“數(shù)學遇見春天”
——全景式數(shù)學教育之跨學科整合課“100以內(nèi)加減法的復習”

北京亦莊實驗小學(100000)

張宏偉(特級教師)

2017年春，和朋友小聚茶室，邊品春芽，邊倚窗賞綠柳春花。不知怎的，幾個朋友忽地就聊到了斐波那契數(shù)列(又稱黃金分割數(shù)列，指的是0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……這樣一個數(shù)列)。斐波那契數(shù)列聽起來高深莫測，實則為一組符合一定規(guī)律的數(shù)字。也許是師傅那句話“數(shù)學老師要時刻用數(shù)學的眼睛看待一切，時刻思量如何整合出更具孩子氣、更飽滿有趣的綜合課程”引發(fā)了我的思考：“這不正是學生認識規(guī)律、認識自然、復習100以內(nèi)加減法最好的課程資源嗎？”于是，“數(shù)學遇見春天”微項目課程如春花般綻放開來。在這個萬物復蘇的季節(jié)，我和學生走近自然，遇見了春天，遇見了科學，遇見了數(shù)學……給他們的童年留下了一份美麗、神奇、難忘的記憶。

游學前——浪漫感知斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列在人類發(fā)展史上有著舉足輕重的作用，它因與自然界有諸多的聯(lián)系而被稱作為神奇數(shù)列。這種具有遞推特征的數(shù)列在植物界中的體現(xiàn)最為明顯，如自然界中大部分花的花瓣數(shù)量就是斐波那契數(shù)。因此，“數(shù)學遇見春天”的微項目課程就從數(shù)花瓣開始，讓一年級學生發(fā)現(xiàn)大自然中很多事物都是按照一定的規(guī)律生長的，從中感受到大自然和數(shù)學的神奇，激發(fā)他們對數(shù)學的熱愛之情。

正值春暖花開，級部安排去世界花卉大觀園進行游學活動。根據(jù)一年級學生的心理特點和認知規(guī)律，游學前一天的晨誦時間，我?guī)ьI學生數(shù)不同花的花瓣。低學段學生看到美好的事物都很興奮，有很高的興致數(shù)數(shù)。教學過程如下：

師：現(xiàn)在各種花都開了，今天看看哪位“小蝌蚪”認識花的種類多。(話音剛落，學生眼里充滿期待)誰見過一片花瓣的花？(學生一時想不起來，于是師出示馬蹄蓮的圖片，學生驚嘆世界上還有這么美麗的花)

師：你們猜，我下面會讓你們說一說幾片花瓣的花？

生：1片花瓣的花，2片花瓣的花，4片花瓣的花……(學生根據(jù)自己的經(jīng)驗爭論不休)

師：你們的思考都很棒！接下來，我的問題是你能再說出一種一片花瓣的花嗎？(在學生的期待中，師順勢出示花燭和2片花瓣的虎刺梅的圖片)

師：僅僅看數(shù)字1、1、2，能猜測這些花可能符合什么規(guī)律嗎？

生1：1+1=2，還不能確定。

(師繼續(xù)出示3片花瓣的鐵蘭)

生2：老師，我猜你下一步會出示5片花瓣的花。

師：為什么會這么認為？

生2：因為這幾個數(shù)字是有規(guī)律的，如1+1=2、1+2=3，把相鄰的兩個數(shù)加起來就是下一個數(shù)字，所以我猜測你下一步會出示花瓣數(shù)量是2+3=5(片)的花。

師：數(shù)學學習需要進行猜想，但猜想后必須要驗證，驗證之后才能見分曉。(師點擊PPT，畫面中出現(xiàn)三種5片花瓣的花，分別是洋紫荊、黃蟬、蝴蝶蘭，教室里頓時沸騰了！學生一方面驚嘆于花的美麗，另一方面猜想正確的喜悅大大鼓舞了他們)

生3：下面要出示8片花瓣的花，因為3+5=8。

(師出示8片花瓣的格?；?

……

學生在這個過程中已經(jīng)找到了規(guī)律，盡管有些隱晦，不似間隔相同數(shù)字那樣清晰，但他們的思維已經(jīng)被激活。緊接著，我出示13片花瓣的雛菊和21片花瓣的紫菀給學生驗證，學生熱情不減。然后我不再出示花的圖片，而是讓學生運用規(guī)律計算出將要出現(xiàn)的數(shù)字，依次為1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89。這樣，我在輕松愉悅的氛圍里帶領學生復習100以內(nèi)的加法，學生興致勃勃。

計算至此，我問：“算到89，還能繼續(xù)嗎？”一學生說：“后面還能不停地寫出很多個數(shù)，寫到我八十歲都寫不完！”這個學生的回答得到了大家的一致認同，但大家也被他“寫到八十歲都寫不完”的話逗樂了。提出這個問題，我的目的是讓學生嘗試理解數(shù)列的無窮性。在這個過程中，我發(fā)現(xiàn)一年級學生雖然不能用精準的數(shù)學語言描述數(shù)列的無窮性，但已經(jīng)能夠在找規(guī)律過程中體會并理解數(shù)列的無窮性。

為了讓學生知道具有一定規(guī)律的一組數(shù)字叫數(shù)列，我問學生：“如果很多數(shù)字按照規(guī)律排成一列，應該叫什么呢？”學生猜測：“數(shù)字列?！蔽衣牶笙渤鐾?，引導學生改進名字：“如果去掉一個不太重要的字的話，你會去掉哪個字？”一生思考后回答：“我覺得‘字’容易讓人想起漢字，跟數(shù)學關系不大，可以去掉?！薄m然一年級學生的認知水平有限，但不影響他們從字面上進行簡單、合理的判斷，而且學生的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造也遵循了人類最原始的思維路徑。我進一步告訴學生：“這一列數(shù)字是由一個叫斐波那契的人發(fā)現(xiàn)的，所以它叫斐波那契數(shù)列?！薄?，斐波那契數(shù)列的第一次正式出現(xiàn)是在人教版高中數(shù)學必修五學習數(shù)列概念后的課后閱讀部分。在這個發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中，學生理解“1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89”這一列數(shù)字不是隨便的數(shù)字，而是具有一定的規(guī)律，蘊含了與數(shù)列相關的函數(shù)思想。這樣的認知過程與學生已有的知識經(jīng)驗產(chǎn)生“化學反應”，激起學生的情感共鳴，引發(fā)他們對數(shù)學的熱愛以及對自然界的驚嘆，發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美。

游學中——實踐探索斐波那契數(shù)列

1.戶外滲透數(shù)學思想

第二天去世界花卉大觀園進行游學活動，我專門設計了游學單(如下圖)，以期培養(yǎng)學生記錄、發(fā)現(xiàn)、分析等方面的能力。同時，讓課堂上學習的內(nèi)容再回歸到大自然中，學以致用，使學生進一步感受到數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)自然的“密碼”(萬物皆數(shù)學)，體驗到數(shù)學的應用價值。

學生需要記錄的內(nèi)容包括花的名稱、顏色、花香程度、花瓣數(shù)量、花蕊數(shù)量等，需要解決的問題包括比較問題、相差問題、分類問題等。這樣不著痕跡地把數(shù)數(shù)、統(tǒng)計、比較、加減法運算等內(nèi)容融入游學活動中，既鞏固了本階段學生所學的知識，又提高了學生學習數(shù)學的興趣。

游學單A面

游學單B面

2.延伸科學知識

斐波那契數(shù)列在自然界中的體現(xiàn)遠不止花瓣數(shù)量，我抓住游學活動這個契機，引導學生通過親身體驗繼續(xù)發(fā)現(xiàn)、探究，開拓知識視野，使他們體會到數(shù)學的神奇和無處不在。

游學活動時，我結合真實生長的樹進行現(xiàn)場授課：“一個新發(fā)的樹枝在第一階段主要吸收養(yǎng)分，不分叉，樹枝數(shù)量為1；第二階段繼續(xù)汲取營養(yǎng)生長，為分叉做好準備，但樹枝數(shù)量還是1；第三階段，生長時機成熟，分叉，樹枝數(shù)量是2；第四階段，老樹枝分叉，上一階段新發(fā)的樹枝繼續(xù)生長不分叉，樹枝數(shù)量為3；依次類推，樹枝數(shù)量依次為1、1、2、3、5、8、13……符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律?！?/p>

此外，我還讓學生找到松果種子，數(shù)它的螺旋排列，發(fā)現(xiàn)順時針數(shù)是8條，逆時針數(shù)是13條，為斐波那契數(shù)；菜花表面排列的螺旋線，順時針數(shù)是5條，逆時針數(shù)是8條，為斐波那契數(shù)；還有向日葵的螺旋線也是斐波那契數(shù)……

游學歸來，我又在課間補充了經(jīng)典的“兔子問題”：“1對小兔子→1對大兔子→1對大兔子+1對小兔子(共2對兔子)→2對大兔子+1對小兔子(共3對兔子)……”這個過程以動態(tài)PPT的形式展示，學生在“數(shù)數(shù)→猜測→數(shù)數(shù)”的過程中體會到數(shù)學的有趣。令我欣喜的是，故事還沒講完，就有學生聯(lián)想到樹枝分叉的情境，解釋說“小兔子需要生長一個階段之后再生小兔子”。學生把“樹枝分叉”和“兔生兔”兩個不同的例子聯(lián)系起來，說明他們既理解了兩者之間的共性，又體會到萬物生長的相似性以及數(shù)學解題模型之間的互通互聯(lián)。

游學后——初步精致化斐波那契數(shù)列

1.課堂的數(shù)學化

游學歸來，學生依舊沉浸在數(shù)花瓣的氛圍之中，我計劃用花瓣數(shù)量繼續(xù)進行單元復習。課堂上，我新建了一個空白的Excel表格，首先做了表頭，有“花名”“花瓣數(shù)量”兩項，然后在“花名”下面依次填入上一階段認識的花。沒等我輸入完，大部分學生都猜到要填入的花瓣數(shù)量。接著，我故弄玄虛，說要做一件大事，學生都靜靜地望著我。我熟練地“插入”柱狀圖，通過剛剛完成的數(shù)據(jù)表格，形成如下的柱狀圖。

符合斐波那契數(shù)列規(guī)律的花瓣數(shù)量圖

師：這叫柱狀圖(全景式數(shù)學教育之“浪漫”認識)，即用小柱子的長度表示數(shù)量?，F(xiàn)在大家猜一猜，為什么有高矮不同的柱子呢？

[為什么要引入柱狀圖？在進行比較的時候，柱狀圖具有較強的直觀性，能幫助學生建立更具體、更形象的認知系統(tǒng)。]

生1：高矮不同的柱子跟花瓣的數(shù)量有關系，也就是說花瓣的數(shù)量越多，柱子越高，如馬蹄蓮和紫菀的柱子高度就相差很多。

生2：每個柱子的頭上都頂著花瓣數(shù)量呢！

師：從這幅圖中，你可以提出什么數(shù)學問題？(一共有八種花瓣的數(shù)據(jù)，給學生提供了充足的素材去提出數(shù)學問題)

生3：格桑花和雛菊的花瓣一共有多少片？這是一個用加法解決的問題。

(其他學生的思維被激活了，連續(xù)提出幾個用加法解決的問題，包括三個數(shù)相加、四個數(shù)相加、五個數(shù)相加等一系列的連加問題)

師：剛才提出來的問題都是用加法解決的問題，根據(jù)這幅柱狀圖，還能不能提出別的類型的問題呢？

生4：紫菀比蝴蝶蘭多多少片花瓣？這是一個用減法解決的問題。

師：請大家思考，這個問題除了可以這樣問外，還可以怎樣問呢？

生5：還可以問“蝴蝶蘭比紫菀少多少片花瓣”“紫菀和蝴蝶蘭相差多少片花瓣”，這三種問法都可以用同一個算式21-5=16解答。

……

復習課上，學生這樣的聯(lián)想能力讓我很興奮。緊接著，我又讓學生分別用這三種問法提問，以鞏固學生對這一知識點的掌握。就這樣，在輕松、愉悅的氛圍中，學生以同一個數(shù)學算式用三種方法提數(shù)學問題的方式“攻克”了本課的教學難點，且“提出數(shù)學問題并解答”本身已經(jīng)高于“會做題”的認知水平。

師：由“……比……多多少”和“……比……少多少”這兩類問題，你還可以想到其他的問題嗎？

生6：看著這幅圖中高高低低的柱子，我想起第一單元“學說話”時“多得多”“多一些”“少得多”“少一些”等問題。如紫菀的花瓣數(shù)量比馬蹄蓮多得多，蝴蝶蘭的花瓣數(shù)量比鐵蘭多一些，花燭的花瓣數(shù)量比紫菀少得多，刺虎梅的花瓣數(shù)量比鐵蘭少一些。

……

然后我讓學生以小組合作的方式，用“多得多”“多一些”“少得多”“少一些”四個詞給同桌說四句話，以鞏固學生對這一內(nèi)容的學習。至此，提問環(huán)節(jié)結束，整個過程，我以思維導圖(如下)的形式記錄下學生的所有回答并分類。這樣教學，使學生系統(tǒng)、全面地復習并鞏固了100以內(nèi)各種類型加法、減法解決問題的題目，以及相應進位加法、退位減法的計算問題，這些問題包含甚至超越了一年級解決問題的所有類型。同時，我在教學中滲透了找規(guī)律、統(tǒng)計等知識，引導學生從整體的角度溝通了知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

思維導圖

2.課后的拓展與延伸

基于課上整體的教學內(nèi)容，我布置了兩項趣味性課后作業(yè)，以鞏固學生課堂所學的知識。

家庭作業(yè)(1)：運用斐波那契數(shù)列，破解老師家的14位wifi密碼。

第二天課堂上，學生都興奮地表示已經(jīng)破解我家wifi的密碼——11235813213455，還有的學生表示自己家的wifi密碼已經(jīng)改為斐波那契數(shù)列，原因是家長覺得這一列數(shù)字很有意思，而且可以作為孩子學習的一個紀念。

同樣是加法練習，變換形式會給學生帶來不一樣的情感體驗，使他們體會到加法并不僅僅可以用來解決“一共有多少”的問題，還有很多有意思的應用。這個做作業(yè)的過程，拓展了學生的數(shù)學認知范疇，并在學生的腦海中埋下數(shù)學有用、數(shù)學好玩的種子。

家庭作業(yè)(2)：用“畫正法”統(tǒng)計家里桌子、碗、筷子的數(shù)量，并比較誰的數(shù)量多、誰的數(shù)量少，最后列式計算相差多少。

這一作業(yè)與實際生活緊密聯(lián)系，看似簡單，只是數(shù)數(shù)桌子、碗、筷子的數(shù)量，實則融合了統(tǒng)計、比較、減法等知識，旨在提高學生解決實際問題的能力。

這個春天，我?guī)ьI學生在數(shù)學的世界里“花式數(shù)數(shù)”——數(shù)花瓣、數(shù)樹枝、數(shù)螺旋線、數(shù)餐具……實現(xiàn)了由“實物→圖形→數(shù)字”的逐步抽象過程，引導學生復習了100以內(nèi)的加減法，使學生不僅學會發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出數(shù)學問題，還認識了奇妙的自然界。這種趣味性的學習，使學生在知識學習和情趣培養(yǎng)方面都有很大的發(fā)展，可謂“居室內(nèi)，文理兼容，內(nèi)外兼修，閱大千世界”。在這個過程中，學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學那么有用、那么神奇、那么好玩、那么有意思！

我和我的“小蝌蚪們”永遠不會忘記，一年級我們循著季節(jié)時令，一起在美麗的大自然里吻醒了爛漫的春花，吻醒了冰冷的數(shù)學，吻醒了我們內(nèi)心深處等待開啟的自己……