例談物理驗(yàn)證中舍解的依據(jù)與意義

李桂旺

(江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)，江蘇 常州 213161)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,要求培養(yǎng)出善于創(chuàng)新的復(fù)合型人才,這就要求教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行物理科學(xué)素質(zhì)及學(xué)科滲透能力的培養(yǎng)．應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力是物理學(xué)科的關(guān)鍵能力要求,也是分析與解決問(wèn)題的重要手段之一．

數(shù)學(xué)是解決物理問(wèn)題的重要工具,在利用數(shù)學(xué)工具解決問(wèn)題中我們常常要求對(duì)分析的結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證,以確定結(jié)論的科學(xué)性與合理性．?dāng)?shù)學(xué)的多解也是物理問(wèn)題中比較常見的情形,但數(shù)學(xué)的多解不一定有物理意義或都合理,如何排除不合理的數(shù)學(xué)解是平時(shí)教學(xué)過(guò)程中需要關(guān)注．也就是對(duì)最后形成的結(jié)論進(jìn)行論證,沒有物理意義的“解”需要舍去,從而排除這種“物理不可能”,使結(jié)論更具科學(xué)性．

1 規(guī)律的持續(xù)性

物理情景中,事件的發(fā)展的過(guò)程所遵循的規(guī)律有時(shí)并不單一．由于物理過(guò)程所遵循規(guī)律的變化從而致使部分“結(jié)論”無(wú)“意義”,此解應(yīng)當(dāng)舍去．同時(shí)也需要研究變化后的新規(guī)律對(duì)應(yīng)的結(jié)論．

例1.一輛汽車沿水平路面以速度108km/h正常行駛．司機(jī)由于特殊原因進(jìn)行急剎車(不考慮反應(yīng)時(shí)間),則剎車后汽車前進(jìn)72m需要多長(zhǎng)時(shí)間?(已知汽車與與水平路面的摩擦因數(shù)為μ=0.6,g=10m/s2)

解析:對(duì)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律應(yīng)用比較熟悉的同學(xué),遇到這種類型的問(wèn)題應(yīng)對(duì)相對(duì)輕松．但對(duì)剛學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的學(xué)生,通常是按部就班利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)分析解決問(wèn)題．

其中v0=108km/h=30m/s,a=μg=-6m/s2，即

得t1=4s或t2=6s(舍去).

舍解的依據(jù):此情涉及到交通工具剎車類問(wèn)題,應(yīng)用規(guī)律時(shí)是簡(jiǎn)單套用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律．實(shí)際模型是，汽車剎車后僅需要t0=v0/a=5s時(shí)間停止,故t2=6s的解應(yīng)該舍去．此類問(wèn)題習(xí)慣稱為“交通工具剎車類”問(wèn)題．

被舍解的意義:實(shí)際上直接運(yùn)用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律是誤以為汽車剎車后一直勻變速直線運(yùn)動(dòng),即全程加速度一直不變化的運(yùn)動(dòng),此解為“返程”時(shí)到達(dá)72m處時(shí)的時(shí)間．通過(guò)判斷發(fā)現(xiàn),汽車停止后就不會(huì)再回頭加速運(yùn)動(dòng)．

2 時(shí)間的方向性

在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中物體(質(zhì)點(diǎn))的位移是時(shí)間的二次函數(shù),當(dāng)涉及到時(shí)間時(shí),一般是兩解．此時(shí)就需要驗(yàn)證兩解是否都有意義．

例2.已知某住宅樓三樓空調(diào)外機(jī)安裝平臺(tái)高6米．某工人在該平臺(tái)以初速度5.0m/s豎直向上拋出一個(gè)物體(拋出時(shí)手伸在平臺(tái)外側(cè),下方是安全區(qū)域)．則需要多長(zhǎng)時(shí)間物體可到達(dá)拋出點(diǎn)下方3.75m處?(不考慮阻力且重力加速度g=10m/s2)

解析:本題是豎直上拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用．直接利用勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律．取向上為正方向

得t1=1.5s和t2=-0.5s(舍去).

舍解的依據(jù):因?yàn)闀r(shí)間的變化是有方向性的,物體是沿時(shí)間變化的方向發(fā)生位置變化的．而聯(lián)立方程時(shí)取拋出點(diǎn)為計(jì)時(shí)0時(shí)刻,即此后的時(shí)刻才符合要求．

被舍解的意義:從物理角度看時(shí)間“負(fù)”值,其物理意義應(yīng)該表示“過(guò)去”,即t2表示拋出之前的0.5s時(shí)．之所以數(shù)學(xué)上有解,是因?yàn)榉匠讨荒艹尸F(xiàn)位移與時(shí)間的關(guān)系無(wú)法體現(xiàn)時(shí)間發(fā)展的方向性．即可將這個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)曾經(jīng)(-0.5s時(shí))出現(xiàn)在該位置,中途(0時(shí)刻)經(jīng)過(guò)了拋出點(diǎn)后再經(jīng)過(guò)1.5s時(shí)通過(guò)該位置．

3 潛在條件約束

在事物發(fā)展變化過(guò)程中原本就會(huì)可能出現(xiàn)多解的情況,因特定條件下約束從而舍解．這類條件有可能是顯性的也可能是隱性的,解析過(guò)程中要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)條件而限制．

例3.已知某住宅樓三樓空調(diào)外機(jī)安裝平臺(tái)高6m．某工人在該平臺(tái)以初速度5.0m/s豎直向上拋出一個(gè)物體(拋出時(shí)手伸在平臺(tái)外側(cè),下方是安全區(qū)域)．則需要多長(zhǎng)時(shí)間物體距離平臺(tái)3.75m?(不考慮阻力且重力加速度g=10m/s2)

解析:粗看上去這題與例2似乎相同,仔細(xì)審題發(fā)現(xiàn)區(qū)別在問(wèn)題上．在例1中明確指出物體在拋出點(diǎn)下方的位置,而本題中沒有這個(gè)要求,自然需要考慮上方的情況．

與例2同理．取向上為正方向有方程

因?yàn)棣?0，所以沒有數(shù)學(xué)解．

舍解的依據(jù):通過(guò)條件約束判斷發(fā)現(xiàn),物體上升的最高點(diǎn)H=1.25m,不可能出現(xiàn)在上方3.75m處．

被舍解的意義:此討論的“解”是一種分析過(guò)程,審題過(guò)程中是需要考慮到這種情型存在的可能性．只能通過(guò)定量分析通過(guò)數(shù)學(xué)解去否定了這種情型．如果試確定距離拋出點(diǎn)1m處需要的時(shí)間,上方的情型“解”就物理意義．

圖1

進(jìn)階:如圖1所示,現(xiàn)有一單面長(zhǎng)度為24m的水平傳送帶,以22m/s速度逆時(shí)針勻速運(yùn)轉(zhuǎn)．在傳送帶左端一小物體(可以看著質(zhì)點(diǎn))以20m/s初速度向右滑行,物體與傳送帶間的摩擦因數(shù)為0.8．則物體發(fā)生位移20m需要多長(zhǎng)時(shí)間?(

g

=10m/s

2

)

解析:若單純看這個(gè)問(wèn)題其實(shí)就是勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用,若結(jié)合“例1”來(lái)看,似乎是“交通工具剎車類問(wèn)題”．但由于傳送帶不是靜止而是速度反向且大于物體初速度,故物體先做勻減速直線運(yùn)動(dòng),后返回做勻加速直線運(yùn)動(dòng)(若傳送帶足夠長(zhǎng)),且加速度不變,即遵循勻變速直線運(yùn)動(dòng)．

取向右為正方

其中

v0=20m/s,a=μg=-8m/s2，

則

舍解的依據(jù):表面看兩解都大于0,沒有出現(xiàn)“例2”中的“時(shí)間方向”性的問(wèn)題,也沒有出現(xiàn)“例1”中“交通工具剎車”情況而停止．但沒有考慮“傳送帶長(zhǎng)度”的“潛在約束”．通過(guò)判斷發(fā)現(xiàn),物體向右前進(jìn)25m時(shí)速度為0,已超出傳送帶長(zhǎng)度而“離開”傳送帶．故t2不符合實(shí)際情況．

被舍解的意義:在分析中沒有注意到“傳送帶”實(shí)際長(zhǎng)度的“約束性”,t2解實(shí)際是反應(yīng)傳送帶足夠長(zhǎng)的情況下,物體再此返回到20m位置時(shí)的情型．

4 能效的合理性

物理模型的建立首先符合數(shù)學(xué)規(guī)律,但符合數(shù)學(xué)規(guī)律的不一定有物理意義,或者即便有物理意義,但“性價(jià)比”(效率等)較低.理論上可以存在，但不利于采用,此時(shí)的“解”要舍去．

例4.如圖2所示,一電動(dòng)機(jī)用電動(dòng)勢(shì)為100V的電源供電,電源內(nèi)阻為r=1Ω,電動(dòng)機(jī)的線圈內(nèi)阻為R=4Ω,正常工作時(shí)電機(jī)輸出機(jī)械功率為180W．試確定此時(shí)電路中電流是多少?

圖2

解析:本題只是閉合電路歐姆定律的應(yīng)用問(wèn)題,由題意不難得到如下關(guān)系．

P機(jī)=EI-I2(R+r)，

即180=100I-I2(1+4)，

有I1=2A或I2=18A(舍去).

被舍解的意義:I2=18A時(shí),在數(shù)學(xué)上是有意義的．理論上符合這種數(shù)學(xué)解的電機(jī)是都可以生產(chǎn)出來(lái)的,只是兩種(2A與18A)電機(jī)制造工藝有所區(qū)別.這與電機(jī)工作原理(線圈的電感等)有關(guān),電機(jī)工作時(shí)內(nèi)部線圈產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì)直接影響電機(jī)的工作效率．因此實(shí)際生產(chǎn)的電機(jī)是要保證其工作效率的．

5 “淺顯”的不可能

有些物理過(guò)程的結(jié)論本身就具有不確定性,然而不確定中有隱性而“淺顯”(理所當(dāng)然)的約束．比如:如果要求一個(gè)物體同要追上另一個(gè)物體,這就必然要求后面物體的速度大于前面物體的速度(這個(gè)約束關(guān)系是“淺顯”的)．

圖3

例5.如圖3所示,在水平面上兩個(gè)小球A、B質(zhì)量為m1=2kg，m2=1kg．B靜止,A以速度2m/s向右與B發(fā)生彈性碰撞．則碰撞后兩小球的速度分別是多少?

解析:“碰撞”是關(guān)于“動(dòng)量守恒”應(yīng)用的實(shí)際模型(內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力)．由于發(fā)生彈性碰撞,又滿足機(jī)械能守恒,故有

m1v1=m1v1′+m2v2′，

聯(lián)立方程代數(shù)求解得

v1′=2m/s和v2′=0(舍去).

舍解的依據(jù):由于碰撞過(guò)程中產(chǎn)生的相互作用力是排斥力,即碰撞后B物體一定向右運(yùn)動(dòng)且以后不會(huì)再發(fā)性相互作用了,故不可能出現(xiàn)v2′=0的情況．

被舍解的意義:從數(shù)學(xué)上看,只是滿足兩個(gè)方程即可,被舍的解實(shí)際上是初狀態(tài)速度情況．

延伸歸納:關(guān)于同向追及碰撞情形可能性系列問(wèn)題中,存在以下“淺顯”的不可能情況: (1) 碰撞前后都速度大于前者速度; (2) 碰撞后前者速度小于等于后者速度; (3) 碰撞中機(jī)械能不可能增加,也不可能比“完全非彈性碰撞”情況下?lián)p失的機(jī)械能更多．

圖4

進(jìn)階:如圖4所示,一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接A、B兩個(gè)小球,置于光滑水平面上,mA=2kg,mB=1kg,現(xiàn)給A和B小球提供瞬間初速度,速度分別為vA=2m/s向左,vB=3m/s向右,細(xì)繩繃斷過(guò)程中機(jī)械能損失50%．求:細(xì)繩繃斷后兩球的速度．

解析:本題依然是考查動(dòng)量與機(jī)械能的綜合問(wèn)題,建立動(dòng)量關(guān)系與機(jī)械能關(guān)系即可．

mAvA+mBvB=mAvA′+mBvB′,

取向左為正方向,解得

vA′=1.5m/s,vB′=-2m/s;

圖5

舍解的依據(jù):兩小球在背向運(yùn)動(dòng)過(guò)程導(dǎo)致細(xì)繩繃斷,細(xì)繩繃斷一定發(fā)生在小球相對(duì)遠(yuǎn)離過(guò)程中,因此細(xì)繩斷后兩小球的速度一定是相對(duì)遠(yuǎn)離．而第二解A向右,B向左,即相互靠近,不具實(shí)際物理意義．

被舍解的意義:由題設(shè)模型可以聯(lián)立解析中的方程組,但是根據(jù)這個(gè)方程組無(wú)法判斷兩小球之間的作用方式,而正是由于“繃緊至斷”的這種方式使“第二解”舍去．如圖5所示,若A球在右,B球在左．其他條件相同而發(fā)生相互碰撞．求兩球碰后的速度．這個(gè)“碰撞”模型與“繃斷”模型的數(shù)學(xué)模型是一樣的,在“碰撞”模型中“第二解”就具體實(shí)際物理意義,但“第一解”又要“舍去”(碰撞之后相互遠(yuǎn)離)．

數(shù)學(xué)是表達(dá)物理的一種語(yǔ)言,很多物理理論都是用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析、推理與總結(jié)．然而利用數(shù)學(xué)手段的解決的問(wèn)題需要結(jié)合實(shí)際情景,經(jīng)得起實(shí)踐的檢驗(yàn),排除沒有實(shí)際物理意義的解,才能坐實(shí)“結(jié)論”的科學(xué)性,也確定了“論證”的重要性．

參考文獻(xiàn)：

1 張健敏.注重對(duì)物理題多值的討論[J].物理教師，2000(12):45-46.

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