基于Black—Scholes模型的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)探討

吳為然

【摘要】可轉(zhuǎn)換債券作為我國債券市場(chǎng)新的投資品種，兼具債權(quán)的穩(wěn)定性和股權(quán)的高收益雙重優(yōu)點(diǎn)。本文使用Black-Seholes模型定價(jià)方法，以可轉(zhuǎn)債定價(jià)研究理論為基礎(chǔ)，對(duì)相應(yīng)的廣汽轉(zhuǎn)債進(jìn)行實(shí)證分析，并對(duì)比其理論估值和市場(chǎng)價(jià)格。得到結(jié)果，其市場(chǎng)價(jià)格略高于理論價(jià)格，存在高估的情況。

【關(guān)鍵詞】廣汽轉(zhuǎn)債；波動(dòng)率；Black-Scholes模型；可轉(zhuǎn)換債券

1可轉(zhuǎn)換債券概述與文獻(xiàn)綜述

可轉(zhuǎn)債是一個(gè)特別的企業(yè)債券，它具有企業(yè)債券的屬性，不同的是持有者可根據(jù)一定條款，按照相應(yīng)轉(zhuǎn)股價(jià)和轉(zhuǎn)殷比例轉(zhuǎn)換成融資企業(yè)的普通股權(quán)。持有者在為轉(zhuǎn)換股票期間，可轉(zhuǎn)換債券同普通企業(yè)債券一樣，發(fā)行企業(yè)必須按時(shí)還本付息。同時(shí)持有期間，持有者擁有決定是否行使轉(zhuǎn)殷的權(quán)利，這種權(quán)利可以視為一個(gè)看漲期權(quán)。

估值定價(jià)問題是可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)中進(jìn)行研究和交易的關(guān)鍵，合理的估值能夠決定企業(yè)的相關(guān)運(yùn)營決策，也能吸引更多投資者進(jìn)行投資。本文主要使用的B-S定價(jià)模型來自于1974年和1973年由Meton Black和Seholes分別發(fā)表的期權(quán)定價(jià)理論。1994年Cheung&Nelken;使用二叉樹定價(jià)模型對(duì)可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行估值，拓展了可轉(zhuǎn)債定價(jià)理論研究的新思路。國內(nèi)定價(jià)研究方面研究很多，方法論多參照國外，如陳盛業(yè)、王義克（ 2007）使用最小二乘法研究可轉(zhuǎn)債中存在路徑依賴條款的相關(guān)問題，并計(jì)算出市場(chǎng)現(xiàn)有的可轉(zhuǎn)債理論價(jià)格；馮玥（2009）通過二叉樹定價(jià)模型對(duì)T商轉(zhuǎn)債進(jìn)行估值，發(fā)現(xiàn)估值與實(shí)際價(jià)格的偏離。

2可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)理論

可轉(zhuǎn)換債券作為一份混合金融衍生工具，它的價(jià)值理論上可以劃分為純債券部分價(jià)值和看漲期權(quán)部分期權(quán)的結(jié)合體。除此之外相關(guān)論文研究發(fā)現(xiàn)，贖回條款與回售權(quán)在可轉(zhuǎn)債定價(jià)中影響程度較小，所以本文著重研究債券的純債部分價(jià)值和轉(zhuǎn)股期權(quán)部分價(jià)值：

2.1可轉(zhuǎn)債的純債券部分價(jià)值

如今市場(chǎng)上存在的可轉(zhuǎn)債的息票率絕大部分使用每年遞增的方案設(shè)計(jì)，臨近轉(zhuǎn)債到齊的年份，息票率越高。并且大多數(shù)企業(yè)都存在利息補(bǔ)償，無條件回售條款和到期贖回等。對(duì)于轉(zhuǎn)債的純債券價(jià)值，可轉(zhuǎn)債的息票率越高，代表著該轉(zhuǎn)債的純債券價(jià)值越大。所以，本文將從票面利率和到期后的利息補(bǔ)償兩個(gè)方向研究可轉(zhuǎn)債的利息。

貼現(xiàn)率是影響可轉(zhuǎn)債價(jià)值另一個(gè)重要的因素?？赊D(zhuǎn)債的貼現(xiàn)率一般由可轉(zhuǎn)債風(fēng)險(xiǎn)和基準(zhǔn)利率等因素影響決定。相比于國債與商業(yè)銀行定期存款，可轉(zhuǎn)債即使有擔(dān)保和很高的信用等級(jí)評(píng)級(jí)，仍然需要著重考慮風(fēng)險(xiǎn)情況。使用同樣期限的銀行定期存款利率或者國債到期收益率與一定的信用風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償相結(jié)合來計(jì)算貼現(xiàn)率。在實(shí)際運(yùn)用中，由于目前我國上市的可轉(zhuǎn)債信用與普通企業(yè)債都具有較高的信用等級(jí)，即使在信用風(fēng)險(xiǎn)方面存在不同，但是無論從我國現(xiàn)行的兩種債券的發(fā)行程序、條件、信用等級(jí)評(píng)價(jià)等方面來看，兩種債券的信用風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)水平基本相同。故本文建}義選用信用等級(jí)相同的上證所企業(yè)債收益率作為貼現(xiàn)率。

結(jié)合以上分析和債券價(jià)值公式，可轉(zhuǎn)債純債券部分價(jià)值可表示為：

nP.

其中，I.為每年利息額度，P.為債券的面值，r為貼現(xiàn)率。 2.2可轉(zhuǎn)債的期權(quán)部分價(jià)值 影響可轉(zhuǎn)債價(jià)值的又一關(guān)鍵因素是無風(fēng)險(xiǎn)利率，按Black -Scholes模型所闡述的無風(fēng)險(xiǎn)利率為具有相同期限的安全資產(chǎn)的復(fù)利收益率。當(dāng)正殷價(jià)格不變，無風(fēng)險(xiǎn)利率越高，則行權(quán)價(jià)格越低，看漲期權(quán)價(jià)值越大。

自2016年11月份以來，我國債券市場(chǎng)大幅下跌，一方面是資金面邊際收緊，跨年資金需求大幅上升，銀行贖回貨幣基金，基金拋…同業(yè)存單和短期債券，同時(shí)美聯(lián)儲(chǔ)的加息，強(qiáng)勢(shì)美元引發(fā)全球資本回流美國。進(jìn)一步加劇流動(dòng)性需求上升。另一方面，國海證券的代持事件的爆發(fā)，在債券價(jià)格下跌的時(shí)候，引燃債券市場(chǎng)危機(jī)的爆發(fā)，同時(shí)暴露出債券其中的“灰色杠桿”，“操作風(fēng)險(xiǎn)”疊加“違約風(fēng)險(xiǎn)”，引發(fā)債券的集中拋售，導(dǎo)致債券市場(chǎng)收益率的下降。因此，本文計(jì)算期權(quán)價(jià)值部分的無風(fēng)險(xiǎn)利率選擇央行基準(zhǔn)5年定期存款利率。（4.75%）

看漲期權(quán)定價(jià)方式有很多種，本文選取B—S期權(quán)定價(jià)模型。使用的基本假設(shè)主要包括：

（1）無風(fēng)險(xiǎn)利率保持不變

（2）期權(quán)為歐式期權(quán)，只能在到期日使用

（3）期間標(biāo)的資產(chǎn)不支付紅利等資本收益

（4）期間標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，方差保持不變，波動(dòng)較小

（5）不考慮費(fèi)用、稅等

通過推導(dǎo)B-S-M微分方程，可得看漲期權(quán)定價(jià)模型的最終表達(dá)式：

其中，C：表示期權(quán)價(jià)格，S：表示正股價(jià)格，K：表示轉(zhuǎn)股價(jià)格，r（t）：表示無風(fēng)險(xiǎn)利率，T：表示轉(zhuǎn)債期限，σ：表示股票波動(dòng)率。

對(duì)比我國債券市場(chǎng)目前環(huán)境，發(fā)現(xiàn)該假設(shè)十分苛刻，如可轉(zhuǎn)換債券包含的期權(quán)部分更近似于美式期權(quán)而非歐式期權(quán)，隨著美聯(lián)儲(chǔ)加息的預(yù)期，我國今年以來基準(zhǔn)利率有下降的潛在可能，還有股票市場(chǎng)的投機(jī)與炒作導(dǎo)致的我國股票市場(chǎng)波動(dòng)，這些與B-S定價(jià)模型的假設(shè)條件不相符。另一方面，我國股息紅利較低；投資者一般選擇轉(zhuǎn)債公布贖回信息或者轉(zhuǎn)殷價(jià)與正股價(jià)差額最大時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)股時(shí)的定價(jià)，不需要區(qū)分歐式期權(quán)和美式期權(quán)之間的模型差別。故使用B-S模型推導(dǎo)的結(jié)論與可轉(zhuǎn)換債券真實(shí)價(jià)值不夠吻合，但誤差并不顯著，依然在轉(zhuǎn)債定價(jià)中具有較強(qiáng)的說服力。

本文結(jié)合國內(nèi)債券市場(chǎng)情況，為計(jì)算出轉(zhuǎn)債價(jià)格，需要作出額外假設(shè)：

（1）假設(shè)不存在轉(zhuǎn)殷價(jià)格向下修正條款的影響

（2）正股價(jià)格走向?qū)Πl(fā)行可轉(zhuǎn)換債券的影響不顯著

（3）可轉(zhuǎn)換債券投資人沒有執(zhí)行轉(zhuǎn)股條款而將其持有到期

因?yàn)榭紤]到實(shí)際運(yùn)用中可轉(zhuǎn)債為美式期權(quán)且存在向下修正等條款的影響的不確定性，本文的計(jì)算結(jié)果可能要低于可轉(zhuǎn)債期權(quán)部分價(jià)值，但是，可以作為當(dāng)投資者申購轉(zhuǎn)債的時(shí)候的一個(gè)有價(jià)值的參考指標(biāo)。如果在可轉(zhuǎn)換債券上市后出現(xiàn)以上情形，根據(jù)實(shí)際情況可以調(diào)整期權(quán)部分價(jià)值。

3可轉(zhuǎn)換債券實(shí)證分析

3.1數(shù)據(jù)選擇情況

本文研究選取的可轉(zhuǎn)換債券數(shù)據(jù)來源于Wind數(shù)據(jù)庫，其基本數(shù)據(jù)如表1所示：

3.2純債券部分價(jià)值

廣汽轉(zhuǎn)債的票面利率使用了每年遞增的形式，同為六年的期限上證所企業(yè)債收益率作為貼現(xiàn)率（為5.29%），從而令純債券價(jià)格更符合企業(yè)債的利率期限結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)金流方面，因?yàn)榍拔囊呀?jīng)假設(shè)最后一年到期投資者不執(zhí)行轉(zhuǎn)股而被贖回，因此第六年實(shí)際上使用面值的106%進(jìn)行贖回而不是使用1.60%的票面利率計(jì)算第六年的現(xiàn)金流。因此按同期限上證所企業(yè)債收益率5.29%作為貼現(xiàn)率。計(jì)算得出債券的純債券在發(fā)行（2016年1月）時(shí)的價(jià)值為81.678兀。

3.3期權(quán)部分價(jià)值

波動(dòng)率即正股殷價(jià)的波動(dòng)幅度和波動(dòng)率，是Black-Seholes定價(jià)模型中，最重要的也是唯一需要計(jì)算的數(shù)據(jù)，利用波動(dòng)率通過B-S模型可以計(jì)算出期權(quán)部分價(jià)格。歷史波動(dòng)率法是利用標(biāo)的殷票得實(shí)際歷史收盤價(jià)計(jì)算取得股票收益率的方差與標(biāo)準(zhǔn)差，從而確認(rèn)為歷史波動(dòng)率，有時(shí)候需要對(duì)股票的價(jià)格進(jìn)行簡(jiǎn)單加權(quán)，公式如下：

S：表示第j期的標(biāo)的股票價(jià)格，r：表示第i期的標(biāo)的股票對(duì)數(shù)收益率

但使用歷史波動(dòng)率作為未來波動(dòng)率也許能創(chuàng)造出很大的誤差，近似看作二者相等也不符合資本市場(chǎng)波動(dòng)情況的實(shí)際規(guī)律，其準(zhǔn)確性也存在很多質(zhì)疑。綜上，預(yù)測(cè)波動(dòng)率仍然需要人為根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行主觀判斷與計(jì)算，因此本文選擇使用Garch模型來計(jì)算。

Bollerslev于1986年提出GARCH模型，在Engle的模型基礎(chǔ)上構(gòu)建ARMA過程，同時(shí)被稱為廣義ARCH模型。作為一個(gè)專門對(duì)金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析的模型，適用于波動(dòng)性的估計(jì)與研究，廣泛地在計(jì)算金融資產(chǎn)收益與風(fēng)險(xiǎn)的過程中被應(yīng)用。相比于ARCH，拓展模型對(duì)誤差的方差進(jìn)行了進(jìn)一步的建模。

GARCH模型可以輕松的表達(dá)高階的ARCH過程，從而具備較好的適用因素。本文使用1階GARCH模型，即GARCH（1，1）進(jìn)行分析。

廣汽轉(zhuǎn)債上市發(fā)行日是2016年1月22日，選取上市前1年的數(shù)據(jù)，即2015年1月21日至2016年1月22日，標(biāo)的股票廣汽集團(tuán)的收盤價(jià)作為歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。

利用SrfArlA軟件進(jìn)行分析，其過程如下：

首先設(shè)立模型，對(duì)廣汽集團(tuán)以t日的收益率rr_GQ生成時(shí)間序列，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，廣汽集團(tuán)殷價(jià)收益率的偏度為s=-0.2004019，表明有明顯的左偏情況。峰度K=4.066288，高于正態(tài)分布的峰度值3，結(jié)合圖1表明該收益率序列具有明顯的尖峰和厚尾的特征。

利用McLeod.Li檢驗(yàn)考察殘差平方序列，檢驗(yàn)是否存在序列相關(guān)。

通過對(duì)殘差序列的分析，可以發(fā)現(xiàn)殘差序列具有ARCH效應(yīng)，可進(jìn)行波動(dòng)率過程建模。

通過使用STATA，建立GARCH（1，1）模型來估計(jì)波動(dòng)率，得到故波動(dòng)率方程為：

方程中參數(shù)都通過顯著性檢驗(yàn)，通過GARCH模型所得廣汽集團(tuán)殷票價(jià)格單日的波動(dòng)率為0.0239，設(shè)一年交易日為240天，得股票年波動(dòng)率為37.03%

根據(jù)廣汽集團(tuán)最初公布的轉(zhuǎn)債條款中規(guī)定，執(zhí)行價(jià)格X=21. 99元，廣汽轉(zhuǎn)債發(fā)行日的前一日1月21日廣汽集團(tuán)的正股價(jià)格為S= 20.28元。由于銀行定期存款沒有6年的期限，故本文選用無風(fēng)險(xiǎn)利率采取5年期銀行定存的年收益率作為參考，取值4. 75%。轉(zhuǎn)債期限為T=6年。將這些數(shù)據(jù)帶入模型B-S，得d.=0. 5505；d2=-0.3565

利用正態(tài)分布累計(jì)概率表計(jì)算求得：N（d，）=0.7090；N（d，）=0.3607

故一單位的可轉(zhuǎn)債看漲期權(quán)部分價(jià)值為8.4137元，因?yàn)閳?zhí)行轉(zhuǎn)股價(jià)格為21.99元/股，所以每張面值為100的可轉(zhuǎn)換債券能夠轉(zhuǎn)換為100/21.99≈4.5張廣汽集團(tuán)股票。則每張可轉(zhuǎn)換債券的期權(quán)部分價(jià)值為37.86。

根據(jù)3.2和3.3部分計(jì)算得出，廣汽轉(zhuǎn)債在發(fā)行當(dāng)日的理論總價(jià)格=純債券價(jià)格+期權(quán)部分價(jià)值119.54，廣汽轉(zhuǎn)債上市當(dāng)日價(jià)格為117.94，兩者之問誤差較小。

4結(jié)論與建議

本文討論了可轉(zhuǎn)債定價(jià)理論其中的一種估值標(biāo)準(zhǔn)，并結(jié)合B—S模型基于可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)理論對(duì)廣汽集團(tuán)發(fā)行的廣汽轉(zhuǎn)債進(jìn)行了實(shí)證分析，結(jié)果表明廣汽轉(zhuǎn)債發(fā)行日的估值略高于實(shí)際價(jià)格。可以足夠體現(xiàn)B--S定價(jià)模型在我國可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)定價(jià)方面的適用性。誠然，目前市場(chǎng)上針對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值估值并沒有形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，沒有一張方法能夠完全消除誤差，其原因包括模型自身與數(shù)據(jù)的選取不盡合理、附加條款如贖回調(diào)整等會(huì)影響到可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)價(jià)格等。再如2016年12月由以“國海證券假章門”事件的發(fā)生為導(dǎo)火索，引發(fā)的信用危機(jī)與合規(guī)問題，在年末美元加息的情況下，必然引發(fā)債券市場(chǎng)的劇烈波動(dòng)，繼而導(dǎo)致收益率和基準(zhǔn)利率的波動(dòng)，影響可轉(zhuǎn)債定價(jià)的準(zhǔn)確性。不僅針對(duì)可轉(zhuǎn)債這一類債權(quán)投資產(chǎn)品，我國整個(gè)債券市場(chǎng)都還屬于投資領(lǐng)域的新鮮事物，近年來以股權(quán)投資市場(chǎng)的不景氣為契機(jī)債券市場(chǎng)迅猛發(fā)展，同時(shí)也存在著監(jiān)管部門、發(fā)行人、承銷人、投資人缺乏相應(yīng)素質(zhì)的問題，一旦…現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)因素債券市場(chǎng)的流動(dòng)性危機(jī)將迅速影響整個(gè)資本市場(chǎng)。因此我們希望在我國政府的大力發(fā)展債權(quán)市場(chǎng)的前提下，可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)能夠不斷成熟，令轉(zhuǎn)債成為企業(yè)有效的融資方式，成為受投資者歡迎的投資產(chǎn)品。

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