一類SEIR流行病模型的全局穩(wěn)定性分析

趙亞飛，蘇 強(qiáng)，呂貴臣

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

全局穩(wěn)定性問(wèn)題是傳染病動(dòng)力學(xué)研究中的重要課題。對(duì)于傳染病動(dòng)力學(xué)模型全局穩(wěn)定性的研究主要有2種方法：一是Lyapunov-LaSalle穩(wěn)定性定理[1]; 二是Li-Muldowney幾何方法[2-4]。Lyapunov-LaSalle穩(wěn)定性定理主要是通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù),利用Poincaré-Bendixson定理、Lyapunov-LaSalle穩(wěn)定性定理等來(lái)研究平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。郭麗娜等[5]通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，利用LaSalle不變性原理研究了平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。陳永雪[6]通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，利用Poincaré-Bendixson定理、Lyapunov穩(wěn)定性定理的LaSalle不變性原理研究了模型的全局動(dòng)力學(xué)行為。馬明菊等[7]利用Hurwitz判據(jù)判斷了平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，然后通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，利用LaSalle不變性原理研究了平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。郭樹敏等[8]通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，利用Lyapunov穩(wěn)定性定理LaSalle的不變性原理研究了無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，并構(gòu)造Dulac函數(shù)，利用Poincaré-Bendixson定理驗(yàn)證系統(tǒng)是否存在周期解，從而研究全系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。其他相關(guān)文獻(xiàn)見文獻(xiàn)[9-12]。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)往往比較困難。因此，Li-Muldowney基于高維Bendixson判據(jù)提出了全局穩(wěn)定性判定的幾何方法。利用該方法，Iwami等[13-14]研究了一類禽-人SI-SIR流行病模型的全局穩(wěn)定性；茍清明等[15]研究了帶有垂直傳染和接種疫苗SEIRS流行病模型的全局穩(wěn)定性；Chen等[16]考慮了H7N9病毒在人類中發(fā)生突變的禽流感模型的全局穩(wěn)定性。此外，Lu等[17]利用Li-Muldowney幾何方法研究了一類三維Lotka-Volterra系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性；Lu等[18]分析了一類具有Gompertz增長(zhǎng)的三維競(jìng)爭(zhēng)模型的全局穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[19]借助于時(shí)間平均性質(zhì)，在Li-Muldowney基礎(chǔ)上，提出了全局穩(wěn)定性判定的新方法。

本文主要考慮如下具有常數(shù)移民的SEIR流行病模型：

(1)

其中：S(t)、E(t)、I(t)、R(t)分別表示易感染者、潛伏者、受感染者和移除者在t時(shí)刻的數(shù)量；N(t)表示t時(shí)刻的總數(shù)量，記N(t)=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)；μ表示自然死亡率；γ0表示潛伏者和受感染者之間的轉(zhuǎn)移率；常數(shù)k0表示移除率；β10、β20、β30分別表示潛伏者、受感染者和移除者的有效接觸率；(1-p)A和pA分別表示易感染者和潛伏者的常數(shù)輸入。

(2)

若令x=1-Y-Z-R1,y=Y,z=Z,則可得系統(tǒng) (2)的極限系統(tǒng)為：

(3)

其中β2>β3。

李桂花等[20]通過(guò)對(duì)模型(3)的全局穩(wěn)定性的詳盡的分析得到：

定理1 如果R0>1,β1>β3且cβ1(1-p)<1-γ，cβ3(1-p)<1+p，則系統(tǒng)(3)唯一的地方病平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮微分方程

(4)

其中B=PfP-1+PJ[2]P-1，矩陣Pf為

此外，呂貴臣等[18]基于時(shí)間平均性質(zhì)，對(duì)定理1做了推廣，得到了如下結(jié)論：

其中

2 全局穩(wěn)定性分析

本節(jié)將借助已提出的全局穩(wěn)定性方法改進(jìn)已有的結(jié)果。應(yīng)用定理3得到如下結(jié)果：

定理4 如果R0>1,β1>β3且cβ1(1-p)<1,則系統(tǒng)(3)唯一的地方病平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定的。

證明簡(jiǎn)單計(jì)算得系統(tǒng)(3)的雅可比矩陣J為

其中：

j11=-1+cβ3x-c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

j22=-cβ3x+c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

可得其2階可加性復(fù)合矩陣J[2]為

其中：

J11=c(β1-β3)x-γ-2+cβ3x-

c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

J22=-2+cβ3x-c[β1y+β2z+

β3(1-x-y-z)]-k

J32=-cβ3x+c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

J33=c(β1-β3)x-γ-2-k

其中：

c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

c[β1y+β2z+β3(1-x-y-z)]

又由系統(tǒng)(3)可得：

x<1-p

則有：

β3(1-x-y-z)]+cβ1x<

β3(1-x-y-z)]+cβ1(1-p)<

此時(shí)：

由定理3可得,系統(tǒng)(3)是全局漸近穩(wěn)定的。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要考慮了具有常數(shù)移民的SEIR流行病模型。研究的主要目的在于弱化地方病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性的條件。利用全局穩(wěn)定性判別的新方法改進(jìn)了文獻(xiàn)[20]中關(guān)于地方病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定的結(jié)果。

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