鐘差預報模型的分析和比較

王向磊

(北京衛(wèi)星導航中心,北京 100094)

0 引 言

時間是衛(wèi)星導航定位的基礎,對位置的精確測量實際上是對時間的精確測量。衛(wèi)星在空間軌道飛行時,衛(wèi)星鐘與地面時間基準的比對不可能是連續(xù)進行的,也就是說,在地面監(jiān)測站觀測不到的弧段內(nèi),衛(wèi)星鐘與系統(tǒng)時間之間的同步只能靠衛(wèi)星鐘自己來維持。這就需要根據(jù)衛(wèi)星鐘的運行性能,建立準確的衛(wèi)星鐘預報模型。

導航衛(wèi)星在軌原子鐘的預報精度決定了星歷更新頻度,決定了地面運控系統(tǒng)的復雜性和工作量,其預報精度不僅與頻標特性有關,還會受到預報算法復雜性的限制。

文獻[1]和[2]中,作者對一、二階多項式模型的鐘差預報精度進行了分析和比較;文獻[3]和[4]對一、二階多項式模型和灰色系統(tǒng)模型的鐘差預報精度進行了分析和比較;本文針對GPSBLOCK IIR-M衛(wèi)星的衛(wèi)星鐘,利用IGS提供的精密鐘差數(shù)據(jù),對文獻[1]和[5]及[6]中的多項式模型、切比雪夫多項式模型以及灰色系統(tǒng)模型的鐘差預報精度進行綜合分析和比較,最后得出了一些初步結論。

1 多項式模型

衛(wèi)星鐘讀數(shù)T與系統(tǒng)時間t之間的關系可以用一個多項式來表示[1],有

T-t=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2+

…+am(t-t0)m,

(1)

式中:a0、a1,…,am是鐘差模型的擬合系數(shù);m為多項式階次,本文中,m=1,2,3.

設相對于時間ti的鐘差為xi,觀測誤差為vi,可以建立誤差方程：

xi+vi=a0+a1(ti-t0)+a2(ti-t0)2+

…+am(ti-t0)m,

(2)

(3)

(4)

其中：n為鐘差數(shù)據(jù)個數(shù)； Δti=ti-t0.預報殘差均方根可按下式計算

(5)

2 切比雪夫多項式模型

設x(t)為采樣間隔為τ0的鐘差序列:{x(t0),x(t1),…,x(tN-1)},且ti=iτ0.經(jīng)典的最小二乘二次擬合函數(shù)可表示為

x(t)=C0+C1t+C2t2+e(t),

(6)

式中:{C0,C1,C2}為擬合參數(shù);e(t)為x(t)的隨機變化分量。

為了簡化參數(shù)估計,引入了切比雪夫多項式前三項作為內(nèi)插函數(shù)來描述原子鐘的確定性變化分量:

(7)

于是,二次內(nèi)插函數(shù)可表示為

x(t)=q0Φ0(t)+q1Φ1(t)+q2Φ2(t)+e(t),

(8)

式中,擬合參數(shù){q0,q1,q2}的單位與x(t)的單位相同,都為時間單位;而切比雪夫多項式Φi(t)(i=0,1,2)為無量綱的量。

(9)

而切比雪夫多項式各項組成的矢量滿足標準化正交特性,即ΦTΦ=[I3],其中,[I3]為(3×3)的單位陣。利用切比雪夫多項式的這一特性,可以簡化參數(shù)估計,并可提高參數(shù)估值精度。根據(jù)式(8)可列出誤差方程

V=Φq-L,

(10)

式中:Φ為N×3的系數(shù)陣;q為未知參數(shù)向量;L為鐘差觀測量x(ti)組成的列向量;V表示L的殘差向量,有

(11)

假設鐘差序列x(ti)獨立等精度,那么未知參數(shù)向量q的最小二乘估值為

(12)

結合ΦTΦ=[I3],參數(shù)估值可表示為

(13)

(14)

結合式(6)、式(8),擬合參數(shù){C0,C1,C2}可表示為

(15)

參數(shù){C0,C1,C2}與參數(shù){q0,q1,q2}之間的轉換關系是很嚴格的,唯一的差異應歸于截斷誤差。考慮到切比雪夫多項式的協(xié)方差矩陣是最優(yōu)的,最小化了這種截斷誤差,因此,由上面的間接方法得到的參數(shù){C0,C1,C2}估值精度高于用式(6)直接計算的參數(shù)估值精度。

3 灰色系統(tǒng)模型

灰色系統(tǒng)模型的實質(zhì)是用指數(shù)函數(shù)作為擬合函數(shù)對時間間隔相等的鐘差時間序列進行擬合,通過對原始鐘差數(shù)據(jù)實行累加或累減使之成為具有較強規(guī)律的新數(shù)列,然后對此生成數(shù)列進行建模。具體過程如下:

設原始鐘差數(shù)列為

x0(k)={x0(1),x0(2),…,x0(n)}.

(16)

對x0(k)作一次累加生成新數(shù)列

x1(k)={x1(1),x1(2),…,x1(n)}.

(17)

(18)

若將上式在區(qū)間[k,k+1]上積分,有

k=1,2,…,n-1,

(19)

而x1(k+1)-x1(k)=x0(k+1),因此,式(19)可以表示為

x0(k+1)=-aZ1(k+1)+u,

k=1,2…n-1,

(20)

式中,Z1(k+1)是x1(k),x1(k+1)兩點的平均值:

k=1,2,…,n-1.

(21)

將式(20)用矩陣表示,有

(22)

(23)

(24)

對于一次累加生成數(shù)列x1(k),則有

(25)

式(25)是x1的預測函數(shù),則原始鐘差數(shù)據(jù)序列的預測值為

(26)

4 計算分析

為了分析不同預報模型的預報性能,分別利用4種鐘差預報方法對BLOCK IIR-M衛(wèi)星鐘同一段數(shù)據(jù)預報1天和14天的鐘差,IGS精密星歷鐘差精度優(yōu)于1 ns,可作為真值,用于檢驗模型的預報效果。根據(jù)最小二乘法擬合多項式模型、切比雪夫多項式模型以及灰色系統(tǒng)模型的模型參數(shù),建立相應的預報模型。

4.1 BLOCK IIR-M衛(wèi)星鐘預報1天結果與分析

對BLOCK IIR-M PRN17衛(wèi)星鐘1天的預報能力進行計算分析。PRN17的星載鐘是Rb3原子鐘。具體方案如下:

分別取1、7、14、21、35、42天的觀測數(shù)據(jù),來預報1天的鐘差,計算結果如圖1～6所示。

對于預報1天的情況,由上圖1～圖5、可以看出:

對于BLOCK IIR-M PRN17衛(wèi)星鐘,一階多項式模型和切比雪夫一階多項式模型除了14、35天的觀測數(shù)據(jù)能取得優(yōu)于20 ns的預報效果以外,其它天數(shù)觀測數(shù)據(jù)均能取得優(yōu)于5 ns的預報效果;二階多項式模型和切比雪夫二階多項式模型采用1天左右的觀測數(shù)據(jù)能夠達到約2 ns的預報效果,采用7天左右的觀測數(shù)據(jù)能夠達到約10 ns的預報效果;灰色系統(tǒng)模型采用1天左右的觀測數(shù)據(jù)能取得約80 ns的預報效果。

4.2 BLOCK IIR-M衛(wèi)星鐘預報14天結果與分析

對PRN17衛(wèi)星鐘,根據(jù)不同天數(shù)的觀測數(shù)據(jù)采用最小二乘法對鐘差預報模型進行鐘參數(shù)擬合,接著將預報了14天的鐘差數(shù)據(jù)與真實值作差,計算結果如圖7～圖12所示。

對于預報14天的情況,由圖7～圖12可以看出:

對于BLOCK IIR-M PRN17衛(wèi)星鐘,一階多項式模型和切比雪夫一階多項式模型采用1天左右的觀測數(shù)據(jù)進行預報時能夠達到約10 ns的預報效果,采用7～42天左右的觀測數(shù)據(jù)只能取得優(yōu)于100 ns的預報效果;二階多項式模型和切比雪夫二階多項式模型采用7天左右的觀測數(shù)據(jù)進行預報時能夠達到約10 ns的預報效果,采用1天、14～35天左右的觀測數(shù)據(jù)只能取得優(yōu)于200 ns的預報效果;灰色系統(tǒng)模型采用1天左右的觀測數(shù)據(jù)能取得約70 ns的預報效果。

5 結束語

通過以上的分析,對于BLOCK IIR-M衛(wèi)星鐘初步得出以下結論:

1) 利用多項式模型、切比雪夫多項式模型進行預報時,隨著采用的觀測數(shù)據(jù)量的增大,無論1天預報還是14天預報,預報效果不一定會好。

2) 在衛(wèi)星鐘差的1天預報中,一、二階多項式模型和切比雪夫多項式模型比灰色系統(tǒng)模型能取得更好的預報效果,并且一階多項式模型和切比雪夫一階多項式模型的預報效果要稍微優(yōu)于二階多項式模型和切比雪夫二階多項式模型的預報效果。

3) 在衛(wèi)星鐘差的14天期預報中,一、二階多項式模型,切比雪夫多項式模型,灰色系統(tǒng)模型的預報效果相當;而且,在采用少量觀測數(shù)據(jù)(1天左右)進行預報時,一階多項式模型和切比雪夫一階多項式模型的預報效果要明顯優(yōu)于灰色系統(tǒng)模型的預報效果;而灰色系統(tǒng)模型的預報效果要稍微優(yōu)于二階多項式模型和切比雪夫二階多項式模型的預報效果。隨著預報時采用的觀測數(shù)據(jù)量的增加(7～42天左右),一、二階多項式模型和切比雪夫多項式模型的預報效果要明顯優(yōu)于灰色系統(tǒng)模型的預報效果。

4) 灰色系統(tǒng)模型只需要采用少量的觀測數(shù)據(jù)來建模,從而減少了數(shù)據(jù)量,提高了建模速度,而且所建立的模型在預報衛(wèi)星鐘差時,其精度有顯著的提高。因此,該模型對于那些觀測數(shù)據(jù)少,預報周期長的衛(wèi)星,具有明顯的優(yōu)勢。

[1] 朱凌鳳.時間比對技術研究與原子鐘性能分析[D]. 鄭州:信息工程大學碩士學位論文,2006.

[2] 王宇譜,呂志平，孫大雙，等.一種改進鐘差二次多項式模型的導航衛(wèi)星鐘差預報方法[J].天文學報,2016,57(1):78-90.

[3] 王繼剛,胡永輝,何在民，等. 基于修正線性組合模型的原子鐘鐘差預報[J].天文學報,2011,52(1):89-83.

[4] 張杰. 衛(wèi)星鐘性能分析及鐘差預報[D]. 西安：西安電子科技大學,2013.

[5] 田婕. GPS/BDS原子鐘性能分析及鐘差預報模型研究[D]. 西安：長安大學, 2015.

[6] 張杰. 衛(wèi)星鐘性能分析及鐘差預報[D].西安：西安電子科技大學,2013.

[7] 倚雷,熊永良,徐龍華. 兩種GPS衛(wèi)星鐘差預報模型比較及精度分析[J],測繪地理信息, 2013(2): 17-19.