A12[2u01x21w01x1+u01x12w01x21+32w01x122w01x21]+

A12[2v01y21w01y1+v01y12w01y21+32w01y122w01y21]+

A22[2v01y21w01y1+v01y12w01y21+32w01y122w01y21]-

（D11+D12）4w01x41-（D22+D12）4w01y41-

8D664ω01x21y21+A66[2v01x12ω01x1y1+2u01y12ω01x1y1+

4w01x1w01y12ω01x1y1+v201x1y1w01x1+2u01x1y1w01x1+ 2v01x21w01y1+2u01x1y1w01y1+2w01x21w01y12+

2w01y21w01x12]+P1=I02w01t2+I1（3u01t2x1+

3v01t2y1）-I2（3w01t2x1+3w01t2y1）（15c）

中間板的非線性動(dòng)力學(xué)方程為：

A11（2u02x22+w02x22w02x22）+A12（2u02x22+

w02x22w02x22）+A66（v02x2+u02y2+w02x2w02y2）=

I0（sinkθ+coskθ）2u02t2+I0（sinkθ+

coskθ）（2w01（L1）tx1+）u02-I1（sinkθ+

coskθ）3w01t2x2-I1（sinkθ+coskθ）A12（2v02〖〗y(tǒng)22+

w02y22w02y22）+A22（2v02y22+w02y22w02y22）+A66（v02x2+

u02y2+w02x2w02y2）=I02v02t2-I1（3w02t2y2）（15d）

A12（2v02y22+w02y22w02y22）+A22（2v02y22+

w02y22w02y22）+A66（v02〖〗x2+u02y2+w02x2w02y2）=

I02v02t2-I1（3w02t2y2） （15e）

A11[2u02x22w02x2+u02x22w02x22+w02x222w02x22]+

A12[2u02x22w02x2+u02〖〗x22w02x22+

32w02x222w02x22]+A12[2v02y22w02y2+

v02y22w02y22+32w02y222w02y22]+A22[2v02y22w02y2+

v02y22w02y22+32w02y222w02y22]-（D11+

D12）4w02x42-（D22+D12）4w02y42-8D664ω02x22y22+

A66[2v02x22ω02x2y2+2u02y22ω02x2y2+

4w02x2w02y22ω02x2y2+v202x2y2w02〖〗x2+

2u02x2y2w02x2+2v02x22w02y2+2u02x2y2w02y2+

2w02x22w02y22+2w02y22w02x22]+P2=

-I02sinkθ2w02t2+I02coskθ（2w01（L1）tx1+

）w02+I1（sinkθ+coskθ）3u02t2x2+I1（sinkθ+

coskθ）（2w01（L1）tx1+）u02x2+I1+3w02t2y2-

I2（sinkθ+coskθ）4w02t2x22+I2（sinkθ+

coskθ）（2w01（L1）tx1+）w202x22-I24w02t2y22 （15f）

外板的非線性動(dòng)力學(xué)方程為：

A11（2u03x23+w03x32w03x23）+A12（2u03x23+

w03〖〗x32w03x23）+A66（v03x3+u03y3+w03〖〗x3w03y3）=

I02u03t2-I13w03t2x3+（-θ）（15g）

A12（2v03y23+w03y32w03〖〗y(tǒng)23）+A22（2v03y23+

w03y32w03y23）+A66（v03x3+u03y3+w03x3w03y3）=

I02v03t2-I1（3w03t2y3）（15h）

A11[2u03x23w03x3+u03x32w03x23+32w03x322w03x23]+

A12[2u03x23w03x3+u03x32w03x23+32w03x322w03x23]+

A12[2v03y23w03y3+v03y32w03y23+32w03y322w03y23]+

A22[2v03y23w03y3+v03y32w03y23+32w03y322w03y23]-

（D11+D12）4w03x43-（D22+D12）4w03y43-D664ω03x23y23+

A66[2v03x32ω03x3y3+2u03y32ω03x3y3+

4w03x3w03y32ω03x3y3+v203x3y3w03x3+2u03x3y3w03x3+

2v03x23w03y3+2u03x3y3w03y3+2w03x23w03y32+

2w03y23w03x32]+P3=I02w03t2+I13u03t2x3+

I13u03t2y3-I24w03t2x23-I24w03t2y23（15i）

結(jié)構(gòu)整體的邊界條件滿足如下等式：u1（0）=0，u1 x1 = L1 = u2 （0） = L1 （16a）

u2 x2 = L2 = u3 （0） = L1 + L2 cosθ（16b）

u3 x3 = L3 = L1 + L2 cosθ + L3 （16c）

w1（0）=0，w1（L1）=w2（0）=0（16d）

w3 （0） = w2 （L2 ） = L2 sinθ（16e）

w1′（0）=0，w2″（0）=0，w3（0）=0（16f）

w01 （0）y1 x1 = 0 = 0 （16g）

2w2（0）y22x1 = L1 = 2w3（0）y23x2 = L2 = 0（16h）

w01 （b）y1 x1 = 0 = 0（16i）

2w2（b）y22x1 = L1 = 2w3（b）y23x2 = L2 = 0（16j）

2w03 tx3 x3 = L3 = L1 + L2 cosθ + L3 （16k）

（A12+A22）[v0iyi+12（w0iyi）2]y=0，b=0 （16l）

2w02 tx2 x2 = L2 = L1 + L2 cosθ （16m）2有限元模態(tài)分析

上述所建立的動(dòng)力學(xué)控制方程是偏微分方程，利用數(shù)學(xué)方法直接求解極為困難，因此本文將采用Galerkin離散將偏微分方程轉(zhuǎn)換到常微分方程后進(jìn)行求解。對(duì)于單一結(jié)構(gòu)模型，其模態(tài)函數(shù)通常是可以直接根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式假設(shè)的，但Z型折疊板結(jié)構(gòu)為多體結(jié)構(gòu)，很難確定折疊板在外激振力作用下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)。因此首先通過(guò)ANSYS有限元方法，對(duì)Z型折疊板進(jìn)行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，得到Z型折疊板結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)。通過(guò)研究結(jié)構(gòu)模態(tài)振型，確定系統(tǒng)的模態(tài)函數(shù)形式。最后，將無(wú)量綱形式的Z型折疊板結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)控制方程通過(guò)Galerkin方法進(jìn)行二階離散，得到可求解的常微分方程組。

2.1有限元模型

航空領(lǐng)域?qū)嶋H應(yīng)用中，Z型折疊板結(jié)構(gòu)在折疊展開(kāi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的角速度很小，且折疊角度在0～150°的范圍內(nèi)，因此本文將板折疊過(guò)程分解，看作是不同折疊角度板結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)靜態(tài)慢變過(guò)程，選取幾個(gè)特定折疊角度來(lái)建立Z型碳纖維復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。

本章研究中取折疊角度為60°，90°和120°作為典型參數(shù)值，進(jìn)行對(duì)比分析和討論。

有限元模型統(tǒng)一采用四邊形板單元，如圖2所示；設(shè)置彈性模量為5×105 MPa，泊松比為0.3。Z型折疊板的有限元模型尺寸參數(shù)如表1所示。

圖2模型網(wǎng)格劃分示意圖

Fig.2Meshing of the Z-type folding plate wing of the three angles

表1Z型折疊板有限元模型的尺寸參數(shù)

Tab.1Geometric parameters of the finite element model for the Z-type folding wing

板長(zhǎng)度/m厚度/m寬度/m內(nèi)板20.012.1中間板10.012.1外板40.012.12.2模態(tài)分析

通過(guò)對(duì)建立的有限元模型施加初始條件，進(jìn)行模態(tài)分析，得到Z型折疊板結(jié)構(gòu)不同折疊角度下前5階固有頻率如表2所示。

表2不同折疊角度前5階固有頻率（單位：Hz）

Tab.2The first five order natural frequencies of different folding angles （Unit：Hz）

階數(shù)60°90°120°10.560180.617540.6944322.711402.358002.6580033.225903.319903.6326043.550903.731604.2836057.367306.220905.96140

下面列出Z型折疊板結(jié)構(gòu)在60°，90°，120°的折疊角度下的模態(tài)振型圖，如圖3～5所示。

由有限元模態(tài)分析結(jié)果可以看出，不同折疊角度下的Z型折疊板結(jié)構(gòu)前5階模態(tài)可表示為： 第1圖3折疊角度為60°時(shí)Z型折疊板前5階模態(tài)振型圖

Fig.3The first five order mode shapes of the Z-type folding angle 60°圖4折疊角度為90°時(shí)Z型折疊板前5階模態(tài)振型圖

Fig.4The first five order mode shapes of the Z-type folding angle 90°圖5折疊角度為120°時(shí)Z型折疊板前5階模態(tài)振型圖

Fig.5The first five order mode shapes of the Z-type folding angle 120°

階為彎曲振動(dòng)，第2階為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，第3階為彎曲振動(dòng)，第4階為彎扭耦合振動(dòng)，第5階為彎曲振動(dòng)。通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，Z型折疊板結(jié)構(gòu)的前5階振動(dòng)模態(tài)的形式與懸臂板結(jié)構(gòu)前5階振動(dòng)模態(tài)的形式相似。

3Galerkin離散

由于結(jié)構(gòu)在共振情況下會(huì)發(fā)生劇烈的大幅振動(dòng)，容易產(chǎn)生失穩(wěn)及結(jié)構(gòu)整體破壞等。因此，對(duì)于結(jié)構(gòu)在共振情況下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的研究是十分必要的。

在有限元分析結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)，Z型折疊板結(jié)構(gòu)在折疊角度為60°時(shí)，第4階固有頻率幾乎是第5階固有頻率1/2，存在1∶2內(nèi)共振的情況，因此，本文將對(duì)Z型折疊板結(jié)構(gòu)在主參數(shù)共振-1∶2內(nèi)共振的情況下的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行深入分析。

根據(jù)上述的分析結(jié)果，可選取懸臂板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)函數(shù)形式作為Z型折疊板在折疊角度為60°時(shí)的模態(tài)函數(shù)，利用Galerkin方法對(duì)方程（15）進(jìn)行二階截?cái)?，得到系統(tǒng)常微分形式的非線性動(dòng)力學(xué)方程。在滿足位移邊界條件的前提下，選取3個(gè)方向的基本函數(shù)分別如下：

Ui（x，y，t） = u1 （t）sinx/2πLi cosπyb +

u2 （t）sin3x/2πLi cos2πyb（17a）

Vi （x，y，t） = v1 （t）cosx/2πLi sinπyb +

v2 （t）cos3x/2πLi sin2πyb（17b）

Wi（x，y，t）=w1（t）Xi1（x）Yi1（y）+

w2（t）Xi2（x）Yi2（y） （17c）

根據(jù)4階常微分方程的通解，可將方程（17c）中的Xij（x）和Yi1（y）取為Xij （x） = Ai1 coshki x-Ai2 coski x-

Ai3 βi1 sinhki x + Ai4 sinki x，

Yij （x） = Bi1 coshki x-Bi2 coski x-

Bi3 βi1 sinhki x + Bi4 sinki x（18）式中Xij（x）是沿x軸方向的固支-自由梁函數(shù)，Yij（y）為y軸方向的自由-自由梁函數(shù)，ki1和ki2為特征方程的根，并有如下關(guān)系coski1coshki1+1=0

coski2coshki2-1=0（19）將系統(tǒng)實(shí)際參數(shù)L1=2 m，L2=1 m，L3=4 m代入式（17）可求得X，Y方向的模態(tài)函數(shù)，將方程（18），（19）代入邊界條件求得模態(tài)參數(shù)Aij和Bij，得到Xij（x）和Yij（y）的函數(shù)表達(dá)式，如下：

X11 =-4.9×10 - 5coshk11 x +

2.1×10 - 5cosk11 x - 6.6×10 - 5β11 ·

sinhk11 x-sink11 x （20a）

X12 = 0.25coshk12 x + 27.3cosk12 x -

0.25β12 sinhk12 x - sink12 x（20b）

X21 = -1.4×10 - 6coshk21 x +

1.3×10 - 6cosk21 x - 2.5×10 - 7β21 ·

sinhk21 x-sink21 x（20c）

X22 = 1.2×10 - 4coshk22 x-1.4cosk22 x -

0.12β22 sinhk22 x-sink22 x（20d）

X31 = -1.5×10 - 4coshk31 x +

3.4×10 - 4cosk31 x - 3×10 - 4β31 ·

sinhk31 x-sink31 x（20e）

X32 =0.25coshk32 x + 27.3cosk32 x -

0.25β32 sinhk32 x - sink32 x （20f）

同時(shí)，將外激勵(lì)也進(jìn)行離散，表示為

Pi=Fi1sin3πxlisinπyb+Fi2sinπxlisin3πyb （21）

用二階Galerkin方法離散方程（15），并將離散后的面內(nèi)位移u0，v0用橫向位移w0表示，整理可得到Z型折疊板橫向振動(dòng)的常微分運(yùn)動(dòng)控制方程：

內(nèi)板方程：

11+μ111+21w11+α112w12+α113w311+α114w312+ α115w12w211+α116w11w212=f11cos（ξt）（22a）

12+μ212+α121w11+22w12+α123w311+α123w312+α125w12w211+α126w11w212=f12cos（ξt）（22b）

中間板方程：

21+μ321+α21121w21+α21222w21+α21321w22+α21422w22+21w21+α216w22+α217w21u21+

α218w21u22+α219w22u21+α2110w22u22+

（α2111/θ）w321+（α2112/θ）w322+α2113（sinθ+

cosθ）w22w221+α2114（sinθ+cosθ）w21w222=

f21cos（ξt） （22c）

22+μ422+α22121w21+α22222w21+α22321w22+α22422w22+α225w21+22w22+α227w21u21+

α228w21u22+α229w22u21+α2210w22u22+w321+（α2212/θ）w322+α2213（sinθ+cosθ）w22w221+

α2214（sinθ+cosθ）w21w222=f22cos（ξt） （22d）

外板方程：

31+μ531+21w31+（α311+F1cosΩt）ω31+

α312w32+α313w331+α314w332+α315w32w231+

α316w31w232=f31cos（ξt）（22e）

32+μ632+22w32+（α322+F2cosΩt）ω32+

α321w31+α323w331+α324w332+α325w32w231+

α326w31w232=f32cos（ξt）（22f）

式中折疊角θ為3塊板的運(yùn)動(dòng)方程的連接參數(shù)，體現(xiàn)了3塊板之間的耦合運(yùn)動(dòng)關(guān)系。

4攝動(dòng)分析

對(duì)于較復(fù)雜的非線性常微分方程，很難求出其精確解，需要用近似解析的方法求其漸近解來(lái)替代精確解。攝動(dòng)分析是近似解析的一種方法，包括直接攝動(dòng)法、多尺度法以及KBM法等。

因此，本章基于系統(tǒng)主參數(shù)共振-1∶2內(nèi)共振的共振關(guān)系，使用多尺度方法進(jìn)行攝動(dòng)分析。系統(tǒng)共振關(guān)系表示如下：21=14Ω2+εσ1， 22=Ω2+εσ2（23）式中1，2是相應(yīng)線性系統(tǒng)的第1階、第2階固有頻率。σ1，σ2為系統(tǒng)的調(diào)諧參數(shù)，為了方便分析，令Ω=1。

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到系統(tǒng)的直角坐標(biāo)下平均方程為：

內(nèi)板平均方程：

11=-12u1x11-σ11x12-3α113x211x12- 3α113x312-2α116x12x213+x214（24a）

12=-12u1x12+σ11x11+3α113x11x212+x311+ 2α116x11x213+x214（24b）

13=-12u2x13-12σ12x14-32α124x213x14+x314-α125x14x211+x212（24c）

14=-12u2x14+12σ12x13+32α124x214x13+x313+α125x13x211+x212-14f12（24d）

中間板平均方程：

21=-12u3x21-σ11x22+14α212x21x24-x22x23- 3α214x22x221+x222-2α217x21x223+x224（25a）

22=-12u3x22+σ11x21-14α212x21x23-x22x24+ 3α214x21x221+x222+2α217x21x223+x224（25b）

23=-12u4x23-32α225x24x223+x224-

α226x24x221+x222-14σ2x4（25c）

24=-12u4x24+32α225x23x223+x224+

α226x23x221+x222+14σ2x3-14f22 （25d）

外板方程：

31=-12u5x31-σ1x32-3α313x231x32+x332-

2α316x32x233+x234+12f31x32（26a）

32=-12u5x32+σ1x31+3α313x31x232+x331+

2α316x31x233+x234+12f31x32（26b）

33=-12u6x33-12σ2x34-32α324x233x34+x334-α325x34x231+x232 （26c）

34=-12u6x34+12σ2x33+32α324x234x33+x333+α325x33x231+x232-12f32（26d）

5數(shù)值模擬

根據(jù)數(shù)值分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，Z型折疊板內(nèi)板的振動(dòng)幅值很小且多為周期性顫振[18]，考慮到本文篇幅的限制，不再詳述，主要討論Z型折疊機(jī)板在橫向激勵(lì)作用下中間板和外板的非線性振動(dòng)特性。

5.1幅頻響應(yīng)特性分析

通過(guò)數(shù)值求解系統(tǒng)的四維平均方程，利用matlab軟件繪制3塊板的幅頻響應(yīng)曲線，選取外激勵(lì)幅值和系統(tǒng)阻尼系數(shù)為控制參數(shù)，研究參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻特性的影響。

首先，根據(jù)實(shí)際參數(shù)的取值范圍，經(jīng)過(guò)無(wú)量綱處理后，選取參數(shù)為μ1=0.25，μ3=0.22，μ4=0.14， σ3=-0.015，σ4=-0.014，α214=0.31，α217=0.0002，α225=-0.108，α226=3.5，μ5=0.37，μ6=0.56，σ5=1.77，σ6=1.88，α313=2.49，α316=-3.27，α324=7.16，α325=6.81，α313=2.49。

將2塊板的初始條件均設(shè)為x10=1.44，x20=1.55，x30=1.35，x40=-1.799。令外激勵(lì)幅值fi （i=2，3）的值分別為50和100，研究結(jié)構(gòu)幅頻響應(yīng)曲線的變化。圖中藍(lán)色曲線和紅色曲線分別表示結(jié)構(gòu)第4階模態(tài)和第5階模態(tài)的幅頻響應(yīng)曲線，橫坐標(biāo)為調(diào)頻參數(shù)σi （i=2，3），縱坐標(biāo)為振動(dòng)幅值ai （i=1，2）， a1， a2 分別表示第4階和第5階的振動(dòng)幅值。

由圖6和7可知，隨著外激勵(lì)幅值的增加，幅頻

圖6不同外激勵(lì)幅值下的中間板Ω2幅頻響應(yīng)曲線

Fig.6The frequency-response curves of the middle plate Ω2 to the external excitation amplitude f2

圖7不同外激勵(lì)幅值下的外板Ω3幅頻響應(yīng)曲線

Fig.7The frequency-response curves of the outer plate Ω3 to the external excitation amplitude f3

響應(yīng)曲線的形態(tài)發(fā)生了不規(guī)律變化。隨著調(diào)頻參數(shù)的增加，系統(tǒng)振幅除中間板第5階模態(tài)以外都呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，并且會(huì)出現(xiàn)多值現(xiàn)象和跳躍現(xiàn)象。

為研究系統(tǒng)阻尼系數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響，分別令阻尼系數(shù)μi （i=3，5）的值為0.3和0.8。繪制如下幅頻響應(yīng)曲線。

觀察圖8和9發(fā)現(xiàn)，隨著阻尼的增加，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值降低，幅頻響應(yīng)曲線形態(tài)發(fā)生變化，且對(duì)第4階模態(tài)的頻響特性影響較大。隨著調(diào)頻參數(shù)σ的增加，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)多值和跳躍的現(xiàn)象。

圖8不同阻尼下的中間板Ω2幅頻響應(yīng)曲線

Fig.8The frequency-response curves of the middle plate Ω2 to the damping coefficient μ3

圖9不同阻尼下的外板Ω3幅頻響應(yīng)曲線

Fig.9The frequency-response curves of the outer plate Ω3 to the damping coefficient μ5

5.2非線性振動(dòng)響應(yīng)分析

為了研究Z型折疊板系統(tǒng)在主參數(shù)共振-1∶2內(nèi)共振的情況下的非線性振動(dòng)響應(yīng)特性，選取外激勵(lì)幅值fi為控制參數(shù)，研究橫向激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)的影響。

固定上述結(jié)構(gòu)參數(shù)，改變外激勵(lì)的幅值，運(yùn)用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值求解，得到中間板和外板的混沌分叉圖，如圖10和11所示。

圖10中間板Ω2隨外激勵(lì)幅值變化的分叉圖

Fig.10The bifurcation diagram of the middle plate Ω2 with the transverse excitation f2

圖11外板隨外激勵(lì)幅值變化的分叉圖

Fig.11The bifurcation diagram of the outer plate Ω3 with the transverse excitation f3

由圖中可以看出，在外激勵(lì)幅值增大的過(guò)程中，結(jié)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)-混沌運(yùn)動(dòng)-周期運(yùn)動(dòng)-混沌運(yùn)動(dòng)的變化，說(shuō)明共振情況下，外激勵(lì)幅值的變化對(duì)于系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性具有重要的影響。

為了更好地描述上述分叉圖的特性，首先對(duì)中間板隨外激勵(lì)幅值變化的振動(dòng)特性給出了具體的分析：圖12，13和14分別給出了中間板在外激勵(lì)幅值為3，10和35時(shí)的波形圖、三維相圖和Poincaré截面，此時(shí)中間板的振動(dòng)是從單倍周期進(jìn)入短暫的混沌運(yùn)動(dòng)之后又變?yōu)楸吨芷谶\(yùn)動(dòng)。繼續(xù)增大外激勵(lì)幅值到，中間板的振動(dòng)形式趨于復(fù)雜，逐漸變?yōu)槿鐖D15所示的概周期運(yùn)動(dòng)，最后進(jìn)入圖16所示的混沌運(yùn)動(dòng)，且不會(huì)伴隨外激勵(lì)幅值繼續(xù)增大而改變運(yùn)動(dòng)形態(tài)。

圖12f2=3時(shí)中間板的周期運(yùn)動(dòng)

Fig.12The periodic motion of the middle plate when f2=3圖13f2=10時(shí)中間板的混沌運(yùn)動(dòng)

Fig.13The chaotic motion of the middle plate when f2=10

外板隨外激勵(lì)幅值變化的振動(dòng)特性如圖17～20所示。當(dāng)外激勵(lì)幅值小于10時(shí)，外板呈現(xiàn)不規(guī)律的混沌運(yùn)動(dòng)，隨著外激勵(lì)幅值的增大，外板的振動(dòng)形式趨于平穩(wěn)，呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)形式；當(dāng)外激勵(lì)幅值增大至25～38之間時(shí)，再次進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)增大外激勵(lì)幅值會(huì)發(fā)現(xiàn)外板再次變?yōu)橐?guī)律的周期運(yùn)動(dòng)。圖17～20分別是外激勵(lì)幅值為3， 15， 35和45時(shí)外板的波形圖、三維相圖和Poincaré截面。圖14f2=35時(shí)中間板的4倍周期運(yùn)動(dòng)

Fig.14The period-4 motion of the middle plate when f2=35

圖15f2=65時(shí)中間板的概周期運(yùn)動(dòng)

Fig.15The quasi-period motion of the middle plate when f2=65圖16f2=80時(shí)中間板的混沌運(yùn)動(dòng)

Fig.16The chaotic motion of the middle plate when f2=80

圖17f3=3時(shí)外板的混沌運(yùn)動(dòng)

Fig.17The chaotic motion of the outer plate when f3=3圖18f3=15時(shí)外板的周期運(yùn)動(dòng)

Fig.18The periodic motion of the outer plate when f3=15

圖19f3=35時(shí)外板的混沌運(yùn)動(dòng)

Fig.19The chaotic motion of the outer plate when f3=35圖20f3=45時(shí)外板的周期運(yùn)動(dòng)

Fig.20The periodic motion of the outer plate when f3=45此外，中間板第5階模態(tài)的振動(dòng)幅值比第4階模態(tài)的振動(dòng)幅值大，外板第4，5階模態(tài)的振動(dòng)幅值基本相差不大，這是由于系統(tǒng)在與第5階固有頻率對(duì)應(yīng)的外激勵(lì)作用下，在這兩階模態(tài)存在1∶2的關(guān)系時(shí)發(fā)生了耦合的內(nèi)共振現(xiàn)象。

6結(jié)論

本文利用Hamilton原理建立了在外激勵(lì)作用下Z型折疊板的幾何非線性動(dòng)力學(xué)方程，并對(duì)系統(tǒng)在主參數(shù)共振-1∶2內(nèi)共振情況下的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了攝動(dòng)分析，得到系統(tǒng)4自由度的平均方程。利用數(shù)值方法分析了系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性和混沌分叉特性。

數(shù)值結(jié)果表明，不同的外激勵(lì)幅值和阻尼系數(shù)會(huì)對(duì)系統(tǒng)的頻響特性產(chǎn)生一定的影響，且隨著調(diào)頻參數(shù)σ的增大，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)振動(dòng)幅值會(huì)出現(xiàn)多值和跳躍的現(xiàn)象。

選取一定的參數(shù)和初始條件，通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，在主參數(shù)共振-1∶2內(nèi)共振的共振關(guān)系下，當(dāng)外激勵(lì)的頻率與系統(tǒng)第5階固有頻率相同時(shí)，只改變外激勵(lì)幅值時(shí)，中間板會(huì)出現(xiàn)單倍周期-混沌-概周期-混沌運(yùn)動(dòng)，外板會(huì)出現(xiàn)混沌-單倍周期-概周期-混沌運(yùn)動(dòng)，由此可見(jiàn)外激勵(lì)的改變會(huì)對(duì)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性產(chǎn)生顯著的影響，且系統(tǒng)的第4階模態(tài)對(duì)應(yīng)的幅值也會(huì)產(chǎn)生明顯的變化，說(shuō)明此非線性系統(tǒng)的不同模態(tài)振動(dòng)之間存在復(fù)雜的耦合關(guān)系。

因此，在研究Z型折疊板這一類結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)行為時(shí)，不應(yīng)該只考慮單一的模態(tài)振動(dòng)，還應(yīng)考慮多階模態(tài)之間的相互作用，以便更好地利用或控制其運(yùn)動(dòng)形式，為實(shí)際工程提供重要的理論依據(jù)。

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Nonlinear vibration characteristics of Z-type folding plates

with internal resonance

GUO Xiang-ying， ZHANG Yang， ZHANG Wei

（Beijing Key Laboratory of Nonlinear Vibrations and Strength of Mechanical Structures，

Beijing University of Technology， Beijing 100124， China）

Abstract： The Z-type folding plate is a kind of complex multi-body structure， which is widely applied to many engineering fields. Based on the classical laminated plate theory and the von Karman type equation， the nonlinear dynamic equations of the Z-type folding plates are obtained by using the Hamilton′s principle. The mode functions of the Z-type folding plates are analyzed with the ANSYS. Then， the Galerk in procedure is used to obtain the normal differential governing equations of the nonlinear system. The case of primary parametric resonance 1∶2 inner resonance is considered. Based on the averaged equation obtained with the method of multiple scales， the numerical simulation is performed to indicate the nonlinear dynamical characteristics of the system.

Keywords： nonlinear dynamics； Z-type folding plates； inner resonance； numerical simulation