定義運算“算理”，構(gòu)建算理體系

鄭義富

數(shù)學課程標準（2011年版）將“運算能力”作為核心概念提出，運算素養(yǎng)也是學生應(yīng)具備的數(shù)學核心素養(yǎng)之一。但教材或教參中并沒有對四則運算的“算理”做過明確的定義，導致教師在教學中只能進行“自我”的表述和模糊判斷。本文通過對四則運算算理的梳理，依據(jù)算理的作用及地位，結(jié)合教學實踐，將算理分為“核心算理、基本算理、具體算理、應(yīng)用算理”，并分別定義，進而構(gòu)建“算理體系”。

一、整數(shù)四則運算算理的基本要素

（1）核心算理。四則運算包括加、減、乘、除四種基礎(chǔ)運算，每一種運算的知識點有十幾甚至幾十個，這些知識點按照小學生認知發(fā)展的水平分布在小學各冊教材中。相應(yīng)的算理也呈現(xiàn)出類似的“點狀分布”。所有這些點狀呈現(xiàn)的算理是否有一個賴以存在并發(fā)展的最核心的原理或準則？一定存在！這一核心原理或準則我們就稱之為“核心算理”。“核心算理”承擔著統(tǒng)領(lǐng)所有四則運算算理及相應(yīng)算法的重任！

（2）基本算理。四則運算中的加、減或乘、除雖然有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，但畢竟在運算規(guī)則方法和運算形式上有著很明顯的區(qū)別。那么，每一種運算都應(yīng)該有一個主要的貫穿這種運算始終的原理或準則，即為“基本算理”。

（3）具體算理。在小學中，每一種運算按照小學生認知發(fā)展規(guī)律被劃分為不同的知識組塊。每一知識組塊又根據(jù)運算形式和表達方式的不同分為口算、筆算（包括豎式筆算、遞等式等）、估算等形式。每一知識組塊、每一種運算形式都有其相應(yīng)的不抽象不籠統(tǒng)細節(jié)明確的算理，這就是“具體算理”。

（4）應(yīng)用算理。我們知道，數(shù)學不是封閉的象牙塔，一定要與生產(chǎn)生活緊密聯(lián)系。那么在具體的實際問題中，又有著解釋其實際意義的“算理”作為計算的內(nèi)在支撐。這樣的算理可以稱為“應(yīng)用算理”。

二、算理體系的基本結(jié)構(gòu)

算理體系中的四個基本要素的連接構(gòu)造應(yīng)為樹狀結(jié)構(gòu)。核心算理是根基與主干，基本算理是主干上的四個枝干，分別為加、減、乘、除四種運算。每一枝干上因知識組塊的不同而生長出大小不一的枝丫，對應(yīng)著同一種運算下的細節(jié)性的具體算理。在具體算理的枝丫上則舒展著不可計數(shù)的樹葉——實際應(yīng)用的算理。這些汁液飽滿的樹葉讓整個算理體系生機勃勃。當然，所有的計算都是基于核心算理這個粗壯的樹干而存在的，沒有了這個樹干，整個體系也就轟然倒塌了。厘清了算理的結(jié)構(gòu)，方能做到將算理“了然于胸”，教學時才能實現(xiàn)“以理馭法”。

三、整數(shù)四則運算算理的具體闡釋

（一）整數(shù)四則運算核心算理的剖析

核心算理包含兩個層面，一是計算的原理，也就是十進位值制。二是計算的基本規(guī)則，就是計算的模型化。

1. 十進位值制。十進位值制是四則運算算理的根本之源，是最基本的運算準則。十進位值制的發(fā)展可以從低到高劃分為下面四個層級，這四個層級恰好也對應(yīng)著運算本身的發(fā)展層次。

（1）對應(yīng)計數(shù)。最原始的計數(shù)方法應(yīng)當是與實物一一對應(yīng)的“點數(shù)”法。

（2）十進制計數(shù)。隨著生產(chǎn)生活的發(fā)展，點數(shù)法顯然不能滿足較大數(shù)的計數(shù)，這就需要重復使用有限數(shù)字，按一定規(guī)則組合后表示更大的數(shù)量，“十進制”也就隨即產(chǎn)生。十進制是計數(shù)發(fā)展的關(guān)鍵節(jié)點，一般認為十進制的產(chǎn)生與人的十根指頭相關(guān)。我們現(xiàn)在的四則運算都是不折不扣的“十進制”，比如加法中的“滿十進一”、減法中的“退一當十”都是“十進制”的具體體現(xiàn)。

（3）符號計數(shù)。符號計數(shù)使得運算變得快捷方便。尤其是阿拉伯字符的發(fā)明更是前所未有地發(fā)展了運算系統(tǒng)。特別是在“+-×÷”等記錄符號出現(xiàn)后，筆算書寫變得越來越簡潔，這也是四則運算模型化的一個必然條件。

（4）位值制。位值制是建立在進位基數(shù)之上的位置系統(tǒng)。有了位值制，就不需要特殊標識表示數(shù)值，只需根據(jù)不同位置確定相應(yīng)位值。簡單說，就是數(shù)字因擺放的位置不同表示的數(shù)值大小也不同。在四則計算中強調(diào)要數(shù)位對齊、同數(shù)位相加減，都是基于“十進位值制”，只有位值一致的數(shù)才能直接相加減。

2. 模型化?！澳Ｐ突敝傅氖遣煌倪\算要遵循相對應(yīng)的問題情境及固定的運算模式。某一類或幾類現(xiàn)實問題可以歸為其中一種模型，按照這一模型的運算方式及程序進行計算。四則運算分為加、減、乘、除四種模型。形如“聚合、移入、增加、繼續(xù)數(shù)”等問題適用于“加法”模型；“剩余、減少、比較、往回數(shù)，以及加法逆運算”等問題適用于“減法”模型；“相同數(shù)的和（等量組聚集）、矩形隊列、倍數(shù)、搭配”等問題適用于“乘法”模型；“等量遞減、平均分、包含、比率、乘法逆運算”等適用于“除法”模型。每一種模型都有著嚴格的運算規(guī)則，這種規(guī)則經(jīng)長時間的演變，最后形成定型，也就是我們現(xiàn)在適用的四則運算規(guī)則?？梢哉f，模型化既是四則運算的核心算理，又是四則運算最為顯著的外部（外型）特征。

（二）整數(shù)四則運算基本算理的表述

整數(shù)四則運算的基本算理是核心算理在四種不同的運算中的生長與發(fā)展。

1. 加法的基本算理。把兩個數(shù)合成一個數(shù)的運算。運算時相同數(shù)位的數(shù)逐次直接相加，每一數(shù)位加的方法都與個位數(shù)加的方法相同，某一數(shù)位上的和滿十則向前一位進一繼續(xù)求和。

2. 減法的基本算理。從一個數(shù)中去掉另一個數(shù)的運算。運算時相同數(shù)位的數(shù)逐次直接相減，每一數(shù)位減的方法都與個位數(shù)減的方法相同，某一數(shù)位上的數(shù)不夠減則由前一位退一當十繼續(xù)求剩余數(shù)。

3. 乘法的基本算理。求相同加數(shù)和的快捷運算，運算時以乘法（九九）口訣的熟練技能為基礎(chǔ)，按數(shù)位順序分步求出和為幾個一、幾個十、幾個百……最后累加求總和。

4. 除法的基本算理。一個數(shù)（被除數(shù)）被等量（除數(shù)）遞減，求遞減次數(shù)（商）及最后剩余（余數(shù)）。運算時以乘法（九九）口訣的熟練技能和“平均分”的實操模型為基礎(chǔ)，按數(shù)位順序分步求出遞減次數(shù)和剩余數(shù)，每次剩余和下一位數(shù)合起來繼續(xù)計算，直至余數(shù)小于遞減數(shù)不夠再減（分）為止。

（三）整數(shù)四則運算具體算理與算法的辨析

具體算理是核心算理和基本算理在具體的運算中的解釋和說明。與具體算法相呼應(yīng)，是算法的依據(jù)。如，20以內(nèi)的進位加法的算法有：點數(shù)（一個一個數(shù)）、接著數(shù)（數(shù)繼數(shù)）、依據(jù)數(shù)的組成（表象記憶法）、湊十法。這些個“算法”都遵循相同的算理，就是“十進制計數(shù)”?！皽愂ā北还J為優(yōu)化的方法。有教師將其總結(jié)提煉為“看大數(shù)、想湊數(shù)，拆分小的數(shù)，湊成整十數(shù)”，這僅僅是算法技巧的概括，既不是算理也不是算法。類似地，20以內(nèi)的退位減法計算方法有：點數(shù)法、想加算減法、破十法、連減法。無論哪種算法，遵循的也都是“十進制計數(shù)法”這一核心算理。而其中的“破十法”就是十進制計數(shù)在算法中的應(yīng)用，同時也為減法的豎式寫法打基礎(chǔ)。當然，減法的豎式寫法所遵循的算理還要增加一條“位值制”，即“十進位值制”?！熬唧w算法”需經(jīng)常根據(jù)不同的知識組塊進行總結(jié)概括。如一位數(shù)除三位數(shù)算法概括為：從被除數(shù)高位除起，每次用除數(shù)先試除被除數(shù)的前一位，如果它比除數(shù)小，再除前兩位，除到被除數(shù)的哪一位，就把商寫到哪一位上，每求出一位商，余下的數(shù)必須比除數(shù)小。這是一類運算問題的算法概括。強調(diào)的是算的“程序”、書寫的順序、表達的規(guī)范。而與此相應(yīng)的具體算理可以這樣概括：將被除數(shù)（分開）看作幾個百、幾個十、幾個一，依次進行平均分（或計算包含的個數(shù)），求出平均分的份數(shù)（或包含的個數(shù)），每次剩余都和下一位合起來再分。直至最后余數(shù)小于除數(shù)。

（四）整數(shù)四則運算應(yīng)用算理的例說

整數(shù)四則運算應(yīng)用算理包括直觀演示的算理以及解釋實際意義的算理。無論是核心算理、基本算理還是具體算理，都是較為抽象的，要想促進學生對算理的理解、算法的把握，還要依據(jù)小學生的年齡特點和真實生活經(jīng)驗，借助于直觀的表象或空間圖形，形象地解釋或展示運算算理。這樣的算理可以稱之為直觀算理或應(yīng)用算理。

1. 實際操作演示直觀算理。例如在教學口算除法例題120÷3時，就可以直觀演示“分紙”的過程，“10張1沓的紙共12沓，平均分成3份，每份是4沓，即4個10張，也就是40張”。

2. 通過解釋實際意義理解并鞏固算法。如人教版三年下冊口算乘法例1，“每筐裝15盒草莓，買3筐共多少盒？”列算式是15×3，口算的過程用算式表達為：10×3=30；5×3=15；30+15=45。教學時就可以通過引導學生說說其“應(yīng)用算理”進行算法強化。如“先算每筐10盒，3筐就是30盒，再算每筐里的5盒，3筐就是15盒，最后將兩次計算的結(jié)果相加，得出總盒數(shù)為45盒”。同樣，在解決實際問題的教學中，我們一定會借助解釋實際意義的算理幫助學生分析題意理解算法。這些都體現(xiàn)了“應(yīng)用算理”的重要作用。

教師要厘清算理，掌握算理的脈絡(luò)體系，只有這樣才能實現(xiàn)在教學中“以理馭法”，讓學生“知其然”并“知其所以然”。但是，無論哪一種算理，都是為學生思維的發(fā)展服務(wù)的，在教學中不必要求學生過分糾纏算理，當以理解內(nèi)化為重。

責任編輯徐國堅