兩階段Logit廣義估計(jì)方程的漸近性質(zhì)

陳顯彬,林 松,尹長(zhǎng)明

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 南寧 530004)

1 背景和主要結(jié)果

廣義估計(jì)方程是對(duì)縱向數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析的一類(lèi)重要方法，由Liang等[1]于1986年對(duì)廣義線(xiàn)性模型推廣而得到。1983年，McCullagh等[2]出版了專(zhuān)著來(lái)系統(tǒng)地論述廣義線(xiàn)性模型。對(duì)于自然聯(lián)系函數(shù)的情況，極大似然估計(jì)的弱相合性和漸近正態(tài)性的條件在文獻(xiàn)[3-5]中都有列出。特別關(guān)于Logit模型的條件，文獻(xiàn)[6-8]也給出了論述。對(duì)于非自然聯(lián)系函數(shù)，文獻(xiàn)[9]給出了相應(yīng)的漸近結(jié)果，但沒(méi)有嚴(yán)格的假設(shè)和條件，而文獻(xiàn)[10]則需要非常強(qiáng)的條件。由于之前研究存在一定的局限性，1985年L.Fahrmeir和H.Kaufmann發(fā)表了文獻(xiàn)[11]，論述了極大似然估計(jì)的漸近性質(zhì)；1986年，兩人在文獻(xiàn)[12]中具體分析了離散相應(yīng)變量的漸近推斷，又豐富了廣義線(xiàn)性模型的相關(guān)理論。

本文設(shè)在試驗(yàn)中對(duì)第i個(gè)個(gè)體的第j次觀(guān)測(cè)得到q×1維響應(yīng)變量Yij，pn×q維協(xié)變量Xij，i=1,…,n,j=1,…,m。設(shè)來(lái)自不同個(gè)體的觀(guān)測(cè)值相互獨(dú)立，來(lái)自相同個(gè)體觀(guān)測(cè)值則是相關(guān)的，但相關(guān)系數(shù)未知。令Yij=(Yij1,…,Yijq)T的期望為

(1)

(2)

方差記為

(3)

(4)

若Yij服從三項(xiàng)分布(觀(guān)測(cè)次數(shù)是1)，即q=2,期望

(5)

(6)

就得到兩步Logit模型[13-14]。

Wang[15]在一定條件下證明了經(jīng)典Logit廣義估計(jì)方程

(7)

對(duì)兩階段Logit模型，假設(shè)以下條件成立：

(8)

2 定理1的證明

為了證明定理1，需要以下引理：

下面4個(gè)引理的證明分別與文獻(xiàn)[4]引理3.1、3.3、3.4、3.5類(lèi)似，故在此省略。

引理2 若假設(shè)條件①～⑤成立，則

引理3 若假設(shè)條件①～⑤成立，則?Δ>0，an,bn∈Rpn，有

引理4 若假設(shè)條件①～⑤成立，則?Δ>0，an,bn∈Rpn，有

引理5 若假設(shè)條件①～⑤成立，則?Δ>0，an,bn∈Rpn，有

定理1的證明

根據(jù)引理1，證明方程Sn(βn)=0根的存在性且式(8)成立，只需證明?ε>0，存在一個(gè)Δ>0，對(duì)足夠大的n有如下式子成立：

(9)

由微分中值定理,

(10)

(11)

(12)

其中εi(βn)=Yi-hi(βn)。所以

(13)

由引理2和假設(shè)⑤得

(14)

(15)

由引理3和假設(shè)⑤得:

(16)

(17)

由引理4和引理5及假設(shè)⑤得：

(18)

由假設(shè)②～④可得

(19)

由式(16)～(19)知In2≤-CΔ2pn，再由式(13)和(14)知|In1|=ΔOp(pn)，可見(jiàn)當(dāng)Δ足夠大時(shí)式(8)(9)成立。

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