一些素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算

段貴軍

摘 要：根據(jù)自然數(shù)數(shù)列因子分布規(guī)律和不遵從自然數(shù)數(shù)列的數(shù)列因子分布規(guī)律，用這兩種方法建立計(jì)算公式求算素?cái)?shù)個(gè)數(shù).

關(guān)鍵詞：數(shù)列 素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算 項(xiàng)差 分布規(guī)律 猜想

中圖分類號(hào)：O156.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2018）03-0-02

一、歐幾里得素?cái)?shù)

概念：都是整數(shù)，其形式為En=Pn+1，其中Pn是 Pn的質(zhì)數(shù)階乘。

前幾個(gè)歐幾里得數(shù)3 7 31 211 2311 30031 510511 ……

因?yàn)槭荅n=Pn+1，數(shù)列中的項(xiàng)差分布與自然數(shù)數(shù)列項(xiàng)差分布不同，所以，就不能用求自然數(shù)數(shù)列的奇質(zhì)數(shù)方法計(jì)算。根據(jù)歐幾里得數(shù)的階乘性質(zhì)和素?cái)?shù)個(gè)數(shù)分布與計(jì)算原理，每一個(gè)歐幾里得數(shù)是否奇質(zhì)數(shù)，只能單獨(dú)計(jì)算。

根據(jù)歐幾里得數(shù)的性質(zhì)，第1、2、3項(xiàng)歐幾里得數(shù)不可能有因子，只能是奇質(zhì)數(shù)；第4項(xiàng)211因子可能是11和13，不可能是2、3、5、7，以及≥17的奇質(zhì)數(shù)，所以第4項(xiàng)是奇質(zhì)數(shù)的可能性為1×10/11×12/13≈0.839，以后以此類推。歐幾里得素?cái)?shù)總個(gè)數(shù)計(jì)算公式F=1（第1項(xiàng)）+1（第2項(xiàng)）+1（第3項(xiàng)）+1×10/11×12/13（第4項(xiàng)）+1×12/13×16/17×18/19×22/23×28/29×30/31×36/37×40/41×42/43×46/47（第5項(xiàng)）+……

隨著歐幾里得數(shù)的不斷增大，F(xiàn)也不斷緩慢增大，所以，歐幾里得素?cái)?shù)有無限個(gè)。

以上的單個(gè)計(jì)算方法，適合于隨機(jī)抽取（項(xiàng)差不遵從自然數(shù)數(shù)列項(xiàng)差分布規(guī)律）的一組數(shù)列和自然數(shù)數(shù)列的奇質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)算。項(xiàng)數(shù)越多，計(jì)算值越準(zhǔn)確。

二、費(fèi)馬素?cái)?shù)

概念：形式為2n+1（n=2m，m取值為0、1、2、3……則n為1、2、4、8……）前幾個(gè)費(fèi)馬數(shù)是3、5、17、257、65537、4294967297……求其中的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。

從上面可以看出，項(xiàng)差不符合自然數(shù)數(shù)列分布規(guī)律，費(fèi)馬數(shù)數(shù)列只是2k+1（k取值為0、1、2、3……）數(shù)列中的一部分，可以參照上面的歐幾里得素?cái)?shù)素?cái)?shù)計(jì)算方法求解。

當(dāng)k≠1、2、4、8、16……2n數(shù)時(shí)，叫做非費(fèi)馬數(shù)。非費(fèi)馬數(shù)都可以進(jìn)行因式分解，所以，非費(fèi)馬數(shù)都是合數(shù)，因子是絕大多數(shù)奇質(zhì)數(shù)。以上可以得出結(jié)論，費(fèi)馬數(shù)是非費(fèi)馬數(shù)的因子，而非費(fèi)馬數(shù)中除費(fèi)馬數(shù)因子之外的因子不可能是費(fèi)馬數(shù)的因子。又因n=1、2、4、8、16……所以，費(fèi)馬數(shù)自身因子不循環(huán)分布，并且每一個(gè)數(shù)值或其中分解出來的因子在整個(gè)數(shù)列中只能出現(xiàn)1次，此后就到非費(fèi)馬數(shù)中循環(huán)去了，而非費(fèi)馬數(shù)都是合數(shù)，根據(jù)相同數(shù)列具有相同性質(zhì)理論可以判定，費(fèi)馬數(shù)也應(yīng)該都是合數(shù)，只是初期各項(xiàng)數(shù)值太小不能分解，只能為奇質(zhì)數(shù)，這就是前幾項(xiàng)費(fèi)馬數(shù)是奇質(zhì)數(shù)的原因。理論上當(dāng)費(fèi)馬數(shù)的數(shù)值達(dá)到一定大小時(shí)以后就全是合數(shù)了。費(fèi)馬數(shù)合數(shù)的因子是非費(fèi)馬數(shù)中的所有因子之外的所有因子，并且在成為因子時(shí)在費(fèi)馬數(shù)數(shù)列中只能出現(xiàn)1次，而費(fèi)馬數(shù)有∞個(gè)，所以，對(duì)每一個(gè)費(fèi)馬數(shù)是否奇質(zhì)數(shù)的可能性是1×1/∞，所以得出計(jì)算公式：F（費(fèi)馬素?cái)?shù)個(gè)數(shù)）=1（第1項(xiàng)）×1/∞+1（第2項(xiàng)）×1/∞+1×（第3項(xiàng)）×1/∞+……+1（第n項(xiàng)）×1/∞→0?，F(xiàn)在已知有5個(gè)素?cái)?shù)，也只有這5個(gè)，不會(huì)再有。

孿生費(fèi)馬素?cái)?shù)：根據(jù)費(fèi)馬數(shù)項(xiàng)差性質(zhì)，孿生費(fèi)馬素?cái)?shù)只有一個(gè)：3和5。

三、胡道爾數(shù)

概念：形式如n×2n-1（寫作Wn）的自然數(shù)，前n項(xiàng)胡道爾數(shù)是1、7、23、63、159、383、895……

有頗少胡道爾數(shù)同時(shí)為質(zhì)數(shù)，10億以內(nèi)只有7、23、383。本說法沒有什么意義，是因10億以內(nèi)的胡道爾數(shù)僅26個(gè)而已。當(dāng)n=2、3、6、30、75、81、115、123……時(shí)Wn便為胡道爾數(shù)素?cái)?shù)。求解“幾乎所有的胡道爾數(shù)都是合成數(shù)（合數(shù)）”仍是猜想。

因?yàn)楹罓枖?shù)數(shù)列項(xiàng)差不符合自然數(shù)數(shù)列規(guī)律，所以，只能用單個(gè)計(jì)算方法計(jì)算。第1項(xiàng)是1，不是奇質(zhì)數(shù)，可以不計(jì)；第2項(xiàng)也是獨(dú)立的奇質(zhì)數(shù)；第3項(xiàng)為1×2/3=0.667；第4項(xiàng)為1×2/3×4/5×6/7=0.457……根據(jù)以上原理，計(jì)算如下：F（胡道爾素?cái)?shù)個(gè)數(shù)）=1+1×2/3+1×2/3×4/5×6/7+……本公式反映出胡道爾素?cái)?shù)個(gè)數(shù)增加變化趨勢(shì)，經(jīng)過計(jì)算，F(xiàn)值隨著項(xiàng)數(shù)的不斷增多而緩慢增加→∞個(gè)。

隨著項(xiàng)數(shù)不斷增加，胡道爾素?cái)?shù)不斷變稀，但是胡道爾素?cái)?shù)始終存在。

四、幸運(yùn)質(zhì)數(shù)猜想

幸運(yùn)數(shù)：任意一個(gè)整數(shù)上的各位數(shù)之平方和，得到的新數(shù)再次求各位數(shù)之平方和，如此重復(fù)進(jìn)行，如果最終結(jié)果是1，則此原數(shù)稱為幸運(yùn)數(shù)。在重復(fù)過程產(chǎn)生的中間數(shù)叫中間橋數(shù)，也叫幸運(yùn)數(shù)。若是質(zhì)數(shù)叫幸運(yùn)質(zhì)數(shù)。如①23：22+32=13，12+32=10，12+02=1。若最終不等于1，必在某些橋數(shù)之間往復(fù)循環(huán)，此原數(shù)叫非幸運(yùn)數(shù)。如②11：12+12=2，22=4，【42=16→12+62=37→32+72=58→52+82=89→82+92=145→12+42+52=42→42+22=20→22+02=4…】重復(fù)進(jìn)行。16、37、58、89、145、42、20、4為循環(huán)橋數(shù)。

幸運(yùn)數(shù)在其沒等于1之前一步皆為10、100、1000……叫幸運(yùn)滿意數(shù)。任一滿意數(shù)都可以分解出無限個(gè)一級(jí)平方和之形式，如10=32+12+n個(gè)02=22+22+12+12+n個(gè)02=22+6×12+n×02……以相同的方式，每一個(gè)一級(jí)平方和又可以分解成無限個(gè)二級(jí)平方和之形式，再以相同的方式，每一個(gè)二級(jí)平方和又可以分解成無限個(gè)三級(jí)平方和之形式……由此可以證明幸運(yùn)數(shù)原值包括中間橋數(shù)有無限個(gè)，如13、31、103、301、1003、3001……原值或者中間橋數(shù)分解出來的二級(jí)幸運(yùn)數(shù)，如13=32+22+n個(gè)02=22+22+22+12+n個(gè)02=22+22+5個(gè)12+n個(gè)02=22+9個(gè)12+n個(gè)02=13個(gè)12+n個(gè)02……23=42+22+3個(gè)12+n個(gè)02……幸運(yùn)數(shù)是由合數(shù)和質(zhì)數(shù)組成，全體稱為幸運(yùn)數(shù)集合，質(zhì)數(shù)之全體稱為幸運(yùn)質(zhì)數(shù)集合。

幸運(yùn)數(shù)鄰差：根據(jù)規(guī)律性對(duì)幸運(yùn)數(shù)進(jìn)行分組，每一組稱為一個(gè)幸運(yùn)數(shù)數(shù)列，每一個(gè)數(shù)列含有無限個(gè)幸運(yùn)數(shù)。為計(jì)算方便，尾數(shù)以奇數(shù)為主（不含5），并在相同位置逐漸增加0的個(gè)數(shù)。然后計(jì)算相鄰差。

例1：13 103 1003 10003……

相鄰差 90 900 9000……

例2：31 301 3001 30001……

相鄰差 270 2700 27000……

其它的也都是這樣的。

從以上可以看出，鄰差值是等比數(shù)列。很容易推導(dǎo)出相鄰差都是9的倍數(shù)，相鄰差因子組成也是有規(guī)律的。

計(jì)算方法一：根據(jù)項(xiàng)差特點(diǎn)，可以使用單個(gè)形式的計(jì)算方式。以13 103 1003 10003……為例，又因首項(xiàng)13是奇質(zhì)數(shù)，項(xiàng)差因子為2、3、5，所以，這些幸運(yùn)數(shù)因子中不可能有2、3、5因子。所以，它的F（幸運(yùn)質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)）=1（第1項(xiàng)）+1×6/7（第2項(xiàng)）+1×6/7×10/11×12/13×16/17×18/19×22/23×28/29×30/31（第3項(xiàng)）+……通過計(jì)算，幸運(yùn)質(zhì)數(shù)有多個(gè)。而根據(jù)幸運(yùn)數(shù)形成原理，這樣的一級(jí)平方和形式有無數(shù)個(gè)，由此分出來的二級(jí)平方和數(shù)列也有無限個(gè)，再往上是三級(jí)平方和也有無限個(gè)……由此可以證明，幸運(yùn)數(shù)有無限個(gè)，幸運(yùn)質(zhì)數(shù)也就有無限個(gè)。

計(jì)算方法二：幸運(yùn)數(shù)數(shù)列的因子是該數(shù)列中的每一個(gè)幸運(yùn)數(shù)。分布周期是該幸運(yùn)數(shù)自身值，并且有周期內(nèi)分布。如13，一個(gè)完整周期是13項(xiàng)，而第6項(xiàng)為周期內(nèi)分布。如果是分解出來的因子，其周期為因子值-1，如301=7×43，因子7周期是7-1=6項(xiàng)，沒有周期內(nèi)分布。假定都有周期內(nèi)分布，則每一個(gè)因子分離排除個(gè)數(shù)為（n-2）/n×總個(gè)數(shù)。仍以上面的例題為例：A（幸運(yùn)質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)）=B（幸運(yùn)數(shù)個(gè)數(shù)）×11/13×101/103×16/17×58/59×10001/10003……×（an-2）/an或者×（am-1）/am+k（k為因計(jì)算減少的幸運(yùn)質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)），隨著項(xiàng)數(shù)不斷增多，A越來越大于B（幸運(yùn)數(shù)個(gè)數(shù)）×1/3×3/5×5/7×……（d-2）/d，B（幸運(yùn)數(shù)個(gè)數(shù)）×1/3×3/5×5/7×……（d-2）/d的取值范圍是（0，1/3】，證明該數(shù)列中幸運(yùn)質(zhì)數(shù)有∞個(gè)。其中d為奇數(shù)；an是幸運(yùn)質(zhì)數(shù)， am是幸運(yùn)合數(shù)中的奇質(zhì)數(shù)，只要出現(xiàn)就計(jì)算。

根據(jù)幸運(yùn)數(shù)數(shù)列相鄰差步調(diào)節(jié)奏（相鄰差因子組成結(jié)構(gòu)）規(guī)律也可以證明，不存在哪一個(gè)或哪些因子能夠?qū)⑷我恍疫\(yùn)數(shù)奇數(shù)數(shù)列（尾數(shù)不是5）全變成幸運(yùn)數(shù)合數(shù)的情況，其分布只能和自然數(shù)奇質(zhì)數(shù)分布一樣越來越稀，隨著項(xiàng)數(shù)→∞，永遠(yuǎn)存在，有無限個(gè)，何況幸運(yùn)數(shù)奇數(shù)數(shù)列有無限個(gè)。最小幸運(yùn)質(zhì)數(shù)是7。

五、斐波那契素?cái)?shù)猜想

斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列。指的是：0、1、1、2、3、5、8、13、21……F（n），F(xiàn)（1）=1，則F（n）= F（n-1）+F（n-2）（n≥2，n∈N）。本數(shù)列自第3項(xiàng)開始，都等于前兩項(xiàng)之和。此數(shù)列中的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)是∞個(gè)嗎？就是斐波那契素?cái)?shù)猜想。

不難看出，本數(shù)列項(xiàng)數(shù)有∞個(gè)。為了研究方便，對(duì)應(yīng)序號(hào)（項(xiàng)數(shù)），第0項(xiàng)為0，第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)為1，第3項(xiàng)為2，第4項(xiàng)為3，第5項(xiàng)為5……

第4項(xiàng)是3，它的前1項(xiàng)為3-1，第5項(xiàng)為3+（3-1）=6-1，第6項(xiàng)（6-1）+3=9-1，第7項(xiàng)（9-1）+（6-1）=15-2，第8項(xiàng)（15-2）+（9-1）=24-3……看一看“-”號(hào)后面的數(shù)字是1、1、2、3……是在重復(fù)數(shù)列，其它項(xiàng)數(shù)計(jì)算也是如此，只是數(shù)列整體的倍數(shù)。由此可以證明斐波那契素?cái)?shù)的分布與自然數(shù)素?cái)?shù)分布相同，可以直接在項(xiàng)數(shù)上進(jìn)行計(jì)算。即其中存在如下規(guī)律，第1、2項(xiàng)為1，不計(jì)，第3項(xiàng)為2，則第3n項(xiàng)都能整除第3項(xiàng)2，第4n項(xiàng)能整除第4項(xiàng)3，第5n項(xiàng)能整除第5項(xiàng)5，第6n項(xiàng)能整除第6項(xiàng)8……所以，根據(jù)以上論述和自然數(shù)素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式原理可以直接列出斐波那契素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算公式： An=n×2/3×3/4×4/5×6/7×10/11×12/13×……×（k-1）/k+t。其中An為斐波那契素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，n代表項(xiàng)數(shù)，k代表序號(hào)范圍內(nèi)最大奇質(zhì)數(shù)（2k≤n），t代表計(jì)算排除合數(shù)過程中減少的斐波那契素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。式中2/3代表第3項(xiàng)分離排除掉數(shù)列總個(gè)數(shù)的1/3剩余2/3，3/4代表第4項(xiàng)分離排除掉1/4剩下3/4……其它都是如此。隨著項(xiàng)數(shù)不斷增多，上式越來越大于n×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×7/8×8/9×9/10×10/11×11/12×12/13×……×（n-1）/n=2，證明隨著n→∞而斐波那契素?cái)?shù)分布越來越稀，但斐波那契素?cái)?shù)個(gè)數(shù)越來越多，即有∞個(gè)。

六、回文素?cái)?shù)猜想

回文數(shù)是指一位數(shù)和左右對(duì)稱或重復(fù)的數(shù)，如3、11、101等等?；匚臄?shù)只是自然數(shù)中的一組特殊數(shù)字。很容易看出，回文數(shù)有無窮個(gè)，廣泛分布于各區(qū)間段中。

為了研究目的，本文只討論奇數(shù)回文數(shù)（首尾不是5）。

回文數(shù)數(shù)列：從小到大的順序進(jìn)行排列（尾數(shù)是1、3、7、9）。2、3、5、7、9、11、33…99、101、111、121…191、303、313、333…393、707、717…797、909、919…999、1001、1111、1221、1331…1991、3003、3113、3223…3993、7007、7117…7997、9009、9119…9999、10001、10101、10201…10901、11011、11111、11211…11911、12021……

回文數(shù)鄰差是指回文數(shù)數(shù)列中相鄰兩個(gè)回文數(shù)之間的差值。一位數(shù)鄰差為2；二位數(shù)鄰差為22；三位數(shù)鄰差為10；四位數(shù)鄰差為110；五位數(shù)鄰差為100……證明各區(qū)段都是等差數(shù)列，完全符合自然數(shù)素?cái)?shù)分布與個(gè)數(shù)計(jì)算原則，只是要按位數(shù)分段進(jìn)行計(jì)算，也可以從整體上進(jìn)行大致計(jì)算，每一段的因子略有不同，如二位數(shù)鄰差為22=2×11，所以只能有一個(gè)素?cái)?shù)11，屬特例。因子是所有奇質(zhì)數(shù)。

M（回文素?cái)?shù)個(gè)數(shù)）=N（回文奇數(shù)個(gè)數(shù)）×2/3×6/7×10/11×…（k-1）/k+t（k為奇質(zhì)數(shù)，k2≤范圍內(nèi)最大奇數(shù)，t為因分離排除而減少的回文素?cái)?shù)個(gè)數(shù)）。

計(jì)算結(jié)果是每一個(gè)位數(shù)分段都有奇質(zhì)數(shù)，由于這樣的位數(shù)分段有∞個(gè)，則回文數(shù)奇質(zhì)數(shù)也有∞個(gè)。

孿生回文質(zhì)數(shù)：指含有一個(gè)回文素?cái)?shù)的孿生素?cái)?shù)。2、3、5、7，11、13，101、103，149、151……

M（孿生回文素?cái)?shù)個(gè)數(shù)）=N（回文奇數(shù)個(gè)數(shù)）×1/3×5/7×9/11×…（k-2）/k+t（k為奇質(zhì)數(shù)，k2≤范圍內(nèi)最大奇數(shù)，t為因分離排除而減少的孿生回文素?cái)?shù)個(gè)數(shù)）。參照前面的計(jì)算原則，其計(jì)算結(jié)果是各個(gè)位數(shù)分段都有孿生回文素?cái)?shù)，由于這種位數(shù)分段有∞個(gè)，所以，孿生回文素?cái)?shù)有∞個(gè)。

上面的這些問題的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)計(jì)算一樣，誤差難以避免，目下沒有辦法糾正，但是不影響問題的解決。

參考文獻(xiàn)

[1]《哥德巴赫與孿生素?cái)?shù)猜想》（《新農(nóng)村》2017年第一期）；

[2]《費(fèi)馬大定理和卡塔蘭猜想》（《中文信息》2018年第一期）。