基于滯后效應(yīng)的軌道不平順與車體振動間的相關(guān)性研究

石玉紅，何 平，耿綺靈，高薇薇

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 成都 611756)

軌道不平順對機(jī)車車輛系統(tǒng)是一種外部激擾，是產(chǎn)生機(jī)車車輛振動、噪聲的主要根源[1]。車輛的異常振動不僅會對列車造成程度不一的摩擦，減少列車的壽命，還會引起列車運(yùn)行的不平穩(wěn)，從而影響乘客乘坐的舒適性，同時車體的異常振動也是安全隱患。因此，研究軌道的不平順與車體振動間的相互關(guān)系的密切程度及其變化規(guī)律以便及時做出判斷，進(jìn)行必要的統(tǒng)計分析與預(yù)測是很有實(shí)際意義的。

在此背景下，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究工作，主要集中在功率譜密度理論方面，利用譜分析[2-7]討論軌道的不平順對車體振動的影響。文獻(xiàn)[2]利用譜分析方法研究了軌道不平順波長與幅值對車-軌系統(tǒng)豎向振動響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)[3]基于車輛-軌道耦合動力學(xué)理論，研究了軌道不平順對車輛-軌道橫向隨機(jī)振動的影響；文獻(xiàn)[4]基于軌道不平順演化特征，建立了短程的軌道不平順幅值預(yù)測模型；文獻(xiàn)[5]運(yùn)用周期圖法計算京津城際鐵路的軌道不平順譜，并對計算結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)分析；文獻(xiàn)[6]基于轉(zhuǎn)向架的理論和實(shí)踐結(jié)果，分析獲得了軌道不平順對車體的垂直振動的響應(yīng)；文獻(xiàn)[7]通過建立三維列車-軌道耦合動力學(xué)模型來分析軌道不平順短波分量對列車動力響應(yīng)的影響。以上研究沒有定量地刻畫出軌道不平順與車體振動間的內(nèi)在規(guī)律性，更沒有對因軌道不平順性產(chǎn)生的車體垂直振動延遲效應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)的分析。尤其是軌道不平順對車體垂向振動的影響存在滯后性，使得軌道不平順和車體垂直振動間的擬合效果非常不理想，從而導(dǎo)致不能定量刻畫出軌道不平順對車體垂直振動的影響，干擾研究者對軌道不平順對車體振動間的影響做出準(zhǔn)確的推斷和預(yù)測?；诖吮尘埃紤]到軌道不平順與車體振動間的相關(guān)性錯綜復(fù)雜(既與運(yùn)行速度有關(guān)，又由于減震系統(tǒng)的作用而有延遲效應(yīng))，本文基于減震系統(tǒng)產(chǎn)生的滯后效應(yīng)，研究軌道不平順與車體振動間的內(nèi)在規(guī)律，并給出定量刻畫。

由于軌道的前后高低不平、軌距的寬窄不一、左右兩軌的高度不等、存在三角坑等問題都屬于軌道的不平順，故軌道不平順指標(biāo)就涉及左右軌高低、超高、軌距、三角坑等，并且把車速指標(biāo)也加入到車體振動的激勵因素。用車體的水平加速度、垂直加速度分別來度量車體的左右振動、上下振動。

1 軌道不平順與車體振動間的回歸分析

從源數(shù)據(jù)*數(shù)據(jù)來源：本文分析所用的數(shù)據(jù)是由導(dǎo)師負(fù)責(zé)的項(xiàng)目中，從某單位獲取的數(shù)據(jù)，而該數(shù)據(jù)是由軌檢車在某軌道段(基于保密協(xié)議，在此不說明具體軌道段)上行駛一圈，每隔0.25 m采集一次數(shù)據(jù)所得。中選取軌距、軌向、高低等7個軌道不平順指標(biāo)和車體水平加速度、垂直加速度2個車體振動指標(biāo)并加入車速指標(biāo)制作矩陣散點(diǎn)圖。初步觀察變量間關(guān)系，并利用SPSS計算其Person相關(guān)系數(shù)，結(jié)果表明：超高和曲率兩指標(biāo)相關(guān)系數(shù)為0.999，呈顯著相關(guān)[8]。故考慮到復(fù)共線性問題，對解釋變量進(jìn)行篩選，超高和曲率兩者舍一指標(biāo)。本文選取超高指標(biāo)進(jìn)行后續(xù)分析。符號說明：x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7分別表示軌距、超高、左軌向、左高低、三角坑、車速、水平。

1.1 水平加速度的多元回歸分析

對車體水平加速度與軌道不平順指標(biāo)采用多元線性模型、非線性模型、交互響應(yīng)模型進(jìn)行擬合，遵循模型擬合的簡單與有效原則，選擇多元線性回歸模型進(jìn)行擬合，所采用的模型為

(1)

表1表明：模型擬合效果即調(diào)整后的R2為0.940，擬合效果好。故選擇多元線性回歸模型來描述車體水平加速度和軌道不平順之間的統(tǒng)計規(guī)律是有統(tǒng)計意義的。

表1 模型(1)方差分析結(jié)果

得到水平加速度與軌道不平順指標(biāo)所建立的多元回歸方程：

y=-0.031 14+0.000 40x1+0.000 41x2-

0.001 83x3+0.000 18x4-0.000 15x5+

0.000 27x6-0.000 58x7

(2)

式(2)表明：軌道不平順解釋變量中左軌向和水平對車體水平加速度的影響比較顯著，做出的貢獻(xiàn)也大，且軌向和水平越大，車體的水平加速度反而越小，即車體左右振動越??；而軌距和超高對水平加速度的影響也較大，并且軌距和超高越大，車體的水平加速度也越大，即車體左右振動越厲害。由此定量刻畫了水平加速度與軌道不平順的內(nèi)在規(guī)律。

1.2 垂直加速度的多元回歸分析

類似地，對車體垂直加速度和軌道不平順指標(biāo)建立多種回歸模型，遵循簡單與有效原則，相比選擇多元線性回歸模型更合理，采用的模型為

(3)

表2表明：該模型擬合優(yōu)度為0.175，擬合效果并不理想，故不能用該模型刻畫車體垂直加速度與軌道不平順指標(biāo)之間的關(guān)系。究其原因，推斷是因?yàn)榱熊嚩嘀販p震系統(tǒng)延遲了車體垂直方向的響應(yīng)，致使車體垂直加速度滯后。以下進(jìn)一步地分析滯后的車體垂直加速度與軌道不平順解釋變量間的內(nèi)在規(guī)律。

表2 模型(3)方差分析結(jié)果

2 基于滯后效應(yīng)的多元回歸分析

2.1 定滯后量回歸模型

本文分析所用的數(shù)據(jù)是軌檢車在軌道上行駛1圈，每隔0.25 m采集1次數(shù)據(jù)所得到的，即在距離軸上每條數(shù)據(jù)間隔為0.25 m，并稱2條相鄰數(shù)據(jù)的間隔為1步，在此，把車體垂直加速度滯后的步數(shù)稱為滯后量。首先考慮垂直加速度的滯后量恒定不變的情形，建立定滯后量的車體垂直加速度和軌道不平順指標(biāo)的回歸模型:

k=1,2,…,9 000

(4)

式中:k為數(shù)據(jù)的序號;h為車體垂直加速度的滯后量；xi(k)(i=1,2,…,7)為第k組數(shù)據(jù)的第i個自變量。

利用Matlab軟件編程，以模型擬合優(yōu)度最大為目標(biāo)，求出車體垂直加速度的最優(yōu)滯后步數(shù),即模型需要的滯后量。結(jié)合實(shí)際中多重減震系統(tǒng)的延遲時間，給定程序中滯后量的上限值為500，相當(dāng)于在列車車速為120 km/h的情況下，減震系統(tǒng)使車體垂直方向的振動延遲了3.75 s，遠(yuǎn)超過了實(shí)際的延遲時間，故保證了最優(yōu)滯后量落在給定的范圍內(nèi)。擬合優(yōu)度隨滯后量的變化如圖1所示。

圖1 擬合優(yōu)度變化趨勢

分析結(jié)果表明：在垂直加速度的滯后量為0(即垂直加速度不滯后)時，模型的擬合優(yōu)度最高，為0.204 3(注意：為了保證滯后的垂直加速度的數(shù)據(jù)可用，該回歸分析實(shí)際所用數(shù)據(jù)為9 000個)，分析結(jié)果并不與實(shí)際相符。綜合分析列車運(yùn)行各方面因素，猜想車體垂直加速度的滯后量可能與車速有關(guān)，即每處的垂直加速度的滯后量可能會受該處的車速所影響，滯后量可能隨著速度的改變而變化，故建立變滯后量回歸模型對車體垂直方向的響應(yīng)與激勵進(jìn)行擬合。

2.2 變滯后量回歸模型

2.2.1 變滯后量回歸模型

為了分析車速對滯后量的影響，把車速的單位換算成步/s(即0.25 m/s)。為了減少機(jī)理誤差，對數(shù)據(jù)做8步移動平均處理進(jìn)行“響應(yīng)變量濾波”，消除機(jī)理誤差。經(jīng)過多項(xiàng)式模型、對數(shù)模型、指數(shù)模型等多種模型對比，對車速與滯后量建立線性回歸模型：

h=a+bx6

(5)

式中：h為車體垂直加速度的滯后量；x6為對應(yīng)時刻的車速。故變滯后量回歸模型方程為

k=1,2,…,9 000

(6)

變滯后量回歸模型為

k=1,2,…,9 000

(7)

式中：[a+bx6(k)]為離a+bx6(k)最近的整數(shù)；k為里程點(diǎn)即數(shù)據(jù)序號。

2.2.2 變滯后量回歸方程的算法

利用Matlab軟件進(jìn)行編程，具體算法步驟如下：

步驟1 給定滯后量與車速模型方程的系數(shù)即a、b的初值a′、b′。

步驟3 回歸擬合滯后的垂直加速度y′和軌道不平順指標(biāo)xi(i=1,2,…,6)。

步驟4 求解回歸模型，得到當(dāng)擬合優(yōu)度最大時滯后量與車速模型方程的系數(shù)，即a、b的值。

對于滯后量與車速模型方程的1次項(xiàng)系數(shù)和常系數(shù)(即a、b的初值)，經(jīng)過大量嘗試，給定a、b初值分別為0.2、7，最后得到的變滯后回歸模型的擬合效果有了較大提升，其模型擬合優(yōu)度為0.296，同時得到a、b的值分別為-0.082 9、8.654 8。由此可得到垂直加速度的滯后量與車速的模型方程：

h=8.654 8-0.082 9x6

(8)

分析該模型方程可以得到：在軌檢車測量數(shù)據(jù)的這條軌道上，垂直加速度的滯后量隨著車速的增大而減小。

利用Matlab軟件，得到變滯后的車體垂直加速度的回歸模型的檢驗(yàn)結(jié)果,如表3所示。

表3 檢驗(yàn)結(jié)果

從表3中可以看出:其復(fù)相關(guān)系數(shù)R2即擬合優(yōu)度為0.296，雖與不滯后的模型擬合效果相比已有較大提高，但仍不盡如人意。這是由于滯后量與車速模型方程的系數(shù)(即a、b的初值的設(shè)定)對模型效果影響較大，這也是本研究需要有所提高的部分。

2.3 垂直加速度滯后值與其估計值的趨勢分析

繪制滯后的垂直加速度與其擬合值之間的擬合對比線圖，直觀分析滯后的垂直加速度響應(yīng)與激勵擬合的效果，結(jié)果如圖2所示。圖2中：外圍藍(lán)色為滯后的垂直加速度的線圖；中間綠色為其模型估計值的線圖；縱坐標(biāo)表示垂直加速度值，為方便數(shù)據(jù)分析，其是初始值的1 000倍。從圖2中可以看出：滯后的垂直加速度與其模型估計值變化趨勢大致相同。

圖2 對比線圖

為了更為細(xì)致地觀察分析滯后的垂直加速度與其估計值的變化趨勢，從9 000個擬合數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1%比例的數(shù)據(jù)，得到近90個數(shù)據(jù)，制作滯后的垂直加速度與其估計值的對比線圖。如圖3所示，其中縱坐標(biāo)表示垂直加速度值，為方便數(shù)據(jù)分析，其是初始值的1 000倍。

從圖3中可以看出：滯后的垂直加速度與其模型估計值的變化趨勢大致上是相同的，并且對于個體數(shù)據(jù)來說，兩者的極大值和極小值基本同步，表明用關(guān)于速度的函數(shù)擬合的滯后量附加于垂直加速度和軌道不平順模型中是合理可取的。

圖3 1%對比線圖

3 結(jié)束語

在多元統(tǒng)計學(xué)方法的基礎(chǔ)上，考慮因列車多重減震系統(tǒng)而導(dǎo)致軌道不平順對車體垂直振動激勵的延遲效應(yīng)，造成車體垂直加速度在距離軸上滯后的問題，基于滯后效應(yīng)，分析軌道不平順對車體垂直振動的影響。

建立了模型效果高達(dá)0.940的多元線性回歸模型，較好地定量刻畫了車體水平加速度和軌道不平順指標(biāo)之間的內(nèi)在規(guī)律，并給出了模型擬合方程。根據(jù)方程可以評估軌道不平順各指標(biāo)對車體水平方向的振動的影響力度。

車體垂直加速度和軌道不平順指標(biāo)間的常規(guī)回歸模型效果不理想，把定滯后量加入模型中也不能使模型效果得到改善。結(jié)合車速對車體振動延遲效應(yīng)的影響，建立與車速相關(guān)的變滯后回歸模型。

與常規(guī)回歸模型相比，變滯后量回歸模型的模型擬合效果有了較大提高，但仍不盡如人意，這與算法中設(shè)定車速和滯后量的關(guān)系模型方程系數(shù)的初值有較大關(guān)系。

繪制了變滯后的垂直加速度與其擬合值之間的對比線圖。結(jié)果表明：滯后的垂直加速度與其估計值的變化趨勢基本一致，區(qū)域內(nèi)兩者的極大值和極小值基本同步。說明變滯后回歸模型的擬合有一定的實(shí)際意義與參考價值。

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