應(yīng)用GPS技術(shù)建立獨(dú)立坐標(biāo)系的探討

張 宇

GPS技術(shù)在測(cè)繪工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，目前在工程測(cè)量中采用GPS技術(shù)建立工程控制網(wǎng)已成為最主要的手段之一。工程控制網(wǎng)是直接服務(wù)于大比例尺測(cè)圖和施工測(cè)量的，其所提供的距離應(yīng)盡可能的與實(shí)測(cè)距離保證一致。我國(guó)《工程測(cè)量規(guī)范》中，要求長(zhǎng)度綜合變形不超過(guò)2.5 cm/km，這樣可以使國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)成果直接運(yùn)用于工程建設(shè)中。但實(shí)際測(cè)量工作中，經(jīng)常遇到測(cè)區(qū)長(zhǎng)度綜合變形超過(guò)2.5 cm/km，在這些地區(qū)進(jìn)行工程測(cè)量時(shí)，直接采用國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系統(tǒng)成果，控制點(diǎn)間邊長(zhǎng)往往與實(shí)測(cè)距離有較大差值，使國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系統(tǒng)成果不能直接運(yùn)用于工程建設(shè)。這種情況下，建立適合工程范圍的獨(dú)立坐標(biāo)系使長(zhǎng)度綜合變形在允許范圍內(nèi)，保證控制點(diǎn)間邊長(zhǎng)與實(shí)測(cè)距離盡可能的一致，使平面坐標(biāo)成果可以直接服務(wù)于工程建設(shè)中，就顯得十分有必要了。

1 長(zhǎng)度變形分析

地面觀(guān)測(cè)長(zhǎng)度歸算到參考橢球面上產(chǎn)生的變形和參考橢球面上的邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面產(chǎn)生的變形，是長(zhǎng)度變形產(chǎn)生的原因。

把高斯投影平面上的長(zhǎng)度與地面觀(guān)測(cè)長(zhǎng)度的差值，稱(chēng)為長(zhǎng)度綜合變形：

式（1）中，δ為長(zhǎng)度綜合變形，ym為端點(diǎn)間平均橫坐標(biāo)，R為測(cè)區(qū)中心的平均曲率半徑，Hm為長(zhǎng)度所在高程面對(duì)于橢球面的高差，RA為邊長(zhǎng)所在方向的橢球曲率半徑，s為地面觀(guān)測(cè)長(zhǎng)度。

取 R≈RA≈6371 km，S≈s，則式（1）可寫(xiě)成下式：

式中，y表示測(cè)區(qū)中心的橫坐標(biāo)，H表示測(cè)區(qū)平均高程，y與H均以km為單位。

式（2）可以看出，長(zhǎng)度綜合變形與測(cè)區(qū)中心橫坐標(biāo)和測(cè)區(qū)平均高程有關(guān)。

2 獨(dú)立坐標(biāo)系的建立方法

通常建立獨(dú)立坐標(biāo)系有三種方法，分別為：選擇“抵償高程面”作為投影面；選擇“任意投影帶”；選擇通過(guò)測(cè)區(qū)中心的子午線(xiàn)作為新建獨(dú)立坐標(biāo)系的中央子午線(xiàn)，平均高程面作為投影面。

2.1 選擇“抵償高程面”作為投影面

由公式（1）可以看出，將地面觀(guān)測(cè)值歸算至參考橢球面，長(zhǎng)度是變小的；將參考橢球面上觀(guān)測(cè)值歸算至高斯投影面上時(shí)，長(zhǎng)度是變大的。兩個(gè)歸算過(guò)程能夠相互抵消，若選擇一個(gè)最恰當(dāng)?shù)膮⒖紮E球參數(shù)，使得地面觀(guān)測(cè)值歸算至參考橢球面的減小的值與參考橢球面上觀(guān)測(cè)值歸算至高斯投影面上增加的值相等，那么長(zhǎng)度綜合變形就能完全抵消。這個(gè)最恰當(dāng)參考橢球面，就是抵償高程面。

為了完全抵消長(zhǎng)度綜合變形，令δ=0，由式（1）可以得到：

取 R≈RA≈6371 km，S≈s，則：

利用式（4）可以計(jì)算出抵償高程面，確定新的參考橢球參數(shù)。

2.2 選擇“任意投影帶”

通過(guò)將中央子午線(xiàn)移動(dòng)恰當(dāng)位置，使得測(cè)區(qū)在新投影帶內(nèi)，地面觀(guān)測(cè)值歸算至參考橢球面的變形與參考橢球面上觀(guān)測(cè)值歸算至高斯投影面上的變形相等，從而消除長(zhǎng)度綜合變形在控制測(cè)量中的影響，使得高斯投影平面上控制點(diǎn)間邊長(zhǎng)與實(shí)測(cè)值保持一致。

這種通過(guò)移動(dòng)中央子午線(xiàn)重新建立坐標(biāo)系，抵償長(zhǎng)度綜合變形的投影帶就是任意投影帶。運(yùn)用這種方法建立坐標(biāo)系時(shí)，它的參考橢球與原參考橢球是相同的。

令 δ=0，由式（1），可以得到

式（5）可以看出，將中央子午線(xiàn)西移至距測(cè)區(qū)中心為ym的位置，可以消除測(cè)區(qū)中心的長(zhǎng)度綜合變形。

2.3 選擇平均高程面作為投影面，通過(guò)測(cè)區(qū)中心的子午線(xiàn)作為中央子午線(xiàn)

這是前兩種方法的一種結(jié)合體，就是既移動(dòng)中央子午線(xiàn)，又選擇投影面。與前兩者的區(qū)別在于，它將新建立坐標(biāo)系的中央子午線(xiàn)選在了測(cè)區(qū)中心，將投影面選在了測(cè)區(qū)平均高程面。有時(shí)候也可以將測(cè)區(qū)平均高程面再下移一點(diǎn)作為投影面。

這種坐標(biāo)系的建立方法因其簡(jiǎn)單有效的特點(diǎn)，在工程測(cè)量中應(yīng)用廣泛。其實(shí)質(zhì)是保證測(cè)區(qū)中心y≈0處，H≈0，從而使δ=0。

令 ym=0，由式（1）可以得到：

因δ/S≤1/40000，則Hm最大為159 m，即平均高程面最大下移高度。

同理，因 δ/S≤1/40000，取 R=RA=6371 km，由式（1）得到

可以看出，選擇平均高程面作為投影面，通過(guò)測(cè)區(qū)中心的子午線(xiàn)作為中央子午線(xiàn)，建立的平面坐標(biāo)系能夠滿(mǎn)足長(zhǎng)度綜合變形的范圍為：2ym最大≈127 km。

由文獻(xiàn)[1]知道，第三種方法抵償范圍最大。

2.4 新橢球參數(shù)的求取及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

采用第1種和第3種建立獨(dú)立坐標(biāo)系的方法，都改變了參考橢球投影面高程，因此必須要重新計(jì)算新橢球參數(shù)。

計(jì)算新橢球參數(shù)時(shí)，新橢球與原橢球相似，長(zhǎng)半徑a和短半徑b變化，但扁率f及偏心率e不變。原橢球面上控制點(diǎn)的大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到新的橢球面上，大地經(jīng)度不變，但大地緯度改變[2]。

設(shè)測(cè)區(qū)平均緯度為Bm，對(duì)應(yīng)的橢球測(cè)區(qū)平均半徑為Rm，新選橢球面至原橢球面高程為H，對(duì)應(yīng)新選橢球測(cè)區(qū)平均半徑為Rx，新選橢球長(zhǎng)、短半徑分別為ax、bx。參考文獻(xiàn)[2]有以下公式：

設(shè)控制點(diǎn)的大地坐標(biāo)在原橢球上為（B，L），在新選橢球上為（Bx，Lx）, 參考文獻(xiàn)[2]有下列公式：

式中，M為子午圈曲率半徑；N為卯酉圈曲率半徑，；W為第一基本緯度函數(shù)

3 工程實(shí)例數(shù)據(jù)分析

3.1 測(cè)區(qū)概況

渭河下游部分河段概略位置為東經(jīng) 108°40′～110°18′，北緯34°19′～34°40′，東西長(zhǎng)度約 208 km，海拔高程約 300～360 m。采用GPS技術(shù)建立該區(qū)域的平面控制網(wǎng)，坐標(biāo)系統(tǒng)為2000國(guó)家大地坐標(biāo)系。

3.2 長(zhǎng)度變形分析

測(cè)區(qū)橫跨3°投影帶的36、37帶，在第36、37帶的邊緣處，長(zhǎng)度綜合變形最大。以36、37帶的交界處經(jīng)度109°30′、緯度34°30′、測(cè)區(qū)平均大地高330 m，計(jì)算測(cè)區(qū)中心的長(zhǎng)度變形情況。由式（1）得，

可見(jiàn)，在測(cè)區(qū)中心（即3°投影帶的第36、37帶交界處）投影變形較大，無(wú)法滿(mǎn)足長(zhǎng)度綜合變形的容許范圍，故不能直接采用國(guó)家3°帶統(tǒng)一坐標(biāo)。由于測(cè)區(qū)較長(zhǎng)，需要采用分區(qū)投影的方法建立獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。

3.3 獨(dú)立坐標(biāo)系建立方法

測(cè)區(qū)基本在3°帶第36、37帶之間，且測(cè)區(qū)兩端距離第36帶中央子午線(xiàn)108°子午線(xiàn)、第37帶中央子午線(xiàn)111°子午線(xiàn)基本一致，將測(cè)區(qū)平均分為兩個(gè)分區(qū)。本文只說(shuō)明36帶范圍內(nèi)獨(dú)立坐標(biāo)系的建立方法。

首先確定36帶范圍內(nèi)測(cè)區(qū)中心位置為經(jīng)度109°05′，緯度34°26′，測(cè)區(qū)平均大地高為 340 m。

由式（9），測(cè)區(qū)平均曲率半徑Rm=6370387.464 m。

由式（1），得：

可以看出測(cè)區(qū)中心投影變形仍然較大，無(wú)法滿(mǎn)足長(zhǎng)度綜合變形的容許范圍，不能直接采用國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。

由上可知，采用選擇平均高程面作為投影面，通過(guò)測(cè)區(qū)中心的子午線(xiàn)作為中央子午線(xiàn)建立獨(dú)立坐標(biāo)系時(shí)，平均高程面最大下移高度159 m時(shí)，獨(dú)立坐標(biāo)系滿(mǎn)足投影變形的范圍最大，滿(mǎn)足中央子午線(xiàn)左右范圍內(nèi)63.5 km的區(qū)域，合計(jì)范圍為127 km。故將投影面選為340 m-159 m=181 m。

綜上，以測(cè)區(qū)中心經(jīng)度109°05′為中央子午線(xiàn)，投影高程面為181 m建立獨(dú)立坐標(biāo)系。

3.4 新橢球的參數(shù)的計(jì)算

通過(guò)式（8）-（12）計(jì)算新橢球的參數(shù)：

3.5 將國(guó)家控制點(diǎn)從國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)成果轉(zhuǎn)換至獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)成果

表1為測(cè)區(qū)附近的國(guó)家控制點(diǎn)平面坐標(biāo)。國(guó)家控制點(diǎn)名稱(chēng)及坐標(biāo)均經(jīng)過(guò)相關(guān)保密處理。

表1 國(guó)家等級(jí)控制點(diǎn)成果

通過(guò)高斯反算計(jì)算出原橢球下的大地坐標(biāo)，再通過(guò)式（13）～（15）計(jì)算出國(guó)家控制點(diǎn)大地緯度的變化量及其新的大地緯度，最后計(jì)算出以上國(guó)家控制點(diǎn)在新建獨(dú)立坐標(biāo)系下的平面直角坐標(biāo)。表2為國(guó)家控制點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的平面坐標(biāo)。

以國(guó)家控制點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系下的平面直角坐標(biāo)為起算點(diǎn)，對(duì)外業(yè)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行平差，得到獨(dú)立坐標(biāo)系的平面坐標(biāo)。表3為部分控制點(diǎn)平面坐標(biāo)。

表2 國(guó)家控制點(diǎn)在獨(dú)立坐標(biāo)系中的平面坐標(biāo)（中央子午線(xiàn)為109°05′，投影高程面為181 m）

表3 部分控制點(diǎn)平面坐標(biāo)（中央子午線(xiàn)為109°05′，投影高程面為181m）

為檢驗(yàn)獨(dú)立坐標(biāo)系是否滿(mǎn)足長(zhǎng)度綜合變形容許數(shù)值要求，采用拓普康3002LNC全站儀（標(biāo)稱(chēng)精度±2 mm+2 ppm×D）對(duì)表3中控制點(diǎn)進(jìn)行了邊長(zhǎng)檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)與平差結(jié)果對(duì)比情況

可以看出測(cè)區(qū)內(nèi)控制點(diǎn)間實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)與平差成果邊長(zhǎng)差值滿(mǎn)足長(zhǎng)度綜合變形容許數(shù)值1/40000要求，建立的獨(dú)立坐標(biāo)系能夠滿(mǎn)足實(shí)際工程建設(shè)需要。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）建立工程控制網(wǎng)時(shí)，首先通過(guò)長(zhǎng)度變形分析來(lái)確定是否需要建立獨(dú)立坐標(biāo)系。若需要建立獨(dú)立坐標(biāo)系時(shí)，要根據(jù)測(cè)區(qū)的實(shí)際情況來(lái)選擇最簡(jiǎn)單、有效的減少長(zhǎng)度綜合變形的方法來(lái)建立獨(dú)立坐標(biāo)系。

（2）當(dāng)改變參考橢球投影面高程時(shí)，必須要重新確定新橢球參數(shù)，這也是建立獨(dú)立坐標(biāo)系的重點(diǎn)。

[1]馮林剛.GPS測(cè)量控制網(wǎng)納入獨(dú)立坐標(biāo)系的方法[J].地礦測(cè)繪，2000（3）：6-8.

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