基于EGARCH模型的降水量研究

王超華，李國東

(新疆財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830012）

由于影響一個地區(qū)降水量的因素多，隨機性大，所以有關(guān)降水量的研究備受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。隨著對降水量研究的不斷深入，在降水量的研究方法上也發(fā)生了很多改變，從單一的使用某一種方法，到將多種方法相結(jié)合。同時也從更多地關(guān)注對降水量的分析上轉(zhuǎn)到了更多地對降水量的分析與預(yù)測上。如近兩年在預(yù)測降水量方面上，黃璽瑋等人利用隨機森林方法進行預(yù)測[1]；李吉印利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)馬爾科夫模型進行預(yù)測[2]；李亞斌等人利用加權(quán)馬爾科夫鏈方法預(yù)測[3]；Hossein等人利用外生變量改進人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在干旱和極端干旱氣候條件下的降水預(yù)報[4]；Samra等人利用卡爾曼濾波器對多站點年降水量進行預(yù)測[5]。這些方法都是采用多模式集合的方法，不同程度的降低了運算難度、提高了預(yù)報靈活性。在2006-2012年利用時間序列相關(guān)方法及與其他方法相結(jié)合對降水量進行預(yù)測的相對較多，劉賢趙等人采用 ARIMA（autoregressive integrated moving average）模型對歷年降水量動態(tài)數(shù)據(jù)進行分析[6]；王喜華等人采用小波分析與ARMA-GARCH模型相結(jié)合的方法預(yù)報降水[7]；李可柏等人將時間序列頻域譜分析和時域ARIMA方法結(jié)合對降水量數(shù)據(jù)進行擬合預(yù)測[8]；遲道才等人采用自回歸移動平均模型(auto regressive moving aver age,ARMA)預(yù)測[9]。

時間序列是同一種現(xiàn)象在不同時期相繼觀察排列而組成的一組數(shù)列，其分析方法只需序列本身的歷史數(shù)據(jù)。ARMA模型是時間序列分析中最基本、應(yīng)用很廣的時序模型，它不需要事先假定數(shù)據(jù)存在一定的結(jié)構(gòu)，只是從數(shù)據(jù)本身出發(fā)，去尋找一種能夠較好描述數(shù)據(jù)的特征的模型，但如果只考慮降水量隨時間變化的特征，忽略降水量時間序列的方差隨時間變化的特征，往往達不到較為理想的效果。為此，本文選取從數(shù)據(jù)共享中國氣象局網(wǎng)站獲得的沙雅縣從1981-2010年累年20-20時日降水量共365個數(shù)據(jù)進行分析。通過考慮降水量時間序列方差隨時間變化的特征，利用傳統(tǒng)的移動平均模型(moving average，MA)與廣義自回歸條件異方差模型（generalized auto regressive conditional heteroskedastic，GARCH）相結(jié)合的方法，建立MA-GARCH模型分析降水量的波動情況并對降水量進行預(yù)測。但在建立GARCH模型后發(fā)現(xiàn)序列并不滿足GARCH模型的約束條件，最終建立了MA-EGARCH模型，并對降水量進行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)該模型能夠較好的描述降水量時間序列的特征，且預(yù)測精度較好。

1　沙雅縣降水量的均值模型建立

1.1　序列平穩(wěn)性檢驗

利用時間序列數(shù)據(jù)建立ARMA模型，要求序列是平穩(wěn)的，但實際的時間序列并不都表現(xiàn)出平穩(wěn)性，因此首先利用Eviews8.0軟件對沙雅縣累年降水量進行數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗，僅從時間序列趨勢圖，如圖1，不能確定降水量數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)，可利用殘差自相關(guān)圖以及單位根檢驗來確定時間序列的平穩(wěn)性。

1.1.1　自相關(guān)圖法

序列的自相關(guān)函數(shù)可用來判斷序列的平穩(wěn)性，若一個序列是平穩(wěn)的，則它的自相關(guān)函數(shù)隨滯后階數(shù)的增加而迅速趨于0。從圖2降水量序列的自相關(guān)函數(shù)（auto correlation，AC）隨著滯后階數(shù)的增大（滯后10階），并沒有迅速趨于0，只是緩慢的下降，說明該序列不平穩(wěn)。對其進行一階差分，差分后序列記作jsl1。由圖3可知，其自相關(guān)函數(shù)在滯后3階后趨于0，說明降水量序列在經(jīng)過一階差分后平穩(wěn)，降水量一階差分后結(jié)果如圖4所示。

1.1.2　單位根檢驗法

圖1　沙雅縣累年降水量波動圖

圖2　序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)

圖3　序列一階差分后的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)

圖4　降水量一階差分后波動圖

常用的單位根檢驗有ADF檢驗和DF檢驗。由于DF檢驗只適合檢驗一階自相關(guān)的情況，故本文選用ADF檢驗?；贏R(P)模型：

將（1）式經(jīng)過等價變化可得，

ADF檢驗統(tǒng)計量：

ADF單位根檢驗方法，如果計算出的統(tǒng)計量值小于臨界值，則拒絕原假設(shè)，該過程是平穩(wěn)過程；否則不能拒絕原假設(shè)，則該過程是非平穩(wěn)的。

從表1可知，原降水量序列在5%的顯著水平下不能拒絕存在單位根的原假設(shè)，說明序列不平穩(wěn)。從表2可知，一階差分后降水量序列無常數(shù)項（c）、無時間趨勢項（t）時，已經(jīng)拒絕一階差分后降水量序列存在單位根的原假設(shè)，即降水量序列為平穩(wěn)序列。

1.2　識別模型階數(shù)

在確定序列為平穩(wěn)序列后，建立均值模型。利用一階差分后序列的自相關(guān)函數(shù)（AC）和偏自相關(guān)函數(shù)（PAC）識別模型階數(shù)。從圖4結(jié)果可認(rèn)為降水量序列的自相關(guān)函數(shù)在滯后一階后表現(xiàn)為“截尾性”，而偏自相關(guān)函數(shù)在滯后一階后顯著不為0，表現(xiàn)為“拖尾性”，所以可以考慮MA(1)、MA(2)移動平均降水量模型。MA(1)模型形式如（4）式，MA(2)模型形式如（5）式。

其中，Yt表示降水量，Yt-1,Yt-2分別表示滯后1階、2階的降水量，εt表示殘差項。

表1　降水量序列的單位根檢驗

表2　原降水量序列的一階差分

2　估計模型

2.1　均值模型估計

分別對上述MA(1)、MA(2)降水量模型采用最小二乘法進行擬合，結(jié)果如表3所示。從表3的檢驗結(jié)果來看，AIC選擇了MA(2),但BIC選擇了更為簡潔的MA(1)，這里不能明顯地判斷出哪個模型更優(yōu)，因為εt-2的系數(shù)P值為0.2178。但現(xiàn)在無須選擇哪個模型更恰當(dāng)，因為每一個模型都是在假設(shè)方差為常數(shù)的條件下估計的。若實際的方差是隨時間變動的，那么同時估計均值模型和方差模型時，系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差就會發(fā)生很大變化[10]。

2.2　異方差檢驗

當(dāng)模型存在異方差時，仍用最小二乘估計未知參數(shù)，參數(shù)的估計仍是無偏的，但對于標(biāo)準(zhǔn)差的估計是錯誤的，所以推斷會產(chǎn)生錯誤。當(dāng)使用時時間序列數(shù)據(jù)時，一般假設(shè)方差不會隨著的變化而變化，即同方差。但當(dāng)我們關(guān)心預(yù)測精度時，需要了解誤差方差的大小，需要知道隨時間變化方差的變化情況，即異方差。波動率建模是對擾動的方差建模，不僅可以修正錯誤的方差，改進參數(shù)估計的有效性，改進預(yù)測置信區(qū)間的精度還可以預(yù)測誤差方差的大小。

表3　兩模型檢驗結(jié)果比較

-0.064745 0.2178

通過利用Lung-Box Q統(tǒng)計量檢驗殘差平方序列的自相關(guān)性，以此來判斷均值方程的殘差是否存在ARCH效應(yīng)。

1.假設(shè)條件

H0:殘差平方序列純隨機

H1:殘差平方序列具有自相關(guān)性

2.檢驗統(tǒng)計量

其中計算估計的{ε2t}的樣本自相關(guān)系數(shù)公式為：

其中，T為樣本總量，均值模型中誤差項方差為：

Lung-Box Q統(tǒng)計量近似服從自由度為n的χ2分布

從MA(1)、MA(2)估計模型得出的殘差平方的自相關(guān)函數(shù)圖來看，如圖5所示。兩模型的Q統(tǒng)計量分別為60.207、64.335，大于在5%顯著水平下自由度為17的χ2（1-α）(n)的臨界值27.587，所以說明兩個均值方程的殘差序列存在自相關(guān)，即殘差序列存在ARCH效應(yīng)。

2.3　GARCH模型估計

當(dāng)檢驗到兩均值模型的隨機誤差項存在ARCH效應(yīng)時，可使用ARCH和廣義的GARCH去擬合隨機誤差項的條件方差。由于ARCH模型描述序列變化所需較大q階時，是極不方便的，且其經(jīng)常存在違反系數(shù)非負(fù)的約束等問題。所以本文選擇GARCH模型。在進行GARCH模型估計前本文分析了降水量序列的分布特征，以此來判斷該序列服從什么分布，為更準(zhǔn)確的描述數(shù)據(jù)特征做準(zhǔn)備。

圖5　兩模型殘差平方圖

從圖6降水量的統(tǒng)計特征可知，序列JSL的偏度S=2.83476＞0,峰度K=13.31173＞3，因此，與正態(tài)分布相比，沙雅縣的降水量呈現(xiàn)“右偏、高瘦”的分布形態(tài)。同時Jarque-Bera=2105.976,其概率P值=0.000，說明在5%的顯著水平下拒絕接受該序列服從正態(tài)分布的原假設(shè)。為了更精準(zhǔn)的描述這些時間序列分布的“厚尾”特征，需要對誤差項的分布進行假設(shè)，GARCH模型的隨機誤差項的分布形式一般有3中假設(shè)：正態(tài)分布、學(xué)生t分布和廣義誤差分布（GDP）。由于這里分析出降水量序列不服從正態(tài)分布，所以使用學(xué)生t分布或廣義誤差分布（GDP）能夠更好地描述厚尾特征。這里經(jīng)過比較后發(fā)現(xiàn)使用學(xué)生t分布能夠較好地描述數(shù)據(jù)的特征。因此本文選用學(xué)生t分布與GARCH模型一起估計參數(shù)。

GARCH（p,q)模型的一般形式：

圖6　降水量的統(tǒng)計特征

其中，vt為白噪聲過程，p是自回歸GARCH項的階數(shù)，q是 ARCH 項的階數(shù)。α0、εi、βj＞0,i,j=1,2,3……

GARCH(p,q)過程是穩(wěn)定過程的充要條件為：

利用Eviews8.0，分別對存在異方差的MA(1)、MA(2)進行 GARCH（1，1）模型估計，估計結(jié)果如表4-5所示。

根據(jù)表4所示結(jié)果可知，在條件異方差方程GARCH(1,1)中參數(shù)估計得z統(tǒng)計量非常顯著，其相應(yīng)概率值P非常小，說明這些參數(shù)估計值都是顯著的，且參數(shù)值都大于0，這就保證了條件異方差的非負(fù)的要求，符合GARCH模型的要求。ARCH項和GARCH項的系數(shù)估計值α1,β1分別為0.22778，0.82333，α1+β1=1.05111＞1，不能滿足GARCH模型參數(shù)約束條件，所以不能表明隨機誤差的條件方差能夠收斂到無條件方差σ2。

從表5中也不難看出，雖然GARCH模型中各參數(shù)估計值都顯著，但是α1+β1=1.02306＞1,所以也不能滿足GARCH模型參數(shù)約束條件，因此表明GARCH（1，1）模型是不平穩(wěn)的。

2.4　EGARCH模型估計

由于標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型必須保證所有估計的系數(shù)都為正且系數(shù)之和小于1。但在本文估計的GARCH模型中雖估計的系數(shù)都為正，但系數(shù)之和大于1。所以考慮考慮GARCH模型的指數(shù)GARCH模型，即EGARCH模型。該模型不考慮估計系數(shù)非負(fù)以及系數(shù)之和小于1的限制。條件異方差EGARCH（1，1）的形式如下：

表4　MA(1)GARCH(1,1)參數(shù)估計

表5　MA(2)GARCH(1,1)參數(shù)估計

其中，條件方差為線性對數(shù)形式。同時，EGARCH模型使用標(biāo)準(zhǔn)化的εt-1值（即εt-1/(ht-1)1/2），標(biāo)準(zhǔn)化的εt-1值不受單位的限制，可以更自然的解釋沖擊的大小和持續(xù)性。

2.4.1　EGARCH（1，1）參數(shù)估計

對一階差分后的降水量序列進行EGARCH（1，1）參數(shù)估計。由估計結(jié)果可知，在MA(1)-EGARCH(1,1)模型中，EGARCH(1,1)模型中的常數(shù)項α0的P值為0.1102，在5%顯著水平下不顯著，系數(shù)λ1的P值在5%顯著水平下顯著。

相比于MA(1)-EGARCH(1,1)模型，MA(2)-EGARCH(1,1)模型中εt-1和εt-2系數(shù)分別為-0.6213和-0.0811，εt-1的P值為 0.0692，在5% 的顯著水平下不顯著。且在EGARCH（1，1）模型中常數(shù)項以及系數(shù)λ1的P值分別為0.2102、0.0836，在5%的顯著水平下都不顯著。這時可考慮將MA(2)-EGARCH(1,1)調(diào)整為 MA(1)-EGARCH(1,1)。

此外，MA(1)-EGARCH(1,1)模型的對數(shù)似然值110.7534大于MA(2)-EGARCH(1,1)模型的對數(shù)似然值110.745，MA(1)-EGARCH(1,1)模型的AIC信息準(zhǔn)則為-0.7007稍小于MA(2)-EGARCH(1,1)模型的AIC信息準(zhǔn)則，其值為-0.6940，MA(1)-EGARCH(1,1)模型的BIC準(zhǔn)則為-0.6264也小于MA(2)-EGARCH(1,1)模型的BIC準(zhǔn)則，其值為-0.6073。模型的對數(shù)似然值越大說明模型越好，AIC與BIC越小越好。綜合以上的分析，可以選擇MA(1)-EGARCH(1,1)進行進一步的分析。

2.4.2　模型評價

從上述分析可知，與MA(2)-EHARCH(1,1)相比，Ma(1)-EGARCH(1,1)更能擬合序列的特征，所以對Ma(1)-EGARCH(1,1)模型進行適應(yīng)性檢驗。模型恰當(dāng)程度檢驗是檢驗估計的{vt}是否為高斯白噪聲，若估計的{vt}是高斯白噪聲，即估計的{vt}不存在自相關(guān)，則說明均值模型沒有問題，否則應(yīng)適當(dāng)改變均值模型。若估計的{v2t}不存在自相關(guān)，則說明條件異方差模型沒有問題，否則應(yīng)調(diào)整條件異方差模型。利用Ljung-Box Q統(tǒng)計量分別對估計的{vt}、估計的{v2t}進行檢驗。MA(1)在0.05的顯著水平下估計的{vt}的Q統(tǒng)計量等于15.002小于χ2（17）的臨界值27.587，而估計的{v2t}的Q統(tǒng)計量等于2.0713小于臨界值27.587，可知估計的{vt}與估計的{v2t}均不存在自相關(guān)，因此所建的均值模型和條件異方差模型都是合適的。

由結(jié)果可以得出 MA(1)-EGARCH（1，1）模型的估計結(jié)果如下：

降水量序列的均值模型：

Z統(tǒng)計量=-12.32373。其中，假定誤差項服從學(xué)生t分布。條件異方差方程：

Z統(tǒng)計量=1.5972883.739658 -2.055089389.9581。

3　預(yù)測

利用 MA(1)-EGARCH（1，1）模型分別進行短期預(yù)測（第151天到160天，共10天。結(jié)果如表6所示）和長期預(yù)測（第151天到200天，共50天。結(jié)果如圖7所示），其中中間線表示預(yù)測值，上下兩條線為預(yù)測置信區(qū)間。

利用4種常用的誤差評價指標(biāo)評價預(yù)測模型的預(yù)測性能，其4種誤差評價指標(biāo)是均方誤差（MSE）、平均絕對誤差（MAE）、平均絕對百分比誤差（MAPE）和均方百分比（MSPE）。

從表7預(yù)測模型的誤差各項指標(biāo)可看出，進行短期預(yù)測時各個誤差評價指標(biāo)均小于長期預(yù)測各項誤差評價指標(biāo)，說明此模型的短期預(yù)測效果比長期預(yù)測效果好。

4　小結(jié)

本文利用MA-EGARCH模型對沙雅縣降水量的動態(tài)數(shù)據(jù)進行了建模與預(yù)測。結(jié)論如下：

對降水量時間序列進行分析發(fā)現(xiàn)，降水量有波動聚集性的特點，其方差隨時間的變化而變化。條件異方差模型與均值模型相結(jié)合的方法，不僅能反映出數(shù)據(jù)的部分規(guī)律，同時還提高了短期預(yù)測區(qū)間的精度，對短期預(yù)測降水量有一定的借鑒意義。

表6　短期預(yù)測結(jié)果

圖7　長期預(yù)測結(jié)果

表7　預(yù)測模型的誤差各項評價指標(biāo)

從最后的預(yù)測結(jié)果來看，本文模型的擬合不一定是最佳結(jié)果。本文只是利用時間序列分析的方法對類似動態(tài)數(shù)據(jù)進行了嘗試?？紤]到有諸多因素影響一個地區(qū)的降水量，如緯度、氣溫、氣壓、植被覆蓋率等，可以把諸多影響降水的因素作為模型的自變量，降水量作為因變量進行多變量的時序分析，從而得到更為精準(zhǔn)的預(yù)測結(jié)果。