復(fù)多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的廣義中心問題和可積性*

郭珂珂，張齊

（中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長沙410083）

經(jīng)典的平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)

的中心問題是尋找P（x，y）和Q（x，y）的系數(shù)滿足的條件，使原點(diǎn)的鄰域由系統(tǒng)的周期解覆蓋。關(guān)于該問題的研究僅在P（x，y）和Q（x，y）為二次和三次齊次多項(xiàng)式的情況下分別由Dulac與Sibirskii解決。在P（x，y）和Q（x，y）的其它情形一直是懸而未決的公開問題。但其中不乏優(yōu)秀的成果[1-3]。與中心問題密切相關(guān)的是平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的積分問題。

最近，文[4]把經(jīng)典的中心問題推廣到p：-q共振的情形：

尋找p：-q共振中心必要條件通常有兩種方法。第一種是形式級(jí)數(shù)法，即逐項(xiàng)確定假設(shè)的形式首次積分H（x，y）＝xqyp＋…的泰勒展開式的各項(xiàng)，使

此形式首次積分存在的必要條件是由形式級(jí)數(shù)定義的各階鞍點(diǎn)量gk為零。用此方法判斷原點(diǎn)是否為共振中心涉及到鞍點(diǎn)量gk的計(jì)算。另一種方法是規(guī)范形法，它需要計(jì)算由規(guī)范形定義的所謂的廣義奇點(diǎn)量[5-6]。

關(guān)于共振奇點(diǎn)廣義中心條件的研究有不少有趣的工作。當(dāng)P（x，y）和Q（x，y）是特殊的實(shí)或復(fù)多項(xiàng)式且共振比p：-q是特定的值時(shí)，系統(tǒng)存在局部解析首次積分H（x，y）＝xqyp＋…（即存在p：-q共振中心）的條件已有不少的研究。二次多項(xiàng)式的情形有文[4-13]；三次的情形有文[14-20]；四次情形有文[21-22]；五次情形有文[23]。但是當(dāng)共振比是一般的值時(shí)，即使是二次系統(tǒng)，共振中心問題仍然是一個(gè)公開問題。

值得一提的是，在文[5]中，肖和劉提出了一種比較容易的計(jì)算鞍點(diǎn)量的方法（在文[5]中稱為廣義奇點(diǎn)量）。他們考慮了以下一般的復(fù)自治微分系統(tǒng)

其中z，w，T是獨(dú)立的復(fù)變量，aαβ，bαβ是復(fù)常數(shù)，p，q∈Z＋，（p，q）＝1。作者通過系統(tǒng)（1）的規(guī)范形給出了廣義奇點(diǎn)量的定義，并運(yùn)用形式級(jí)數(shù)，得到了一個(gè)計(jì)算鞍點(diǎn)量的線性遞歸公式。但是，文[5]有一個(gè)缺陷，作者直接將從形式級(jí)數(shù)得到的鞍點(diǎn)量作為從規(guī)范形定義的廣義奇點(diǎn)量，而沒有證明它們的等價(jià)性。因此本文的其中一個(gè)目的就是填補(bǔ)這個(gè)空缺。我們首先證明了廣義奇點(diǎn)量和鞍點(diǎn)量的等價(jià)性，換句話說，證明了形式級(jí)數(shù)法和規(guī)范形法的等價(jià)性。然后引入一種計(jì)算廣義共振奇點(diǎn)量的方法—積分因子法，并由此判定廣義中心。我們還得到了計(jì)算系統(tǒng)（1）原點(diǎn)的廣義奇點(diǎn)量的另一遞歸公式。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[5，7]對(duì)于系統(tǒng)（1），我們可以逐項(xiàng)確定以下形式級(jí)數(shù)

使系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)換成其規(guī)范形：

其中p0＝q0＝1.

設(shè)H＝uqvp，μk＝pk-qk，那么由規(guī)范形（3）可得

定義1[5-6]對(duì)于系統(tǒng)（1），我們稱 μk＝pkqk為 “原點(diǎn)的第k階廣義奇點(diǎn)量”。如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則原點(diǎn)稱為k階奇點(diǎn)；如果對(duì)所有k都有μk＝0，則原點(diǎn)稱為復(fù)共振中心。

注1有些作者也把廣義奇點(diǎn)量稱為鞍點(diǎn)量[7，11]。為了區(qū)別由形式級(jí)數(shù)法和規(guī)范形法得到的鞍點(diǎn)量，本文采用文[5]中方法把由規(guī)范形法得到的鞍點(diǎn)量稱為廣義奇點(diǎn)量。

定理1[5]對(duì)于系統(tǒng)（1），可以逐項(xiàng)確定以下形式級(jí)數(shù)

使得

其中cqp＝1，ckq，kp＝0，k＝2，3，…．當(dāng) α＋β＞p＋q，且qβ-pα≠0時(shí)有

2 主要結(jié)果

定理2對(duì)于系數(shù)為系統(tǒng)（1）的系數(shù)aαβ，bαβ的多項(xiàng)式的任意形式級(jí)數(shù)

以及任意預(yù)先給定的ckq，kp（k＝1，2，…），可以逐項(xiàng)確定唯一的形式級(jí)數(shù)

使其系數(shù)也是aαβ，bαβ的多項(xiàng)式，且

此外，如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則λ1

反之亦然。

證明定理的前半部分和式（11）通過直接計(jì)算很容易證明，在此從略?，F(xiàn)證明另一半和式（12）。運(yùn)用形式級(jí)數(shù)（2），F(xiàn)（z，w）和Gm（z，w）可以寫成

其中的子序列，因而是Gm中含有某些特殊項(xiàng)的部分。因?yàn)镠＝uqvp，我們也可以簡化式（14）為

其中g(shù)m（H）是H的冪級(jí)數(shù)，且gm（0）＝1。此外，由規(guī)范形（3）和等式（13）可得

另一方面，由形式級(jí)數(shù)（2）和式（11），又可得

因此，

綜合式（18）與式（20）得

由式（21）可知：如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則有 λ1＝λ2＝…＝λk-1＝0，λk≠0，且式（12）成立。

定理2從理論上證實(shí)了：除了可能相差一個(gè)常數(shù)因子外，由定理1通過形式級(jí)數(shù)法得到的鞍點(diǎn)量恰是系統(tǒng)（1）原點(diǎn)的廣義奇點(diǎn)量。

推論1系統(tǒng)（1）在原點(diǎn)可積，從而存在一個(gè)解析的首次積分，當(dāng)且僅當(dāng)原點(diǎn)是廣義中心。

定理3對(duì)于系統(tǒng)（1），我們可以逐項(xiàng)確定以下形式級(jí)數(shù)

其中系數(shù)是系統(tǒng)（1）的系數(shù)aαβ，bαβ的多項(xiàng)式，（k＝1，2，…）可任取，且

此外，如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則有

反之亦然。

證明我們將在下一個(gè)定理中詳細(xì)證明J（z，w）的存在。首先證明式（24）成立。

令

由式（23）和式（25）可得

因而再有式（25）-（26）可知，存在一個(gè)形式冪級(jí)數(shù)F＝zqwp＋…，使得

由式（27），做形式計(jì)算可得

其中

由定理2，式（28）-（29）易得如果μ1＝μ2＝…＝μk-1＝0，μk≠0，則，且式（24）成立。

定理4對(duì)系統(tǒng)（1），可以逐項(xiàng)確定形式級(jí)數(shù)（22），使等式（23）-（24）成立。此外，若pα＝qβ，可任??；若pα≠qβ，且＝1，則當(dāng)m≥1時(shí)有

其中當(dāng)k＜0或j＜0時(shí)，akj＝bkj＝ckj＝0．

證明將Z，W表示為

則有

如果pα≠qβ，則易由式（33）得到式（30）；如果pα＝qβ，則存在一個(gè)正整數(shù)m≥1，其中α＝qm，β＝pm，此時(shí)等式（23）-（30）也成立。

注2定理2-4不僅揭示了鞍點(diǎn)量與廣義奇點(diǎn)量之間的關(guān)系，而且揭示了計(jì)算廣義奇點(diǎn)量的首次積分法，積分因子法和規(guī)范形法3種計(jì)算方法的等價(jià)性。系統(tǒng)（1）原點(diǎn)的廣義奇點(diǎn)量除了常數(shù)因子之外是唯一確定的。因此，不失一般性，我們可以用 λk和代替 μk。

推論2系統(tǒng)（1）的原點(diǎn)是廣義中心當(dāng)且僅當(dāng)它有解析的積分因子。

3 應(yīng)用舉例

考慮如下以原點(diǎn)為共振奇點(diǎn)的復(fù)多項(xiàng)式系統(tǒng)

使用公式（30）-（31）計(jì)算系統(tǒng)（34）原點(diǎn)的廣義奇點(diǎn)量，可得

命題1系統(tǒng)（34）原點(diǎn)的前2個(gè)廣義奇點(diǎn)量是

其中

定理5原點(diǎn)的前兩個(gè)廣義奇點(diǎn)量均為零當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立

證明只要將六個(gè)條件中的任一個(gè)代入前2個(gè)廣義奇點(diǎn)量，就可證明充分性?，F(xiàn)證必要性。對(duì)于這六個(gè)條件，前4個(gè)是從μ1，μ2表達(dá)中顯而易見的。所以我們只需證明后2個(gè)。如果μ1＝μ2＝0，除前4個(gè)條件外，必有H1＝H2＝0。令S＝[H1，H2，a11]，則有

如果H1＝H2＝0必有S＝0。由H1＝H2＝0和S＝0我們進(jìn)一步可得式（5）和式（6）以及包含在式（4）中的其他特殊結(jié)果。

從文[6]中的定理3.2和定理4.1可得

命題2系統(tǒng)（34）的原點(diǎn)是一個(gè)廣義中心（即，系統(tǒng)（34）在原點(diǎn)可積）當(dāng)且僅當(dāng)定理5中的六個(gè)條件之一成立。

注3在命題2中得到的廣義中心條件與文[9]中的定理4.1的條件一致，這證實(shí)了本文中建立的理論和公式的正確性。

[1]黃文韜，劉一戎，朱芳來.一類微分系統(tǒng)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心與擬等時(shí)中心[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，44（4）：24-27.HUANG W T，LIU Y R，ZHU F L.The centers and quasi-isochronous centers at infinity for a class of differential systems[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2005，44（4）：24-27.

[2]李時(shí)敏.一類不連續(xù)廣義Lienard微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，54（5）：15-18，27.LI SM.Bifurcation of limit cycles for a class of discontinuous generalized Lienard differential system[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2015，54（5）：15-18，27.

[3]黃赪彪，鄔華東.平面二次系統(tǒng)極限環(huán)及其穩(wěn)定與分岔的計(jì)算[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，47（2）：28-31.HUANG C B，WU H D.Calculation of limit cycles and their stability and bifurcations for planar quadratic differential systems[J].Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni，2008，47（2）：28-31.

[4]ZOLADEK H.The problem of center for resonant singular points of polynomial vector fields[J].J Differential E-quations，1997，137（1）：94-118.

[5]XIAO P.Critical point quantities and integrability conditions for complex planar resonant polynomial differential systems[D].Changsha：Central South University，2005.

[6]WANG Q，LIU Y.Linearizability of the polynomial differential systems with a resonant singular point[J].Bull Sci Math，2008，132（2）：97-111.

[7]GRAVEL S，THIBAULT P.Integrability and linearizability of the Lotka-Volterra system with a saddle point with rational hyperbolicity ratio[J].J Differential Equations，2002，184（1）：20-47.

[8]FRONVILLE A，SADOVSKI A，ZOLADEK H.Solution of the1：-2 resonant center problem in the quadratic case[J].Fund Math，1998，157（2/3）：191-207.

[9]LIU C，CHEN G，LI C.Integrability and linearizability of the Lotka-Volterra systems[J].J Differential Equations，2004，198（2）：301-320.

[10]CHRISTOPHER C，ROUSSEAU C.Normalizable，integrable and linearizable saddle points in the Lotka-Volter-ra system[J].Qual Theory Dyn Syst，2004，5（1）：11-61.

[11]CHRISTOPHER C，MARDE?P，ROUSSEAU C.Normalizable，integrable and linerizable saddle points for complex quadratic systems inC2[J].J Dyn Control Syst，2003，9（3）：311-363.

[12]WANG Q，HUANG W.Integrability and linearizability for Lotka-Volterra systems with the 3：-qresonant saddle point[J].Adv Difference Equ，2014，2014（1）：23.

[13]FER?ECB，GINéJ，MENCINGER M，et al.The center problem for a 1：-4 resonant quadratic system[J].J Math Anal Appl，2014，420（2）：1568-1591.

[14]DOLI?ANIN D，GINéJ，OLIVEIRA R，et al.The center problem for a 2：-3 resonant cubic Lotka-Volterra system[J].Appl Math Comput，2013，220（4）：12-19.

[15]WANGQ，HUANGW，WU H.Linear recursion formulas of generalized focus quantities and applications[J].Appl Math Comput，2013，219（10）：5233-5240.

[16]GINéJ，CHRISTOPHER C，PRE?ERN M，et al.The resonant center problem for a 2：-3 resonant cubic Lotka-Volterra system[M]//Computer Algebra in Scientific Computing.Berlin Heidelberg：Springer，2012，7442（4）：129-142.

[17]LIU C，LIY.The integrability of a class of cubic Lotka-Volterra system[J].Nonlinear Anal Real World Appl，2014，19（19）：67-74.

[18]HU Z，ROMANOVSKI V，SHAFER D.1：-3 resonant centers onC2with homogeneous cubic nonlinearities[J].Comput Math Appl，2008，56（8）：1927-1940.

[19]CHEN X，GINéJ，ROMANOVSKI V，et al.The1：-qresonant center problem for certain cubic Lotka-Volterra system[J].Appl Math Comput，2012，218（23）：11620-11633.

[20]WANG Q，WU H.Integrability and linearizability for a class of cubic Kolmogorov systems[J].Ann Differential Equations，2010，26（4）：442-449.

[21]DONG G.Linearizability of homogeneous quartic polynomial systems with 1：-2 resonance[J].JMath Anal Appl，2012，396（1）：215-224.

[22]LIU C，CHEN G，CHEN G.Integrability of Lotka-Volterra type systems of degree 4[J].J Math Anal Appl，2012，388（2）：1107-1116.

[23]GINéJ，ROMANOVSKI V.Integrability conditions for Lotka-Volterra planar complex quintic systems[J].Nonlinear Anal Real World Appl，2010，11（3）：2100-2105.