“圓錐的體積”教學(xué)研究報告

一、問題

在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，圓錐的體積被編排在六年級下冊第三單元，緊接圓柱的認(rèn)識這一知識內(nèi)容。對這一內(nèi)容，教材先提出“我們已經(jīng)會計(jì)算圓柱的體積，如何計(jì)算圓錐的體積”這個問題，通過兩個孩子的對話引導(dǎo)學(xué)生建立圓柱與圓錐的關(guān)系，并設(shè)計(jì)了“探究一下圓錐與圓柱體積之間的關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)的具體操作流程是：各組準(zhǔn)備好等底等高的圓柱、圓錐形容器，用倒沙子或水的方法發(fā)現(xiàn)兩者之間的體積關(guān)系，得出圓錐的體積公式。

誠然，教材這種“提出問題→建立關(guān)系→動手操作”的整體設(shè)計(jì)是非常系統(tǒng)、完整的。但是仔細(xì)思考后我們不難發(fā)現(xiàn)：教材對實(shí)驗(yàn)探究的開放性指導(dǎo)不夠。要探求圓錐的體積，圓柱有著非常明顯的先入為主的味道，兩者體積關(guān)系的建立、實(shí)驗(yàn)器材的選用、實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)似乎都來源于教師（教材），缺少學(xué)生溫故知新、甄別遴選的探索過程，到最后，學(xué)生不僅對圓錐體積的認(rèn)識缺乏深度，在探究能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)上，效果也是大打折扣。對于學(xué)生來說，無論是圓柱的被選中還是實(shí)驗(yàn)器具的優(yōu)化，以及倒水倒沙的實(shí)驗(yàn)方法，都需要在對圓錐體積的探究過程中遇到問題而逐步產(chǎn)生?；谶@一認(rèn)識和對學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的尊重，我們工作室對這一內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行了研究，試圖通過這一個課例研究“用操作獲取結(jié)論”的這一類課例，盡可能多地發(fā)揮這類教材所承載的教育功能，以培養(yǎng)學(xué)生的理性精神。

（一）教學(xué)實(shí)踐中的問題

（二）解決問題的策略

弗賴登塔爾說，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造”，也就是說由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作。那么，教師如何引導(dǎo)學(xué)生通過自身的體驗(yàn)對“如果當(dāng)時的人們有幸具備了我們現(xiàn)在已掌握的知識，他們是怎樣把那些知識創(chuàng)造出來的”這一問題作出回答呢？

1.設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的問題

好問題能將學(xué)生的思維聚焦在探究方法的思考上，使學(xué)生興趣盎然地投入到學(xué)習(xí)活動中，以求在掌握基礎(chǔ)知識的同時，思考能力、主動獲取知識的能力以及探索合作精神等都得到較好的發(fā)展。在研究圓錐體積公式時，教師可以設(shè)計(jì)問題：“今天我們要研究圓錐的體積，按照我們以前研究圖形面積和體積的方法，你覺得應(yīng)該怎樣研究圓錐的體積呢？”引發(fā)學(xué)生類比遷移。

2.設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的活動

教師通過問題激活學(xué)生關(guān)于轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)，采用“面對新問題→聯(lián)想舊知識→尋找新舊知識之間的聯(lián)系→用舊知識解決新問題”的解決策略，學(xué)生親歷“選擇關(guān)系→猜想關(guān)系→驗(yàn)證關(guān)系→運(yùn)用關(guān)系”的全過程，學(xué)會用聯(lián)系的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

（1）選擇關(guān)系。學(xué)生在已有的圖形知識里搜索與圓錐有關(guān)的立體圖形時，會很自然地聯(lián)想到圓柱，“都有圓形底面”是產(chǎn)生聯(lián)想的重要依據(jù)。這時，教師不要急于給出等底等高的一組圓錐和圓柱作為實(shí)驗(yàn)器具，可設(shè)計(jì)一組與圓錐只等底、或只等高、或等底又等高、或不等底又不等高的圓柱供學(xué)生選擇。這個選擇的過程既是思辨的過程，也是理性分析的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。

（2）猜想關(guān)系。猜想實(shí)際上是學(xué)生對圓柱和圓錐關(guān)系的進(jìn)一步思考。這種猜想源于學(xué)生的幾何直觀與自身經(jīng)驗(yàn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

二、實(shí)踐

基于“尋找關(guān)系，找準(zhǔn)聯(lián)系”的學(xué)習(xí)理念，我們給學(xué)生提供了開放的問題情境，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的自然路徑，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的方法，經(jīng)歷公式產(chǎn)生的過程。

教學(xué)過程：

師：（出示一個圓錐）今天這節(jié)課，我們將研究圓錐的體積。（板書課題）關(guān)于幾何圖形，我們研究過平面圖形的面積以及立體圖形如長方體、正方體和圓柱的體積，回顧一下我們的研究方法，你覺得我們可以怎樣研究圓錐的體積呢？

生1：一般會轉(zhuǎn)化成我們熟悉的圖形。

師：有道理！之前我們學(xué)習(xí)的圖形大多都是轉(zhuǎn)化成熟悉的圖形進(jìn)行推導(dǎo)的，那你們大膽地猜想一下，研究圓錐的體積，可以轉(zhuǎn)化成哪個立體圖形呢？

生2：應(yīng)該是圓柱。

師：為什么不轉(zhuǎn)化成長方體或正方體呢？

生2：圓錐和圓柱長得更像，底面都是圓形。

師：（出示圖片）這是我們要研究的圓錐，這些圓柱如果要你來挑，你會挑哪一個圓柱來研究呢？先獨(dú)立思考，然后在小組內(nèi)交流你的看法。

生3：我們覺得選①號圓柱比較靠譜，這兩個圖形的底面一樣大。

生4：我們覺得選②號圓柱也有道理，底面一樣大，高不同，說不定也有關(guān)系呢。

生5：我們覺得選③號圓柱也不錯，圓柱的體積是底面積乘高，要么底相同，看高的變化與體積有沒有關(guān)系；要么高相同，看底面積的變化與體積有沒有關(guān)系。

生6：可是③號圓柱的底面沒有數(shù)據(jù)，沒辦法研究啊。

師：真好！還知道用控制一個量不變的方法來研究?？上?，③號圓柱的底面半徑?jīng)]有提供。那為什么大家不選④號圓柱和⑤號圓柱呢？

生7：與要研究的圓錐相比，它們的底不一樣，高也不一樣，不太方便研究。

師：你們思考問題越來越有數(shù)學(xué)家的范了，了不起?。∧敲?，你們選擇的圓柱與圓錐的體積可能存在怎樣的關(guān)系呢？憑直覺猜猜看。

生8：圓錐的體積可能是①號圓柱體積的一半。

師：為什么？你能說說理由嗎？

生8：我想把圓錐放到①號圓柱里面去，圓錐的底面應(yīng)該恰好占滿圓柱的底面，高與圓柱一樣；如果把圓錐倒過來再放進(jìn)去一次，結(jié)果是一樣的，所以我猜想圓錐占圓柱體積的一半。

生9：老師，我有不同意見，我認(rèn)為圓錐體積不是①號圓柱體積的一半，應(yīng)該比一半小一些。

師：噢？你是怎么想的呢？

師：很遺憾，老師只找到了這樣一套實(shí)驗(yàn)器材，（展示模型：等底等高的圓柱和圓錐）怎么辦？

生14：先通過實(shí)驗(yàn)找出這兩個物體之間的體積關(guān)系。

師：說說實(shí)驗(yàn)設(shè)想。

生14：既然是算體積之間的關(guān)系，我們可以用盛水的方法測量出這兩個物體的容積關(guān)系。

生15：用圓柱形容器裝滿水，然后往圓錐形容器里倒，看看能倒?jié)M幾次。

師：分組實(shí)驗(yàn)試試看。（生動手操作）

生16：真的能倒?jié)M3次，說明圓柱的體積是等底等高圓錐體積的3倍。

師：有沒有人先把圓錐裝滿水往圓柱里倒的呀？

生17：肯定要倒3次才能裝滿圓柱。

師：如果只倒1次呢？

生動手操作，發(fā)現(xiàn)如果只倒1次，這時形成的圓柱其實(shí)就是剛才的②號圓柱。

師：測量一下，這時圓柱的高度與圓錐的高度有什么關(guān)系？

生18：圓錐的高度是圓柱高度的3倍。

師：看來，這個②號圓柱和圓錐的關(guān)系不一般。從這個實(shí)驗(yàn)中，你又獲得了什么信息呢？

設(shè)計(jì)意圖綜述：圓錐體積的計(jì)算公式簡單明了，如何讓學(xué)生在獲得這個公式的同時獲得數(shù)學(xué)思想與方法，體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣呢？荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說：“沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子公開發(fā)表出來。一個問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗。”那圓錐體積公式的推導(dǎo)過程設(shè)計(jì)成什么樣子，才能讓學(xué)生體驗(yàn)到它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子呢？

1.自主選擇研究對象

圓錐與哪個立體圖形關(guān)系最緊密？教學(xué)中教師充分尊重學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，放手讓學(xué)生于聯(lián)系中尋找問題的切入點(diǎn)。在這個過程中，學(xué)生不僅培養(yǎng)了空間觀念，還積累了遇到問題時主動把未知轉(zhuǎn)化為已知的重要經(jīng)驗(yàn)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)上很多重要的發(fā)現(xiàn)就是從這種主動建立關(guān)系開始的。

2.自主設(shè)計(jì)操作實(shí)驗(yàn)

本節(jié)課的設(shè)計(jì)突出了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性。教學(xué)中，教師沒有直接給出實(shí)驗(yàn)操作需要的器材，而是讓學(xué)生自主選擇。學(xué)生于思辨中逐步獲得理性分析的經(jīng)驗(yàn)，思維的深刻性也因此得到提升。

3.自主發(fā)現(xiàn)體積公式

在學(xué)生看來，公式的得出是一件很高深的事情，是只有數(shù)學(xué)家才能完成的重任。但在本節(jié)課中，教師大膽地鼓勵學(xué)生發(fā)明公式，并主動拋出幾個形式不同的公式，要求把公式這個“數(shù)”與圓錐這個“形”結(jié)合起來思考，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和發(fā)散思維能力。學(xué)生對圓錐體積的認(rèn)識也不再浮于表面，更不是孤立的，而是動態(tài)的、立體的、有層次的，這樣獲取的知識才有更好的再生性。

三、討論

人教版數(shù)學(xué)教材體系中，以公式形式呈現(xiàn)結(jié)論的知識點(diǎn)不多。在這為數(shù)不多的結(jié)論性知識的學(xué)習(xí)過程中，如何把結(jié)論還原成它最初發(fā)現(xiàn)時的本來面貌，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考、積極探究所獲得的學(xué)習(xí)樂趣，并為以后的學(xué)習(xí)積累活動經(jīng)驗(yàn)，都是值得我們好好花功夫去研究的。而這些研究本身很考驗(yàn)一線老師對這個問題最本質(zhì)的認(rèn)識。對于教材編寫者，有沒有可能在編制教材的時候，呈現(xiàn)一個過程相對完整的研究性學(xué)習(xí)范例呢？【此文系湖南省教育科學(xué)規(guī)劃“十三五”課題“小學(xué)數(shù)學(xué)教師核心素養(yǎng)和能力建設(shè)研究”（課題批準(zhǔn)號：XJK17BZXX023）階段性研究成果】

（執(zhí)筆：鄧求平、楊枚、劉碩鵬、謝加文、王麗燕、徐旺、李闖）