整體視域下小數(shù)教學“三維體系”的構建

曹志國

摘 要：數(shù)的認識是學生學習數(shù)的運算、研究數(shù)量關系的重要基礎，而小數(shù)的認識是其中的核心內容之一。小數(shù)的教學，要站在更為宏觀的層面，基于整體性視域，樹立結構化的意識，關注數(shù)系、計數(shù)法和運算規(guī)則“三維體系”的構建，促進學生的全面與深度認知，助推良好數(shù)學素養(yǎng)的形成。

關鍵詞：小學數(shù)學；小數(shù)教學；整體視域；結構體系

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2018）13-0026-03

數(shù)的認識是學生學習數(shù)的運算、研究數(shù)量關系的重要基礎，而小數(shù)的認識是其中的核心內容之一。《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》在課程目標中提出了經歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，初步認識小數(shù)，理解小數(shù)的意義，掌握必要的運算技能等目標。廣大教師在教學時，一般只將小數(shù)的意義作為核心內容，并將讀寫、大小比較、四則計算等作為重點內容展開教學。

然而建構主義認為：“認識必定是一個整合的過程，即如何把新的對象納入已有的認知結構之中，從而使全部知識匯成一個整體?！惫P者以為，要真正實現(xiàn)課標中提出的理解小數(shù)的意義等目標，還需要“跳出”小數(shù)開展小數(shù)教學，基于整體性視域，站在更為宏觀的層面，適時建構小學與整數(shù)、分數(shù)等之間的聯(lián)接，呈現(xiàn)更為系統(tǒng)的知識結構，促進學生認知結構的形成。

一、關注數(shù)系的構建

在中小學數(shù)學中，從自然數(shù)開始到復數(shù)集的建立，數(shù)系經歷了四次擴充（主要是逐步添加元素并強調運算可施行），其擴充過程是：自然數(shù)（添正分數(shù)）→非負有理數(shù)（添負有理數(shù)）→有理數(shù)（添無理數(shù)）→實數(shù)（添虛數(shù)）→復數(shù)。數(shù)系的每一次擴充，都擴大了數(shù)的應用范圍。小數(shù)和分數(shù)的擴充，增強了現(xiàn)實世界中對數(shù)量表達的能力，使整體中的“部分”在無法用自然數(shù)表示時，有了刻畫的方式，也使除法運算得以封閉。

其實，分數(shù)與有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)之間是對應等價的。我們可以用小數(shù)定義有理數(shù)，即為有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)。進一步，將無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。進而，就可以用小數(shù)定義實數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。

現(xiàn)行各版本教材在認識小數(shù)內容編排時，也都或多或少地對小數(shù)的諸多種概念進行了介紹。比如，五年級上冊“小數(shù)的乘法和除法”單元的最后以“你知道嗎”的方式，介紹了有限小數(shù)、無限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)等概念，意圖向學生傳遞小數(shù)知識，拓寬對小數(shù)的全面認識。但在實踐中，對“你知道嗎”的教學常常停留于閱讀的層面，導致“水過地皮濕”，學生閱讀之后，什么印象也沒有。

為提升教學效果，應充分依托“你知道嗎”等教學資源，組織探索性、研究性活動，引發(fā)深度學習，幫助學生建構更為全面的數(shù)概念。教學中，可呈現(xiàn)商為整數(shù)、有限小數(shù)、無限小數(shù)等多例除法豎式，學生小組合作計算結果，并以小數(shù)的位數(shù)的多少為標準對結果進行分類。之后，教師再適時介紹有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)、有理數(shù)。再由祖沖之的故事引入π，呈現(xiàn)當代數(shù)學家已將圓周率算到小數(shù)點后幾萬億位以及有的數(shù)學愛好者能一口氣背出圓周率小數(shù)部分很多位等素材，并對黃金分割及希帕索斯被害致死的故事等進行介紹，生成無限不循環(huán)小數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等概念。學生雖然暫時還不能完全理解上述概念，但他們能真切地感受到人類對數(shù)學知識的不懈追求，在不知不覺中走進了更為廣闊的數(shù)的世界，更為宏觀的數(shù)系概念也已悄然孕育，激發(fā)了他們對于數(shù)學學科的濃厚興趣。

二、關注計數(shù)法體系的構建

2000年度國家最高科學技術獎獲得者吳文俊院士在其著作《吳文俊論數(shù)學機械化》中寫道：“位值制的數(shù)字表示方法極其簡單，因而也掩蓋了他的偉大業(yè)績……這一發(fā)明對人類文化貢獻之巨，縱然不能與火的發(fā)明相比，至少是可與文化史上我國的四大發(fā)明相媲美的。中華民族應以這一發(fā)明而自豪?！笔穼幹薪淌谥赋觯骸霸谛W階段，理解小數(shù)的重點在于對于十進制的認識?！毙?shù)教學，應著力構建小數(shù)計數(shù)單位之間的十進關系，并打通其與整數(shù)之間十進關系的聯(lián)接，構建十進制計數(shù)法體系，充分感悟這一數(shù)學史上“最妙的發(fā)明之一”。

在認識多位數(shù)時， 學生已經掌握“10個一是十”“10個十是百”“10個百是千”……生活中，學生對小數(shù)計數(shù)單位及其之間的關系雖有著感性認識，但缺乏理性認知，系統(tǒng)性則更是缺乏。而小數(shù)的表征形式與自然數(shù)相似，都是十進制，小數(shù)部分相鄰的計數(shù)單位之間，以及十分位和個位的計數(shù)單位之間，進率都是10。自然數(shù)、小數(shù)互聯(lián)的十進制計數(shù)法體系的構建，使十進制的進率方向具有“雙向性”。向右不斷乘10，計數(shù)單位可以無限大；向左不斷除以10，計數(shù)單位可以無限??；一左一右的延伸，使學生對數(shù)的認識更為全面系統(tǒng)。體系的構建處于學生的最近發(fā)展區(qū)內，促進了對十進制的深度認知，揭示了十進制計數(shù)法的深刻內涵。

三、關注運算規(guī)則體系的構建

數(shù)學教學中應力求呈現(xiàn)數(shù)學動態(tài)統(tǒng)一的、有機關聯(lián)的、鮮活生動的、具有探索性的和全息性知識特征的科學與文化形象，而不是固定不變的、僵化教條的、局部的、彼此分割的知識條塊和記憶庫。數(shù)的運算中很多內容互相依存、彼此關聯(lián)，存在著嚴密的邏輯性。教學中，要找尋小數(shù)與整數(shù)、分數(shù)四則運算之間的“共同規(guī)則”，將多個“規(guī)則單一體”整合成“規(guī)則共同體”，實現(xiàn)表征系統(tǒng)間的互相轉換，使規(guī)則交叉融合，結成網(wǎng)、連成片，構建運算規(guī)則結構系統(tǒng)。

教學中，要依據(jù)算理進行算法教學，使學生厘清整數(shù)加、減法的豎式計算時，將個位對齊；小數(shù)加、減法的豎式計算要把小數(shù)點對齊；分數(shù)加減法中需要先通分；其原理其實都是一樣的，本質上是把相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減。列豎式計算小數(shù)乘法中，小數(shù)點對齊法或末尾對齊法（圖2），就是將計數(shù)單位再統(tǒng)一，計算的是統(tǒng)一之后的計數(shù)單位的個數(shù)。當然，從算法優(yōu)化的角度看，末尾對齊法更為方便、不易出錯。

在此基礎上，將其與整數(shù)乘法規(guī)則（圖3）再進一步統(tǒng)一：不論是整數(shù)乘法、還是小數(shù)乘法，都是計算乘積中所包含的新的、統(tǒng)一的計數(shù)單位的個數(shù)，再根據(jù)包含的新的計數(shù)單位的個數(shù)，寫出最后的結果。當然，站在算法統(tǒng)一的角度，還要適時溝通小數(shù)除法與小數(shù)乘法之間的聯(lián)系，它們都是轉化為整數(shù)乘、除法之后再進行運算。計算規(guī)則的統(tǒng)一，學生在頭腦中產生了新的綜合心理圖式，構建了更為清晰、完整和穩(wěn)固規(guī)則系統(tǒng)，走進了數(shù)學的知識本源與精神內核。

當然，十進制計數(shù)法、運算規(guī)則、尤其是數(shù)系等“三維體系”的建立，需要循序漸進。從知識結構內化為學生的認知結構，也不可能一蹴而就。但教師要有“從點到面”更為寬廣的整體教學視域，要有“結構化”的意識與實踐自覺，促進學生的全面認知與深度認知，助推學生良好數(shù)學素養(yǎng)的形成。

參考文獻：

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