基于Newmark-β預(yù)測校正積分法的高速車輛垂向—縱向耦合振動研究

侯茂銳，胡曉依，李海濤

(1.中國鐵道科學(xué)研究院 鐵道科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展中心，北京 100081；2.中國鐵道科學(xué)研究院 高速輪軌關(guān)系試驗室，北京 100081；3.中車青島四方機車車輛股份有限公司 國家工程實驗室，山東 青島 266000)

輪對動平衡是重要的周期性激振源之一，當(dāng)車輪高速旋轉(zhuǎn)時輪對動平衡將會引起較大的輪對縱向振動，該振動首先傳遞至轉(zhuǎn)向架構(gòu)架，使其產(chǎn)生縱向振動，再經(jīng)過牽引拉桿和抗蛇行減振器傳遞至車體，使其產(chǎn)生垂向振動。尤其是當(dāng)輪對動平衡引起的旋轉(zhuǎn)頻率等于或接近車輛系統(tǒng)的彎曲自振頻率時將引起車輛系統(tǒng)共振，嚴(yán)重影響車輛運行平穩(wěn)性和乘坐舒適性。如國內(nèi)某高鐵2013年曾發(fā)生車體的縱向異常振動現(xiàn)象，當(dāng)動車組運行速度達到300 km·h-1時，車體的縱向、橫向和垂向均出現(xiàn)了主頻約9.5Hz的明顯周期性運動，影響乘坐舒適性[1]。

隨著300 km·h-1速度級高速動車組的廣泛開行，對乘坐舒適性提出了更高的要求。由于人體對10 Hz頻率范圍內(nèi)的垂向振動最為敏感，而車體1階彎曲振動的固有頻率正好與此頻率接近，因此，必須減小該頻率范圍的垂向振動。國內(nèi)外研究人員通過相關(guān)研究取得了一定理論和應(yīng)用成果。文獻[2-3]分別通過在車體下方粘貼黏彈性材料約束層、壓電式器件，利用附加阻尼衰減車體垂向振動；文獻[4]從理論上分析了采用動力減振器可以在一定程度上抑制某些頻率的振動；文獻[5-6]分別分析了主動和半主動懸掛方式可以明顯減小車體的振動；文獻[7]通過優(yōu)化牽引拉桿、減振器等二系懸掛參數(shù)，降低車體振動；文獻[8]通過多體動力學(xué)軟件和有限元軟件的結(jié)合建立了剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型，研究了牽引拉桿縱向剛度對高速客車車體彈性振動的影響。但傳統(tǒng)的多體動力學(xué)分析不能有效評估輪對動平衡量及初始相位關(guān)系、懸掛部件剛度阻尼特性等關(guān)聯(lián)因素對車輛垂向和縱向耦合振動的影響。

本文以CRH2型高速動車組為研究對象，在Matlab軟件中建立了車輛垂向—縱向耦合振動數(shù)學(xué)模型，基于Newmark-β預(yù)測校正積分法編寫程序求解系統(tǒng)振動響應(yīng)，準(zhǔn)確評估輪對動平衡對車輛垂向和縱向振動的影響；提出有效降低由輪對動平衡引起的車輛振動優(yōu)化措施，以提高乘坐舒適性。

1 車輛垂向—縱向耦合振動數(shù)學(xué)模型

選取車輛以恒速v在直線線路上運行，建立其垂向—縱向耦合振動數(shù)學(xué)模型。模型由車體、構(gòu)架、輪對、一系懸掛和二系懸掛組成，車體、構(gòu)架和輪對均視為剛體，考慮13個自由度，分別為車體的沉浮位移Dzc、縱向位移Dxc、點頭角θc，前轉(zhuǎn)向架的沉浮位移Dzb1、縱向位移Dxb1、點頭角θb1，后轉(zhuǎn)向架的沉浮位移Dzb2、縱向位移Dxb2、點頭角θb2，1位輪對縱向位移Dxw1、2位輪對縱向位移Dxw2、3位輪對縱向位移Dxw3、4位輪對縱向位移Dxw4。模型忽略了輪軌垂向接觸剛度，垂向軌道不平順直接作用在一系鋼簧下部，模型如圖1所示。

圖1 車輛垂向—縱向耦合振動數(shù)學(xué)模型

從圖1可以看出：輪對動平衡等引起的劇烈輪對縱向振動經(jīng)過軸箱定位剛度傳遞至轉(zhuǎn)向架構(gòu)架，使得構(gòu)架產(chǎn)生較大的縱向振動，由于轉(zhuǎn)向架二系懸掛的牽引拉桿、抗蛇行減振器等元件通過橡膠節(jié)點連接構(gòu)架，橡膠節(jié)點剛度約束了構(gòu)架的縱向振動，致使轉(zhuǎn)向架構(gòu)架的點頭運動加??；主要由構(gòu)架點頭運動引起的構(gòu)架垂向振動加劇，轉(zhuǎn)向架二系懸掛的牽引拉桿、抗蛇行減振器等元件通過橡膠節(jié)點連接車體，通過橡膠節(jié)點的約束使得構(gòu)架垂向運動再次傳遞至車體，引起車體的點頭、垂向振動加劇。

車輛垂向—縱向耦合振動系統(tǒng)微分方程如式(1)所示，詳細(xì)情況參見文獻[9]。

(1)

CRH2型動車組的部分參數(shù)見表1。

表1 質(zhì)量和慣量參數(shù)

2 基于Newmark-β預(yù)測校正積分法求解數(shù)學(xué)模型

振動系統(tǒng)動力響應(yīng)的求解，常用的方法有陣型疊加法[10]和直接積分法，而直接積分法又有2種，分別為隱式法和顯式法。隱式積分法具有無條件穩(wěn)定的特點，可采用較大的時間積分步長，提高計算效率；但對非線性問題，求解過程復(fù)雜，計算量巨大。顯式積分法積分步長不受穩(wěn)定條件制約，其計算過程簡潔且具有較高的計算效率[11]。預(yù)測校正積分法結(jié)合隱式和顯式積分的優(yōu)點，采用顯式預(yù)測，隱式校正，可以獲得較好的綜合性能，被廣泛使用。預(yù)測校正積分法包括中心差分法、Newmark-β法等。中心差分法一般多用于求解波的傳播等問題，對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，中心差分法為了保證算法的穩(wěn)定性對步長要求較高，計算效率較低；而Newmark-β法滿足一定條件將無條件穩(wěn)定，并且具有較高的計算效率。因此，本文采用Newmark-β預(yù)測校正積分法求解振動系統(tǒng)響應(yīng)。

(2)

根據(jù)式(2)求解得到t+Δt時刻的速度和位移向量分別為

(3)

(4)

式中：δ，β為積分控制參數(shù)。

當(dāng)δ≥0.5，β≥(1/2+δ)2/4時，采用Newmark-β預(yù)測校正積分法無條件穩(wěn)定；經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)δ=0.5，β=0.25時計算結(jié)果理想。

3 模型驗證

為了驗證基于Newmark-β預(yù)測校正積分法的車輛垂向—縱向耦合振動數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，應(yīng)用多體動力學(xué)軟件UM建立了CRH2型動車組的動力學(xué)仿真模型[9,12](見圖2)，對兩者的計算結(jié)果進行比較。

圖2 CRH2型動車組多體系統(tǒng)動力學(xué)仿真模型

首先，對模態(tài)頻率進行比較，見表2。其次，對實測軌道不平順激勵下的車輛響應(yīng)進行比較，仿真計算時輸入的某高鐵實測軌道不平順如圖3所示，車體垂向振動加速度和點頭角加速度比較結(jié)果如圖4、圖5所示。

表2 模態(tài)頻率比較

圖3 實測軌道不平順

圖4 車體垂向振動加速度對比

圖5 車體點頭角加速度對比

UM中車體、構(gòu)架與輪對三者互相耦合的縱向模態(tài)頻率為6 Hz，構(gòu)架縱向與輪對沉浮耦合模態(tài)頻率為32.1 Hz。經(jīng)過比較，發(fā)現(xiàn)自編程序計算結(jié)果與UM軟件計算結(jié)果比較一致。

由圖4、圖5可知，車輛垂向—縱向耦合振動模型計算的車體垂向振動加速度和點頭角加速度與UM軟件結(jié)果非常一致。由此可見，本文建立的車輛垂向—縱向耦合振動模型完整合理，Newmark-β預(yù)測校正積分法求解計算可靠。

4 輪對動平衡的影響

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定[13]，當(dāng)車輛運行速度大于200 km·h-1時，輪對許用不平衡量小于50 g·m，仿真計算中分析輪對動平衡從10～50 g·m的影響，每10 g·m為1個等級，速度為50～400 km·h-1，每50 km·h-1為1個計算等級，得到不同輪對動平衡對車體垂向和縱向振動加速度的影響，如圖6和圖7所示。

圖6 輪對動平衡對車體垂向振動加速度的影響

由圖6和圖7可知：速度為60和300 km·h-1時車體的垂向和縱向振動加速度明顯增大，此時車體的振動隨著輪對動平衡的增大而增大；其他速度等級時，車體的振動變化較小。

圖7 輪對動平衡對車體縱向振動加速度的影響

當(dāng)帶有偏心質(zhì)量的車輪旋轉(zhuǎn)時，產(chǎn)生的離心力作為外部激擾力激擾車輛，激擾力呈現(xiàn)周期性變化，激擾力變化頻率f與車輛運行速度v和車輪直徑φ有關(guān)，為

(5)

由式(5)可知，車輛運行速度為60和300 km·h-1時輪對動平衡引起的激擾力頻率與車輛自振頻率接近，引起的車體振動響應(yīng)較大，此時對應(yīng)的振動頻率分別為6和31 Hz，說明6和31 Hz為車輛系統(tǒng)的自振頻率，與表2中的模態(tài)頻率一致，6 Hz接近車輛系統(tǒng)的縱向耦合模態(tài)頻率，31 Hz接近構(gòu)架縱向與輪對沉浮的耦合頻率。

不同速度時的激擾力頻率、輪對動平衡與垂向平穩(wěn)性之間的關(guān)系如圖8所示。由圖8可知：6和31 Hz時的垂向平穩(wěn)性指標(biāo)明顯增大；為了降低輪對動平衡對高速列車乘坐舒適性的影響，必須減小6和31 Hz時的車輛振動響應(yīng)。

圖8 輪對動平衡對垂向平穩(wěn)性的影響

5 優(yōu)化措施

牽引拉桿縱向剛度對轉(zhuǎn)向架垂向—縱向耦合振動影響較大，因此結(jié)合CRH2型動車組的牽引拉桿的線性縱向剛度，并參照文獻[7]中基于位移相關(guān)的牽引拉桿非線性縱向剛度，推導(dǎo)出牽引拉桿縱向剛度隨速度的變化曲線，如圖9所示。

具有非線性剛度的牽引拉桿主要是在牽引拉桿的橡膠關(guān)節(jié)上設(shè)置溝槽間隙，當(dāng)牽引力或制動力的頻率較低和載荷較大(位移較大)時，溝槽間隙受到較大的擠壓，牽引拉桿具有大的縱向剛度；反之，牽引拉桿具有較小的縱向剛度，可以隔離轉(zhuǎn)向架的縱向振動傳至車體。

仿真計算中牽引拉桿的縱向剛度按圖9所示曲線輸入，當(dāng)輪對動平衡等于40 g·m時，得到車體垂向和縱向振動加速度的變化曲線如圖10和圖11所示。

圖9 牽引拉桿縱向剛度變化曲線

圖10 牽引拉桿縱向剛度對車體垂向振動加速度的影響

圖11 牽引拉桿縱向剛度對車體縱向振動加速度的影響

由圖10和圖11可知：采用線性縱向剛度牽引拉桿時車體的垂向和縱向振動加速度在6和31 Hz左右時振動強烈，而采用非線性縱向剛度牽引拉桿的則明顯減小，尤其是31 Hz左右時車體振動得到大幅減小，6 Hz的車體振動有一定減小，且振動峰值頻率出現(xiàn)在4 Hz。因此，采用非線性縱向剛度牽引拉桿可以明顯降低輪對動平衡引起的車輛振動，提高旅客的乘坐舒適性。

6 結(jié) 論

(1)以CRH2型動車組為研究對象，應(yīng)用Matlab軟件建立13個自由度的車輛垂向—縱向耦合振動數(shù)學(xué)模型，基于Newmark-β預(yù)測校正積分法編寫程序求解系統(tǒng)振動響應(yīng)，并與多體系統(tǒng)動力學(xué)軟件UM的結(jié)果進行比較。兩者計算的車輛模態(tài)頻率和振動加速度響應(yīng)具有較好的一致性，驗證了車輛垂向—縱向耦合振動數(shù)學(xué)模型和Newmark-β預(yù)測校正積分法的準(zhǔn)確性和可靠性。

(2)速度為60和300 km·h-1時輪對動平衡對車體振動響應(yīng)影響顯著，此時對應(yīng)的振動頻率為6和31 Hz，輪對動平衡引起的激擾力頻率與車輛自振頻率接近，產(chǎn)生共振。

(3)縱向剛度隨頻率變化的牽引拉桿在低頻率大位移時具有較大的縱向剛度，在高頻率小位移時具有較小的縱向剛度。采用縱向剛度隨頻率變化的牽引拉桿可以明顯降低由輪對動平衡引起的6和31 Hz左右的車輛振動，提高高速列車的乘坐舒適性。

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