中學(xué)常見絕對值問題解法的探析

（岳陽市第七中學(xué) 湖南岳陽 414000）

關(guān)于中學(xué)常見的絕對值問題，包括絕對值定義運用問題、一元一次絕對值不等式問題、一次絕對值函數(shù)問題、一元一次絕對值方程問題等，針對這些問題，本文分別給出了對應(yīng)問題的解法，同時為便于理解，本文進行了例題分析。因此，本文對中學(xué)常見絕對值問題解法進行深入研究，具有重要意義。[1]

一、絕對值的幾何意義

IaI的幾何意義為：在數(shù)軸中，表示原點O和點a之間的距離。Ia-bI的幾何意義為：在數(shù)軸中，點a和點b之間的距離。針對一些問題，如果采用絕對值的幾何意義來進行解決，更為簡單、直觀，能夠快速解決問題。[2]

二、一元一次絕對值方程的解法

（1）針對Ia+bI=c（a≠0）型的絕對值方程，其解法為：

②當(dāng)c＜0時，將絕對值的非負性作為依據(jù)，則可以獲知該方程是無解的；

②當(dāng)c=0時，原方程變?yōu)镮ax+bI=0，即ax+b=0，則

③當(dāng)c＞0時，原方程變?yōu)閍x+b=c或ax+b=-c，

解得或者。

例1：求解I2x+3I=5

解：根據(jù)（1）可得，由于5＞0，則原方程可以變形為2x+3=5或者2x+3=-5，解得x=1或者x=-4。

（2）針對Iax+bI=cx+d（ac≠0）型的絕對值方程，其解法為：

①將絕對值的非負性作為主要依據(jù)，可得cx+d≥0，進而能夠?qū)的取值范圍計算出來；

②將絕對值的定義作為主要依據(jù)，能夠?qū)⒃匠踢M行轉(zhuǎn)型，變?yōu)閮蓚€方程，即ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）；

③對方程ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）分別進行求解；

④將計算出來的解，代入cx+d≧0中，對其進行檢驗，將不合條件的解進行舍去。

例2：解方程：I4x+3I=2x+9

解：根據(jù)（2）可得，將絕對值的定義作為主要依據(jù)，對原方程進行變型，變?yōu)閮蓚€方程：4x+3=2x+9和4x+3=-（2x+9）；分別解得x=3和x=-2；通過檢驗后，其結(jié)果都是成立的。

（3）針對Iax+b=Icx+dI（ac≠0）型的絕對值方程，其解法為：

①將絕對值的定義作為主要依據(jù)，對原方程進行變型，變?yōu)閍x+b=cx+d或者ax+b=-（cx+d）；

②對方程ax+b=cx+d和ax+b=-（cx+d）分別進行求解。

例3：求解I2x-1I=I3x+1I。

解：根據(jù)（3）可得，將絕對值的定義作為主要依據(jù)，對原方程進行變型，變?yōu)閮蓚€方程，即：2x-1=3x+1或者2x-1=-（3x+1）I3x+1I；分別解得x=-2和x=0。

（4）針對Ix-aI+Ix-bI=c（a＜b）型的絕對值方程，其解法為：

①將絕對值的幾何意義作為主要一種，可得Ix-aI+Ix-bI≧Ia-bI；

②當(dāng)Ia-bI=c時，方程的解為a≤x≤b；當(dāng)Ia-bI＞c時，此時方程是沒有解的；

當(dāng)Ia-bI＜c時，具有兩種情況，即：

①當(dāng)x＞b時，原方程的解為

②當(dāng)x＜a時，原方程的解為

例4：求解Ix-1I+Ix-3I=4+-=

解：根據(jù)（4）可得，I2-1I＜4能夠劃分為兩種情況，即：

①當(dāng)x＜1時，原方程的解為x=0；②當(dāng)x＞3時，原方程的解為x=4。

三、一元一次絕對值不等式的解法

將絕對值符號去掉，使不等式轉(zhuǎn)型為沒有絕對值符號的一般不等式，然后，和對不等式組或者一般不等式的解法一樣，對以上不等式進行求解，這就是對含有絕對值符號的不等式求解的主要思路。對絕對值不等式進行求解，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵。將絕對值的意義作為主要依據(jù)，對絕對值不等式進行有效轉(zhuǎn)化，使其變?yōu)橐淮尾坏仁健?/p>

（1）針對不等式IxI＜a（a＞0），其解集為｛xI-a＜x＜a｝；[3]

不等式IxI＞a（a＞0），其解集為｛xIx＞a或x＜-a｝。

將不等式IxI＜c和IxI＞c（c＞0）中的x進行替換，使其變?yōu)閍x＋b，便能夠獲得Iax+bI＞c（c＞0）和Iax+bI＜c（c＞0）型的不等式的解法。

（2）Iax+bI＞c（c＞0）的解法為：首先對不等式組ax+b＞c或者ax+b＜-c進行求解，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)，對原不等式的解集進行求解。

Iax+bI＜c（c＞0）的具體解法為：首先對不等式組-c＜ax+b＜c進行求解，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)，對原不等式的解集進行求解。

例6：對I2x-3I＞4進行求解。

解：根據(jù)I2x-3I＞4，可得2x-3＞4或者2x-3＜-4，

然后得到

因此，原不等式解集為

（3）在對Iax+bI＞c（c＞0）與Iax+bI＜c（c＞0）型不等式進行求解時，必須要注

意a是正數(shù)還是負數(shù)。當(dāng)a是負數(shù)時，可先將a變?yōu)檎龜?shù)以后，再進行求解。

例7：求解I1-2xI＜5

根據(jù)題意得，-5＜1-2x＜5，則-2＜x＜3。

因此，原不等式的解集是｛x|-5/2＜x＜11/2｝.

（5）含由絕對值的雙向不等式的解法：將絕對值號去掉是關(guān)鍵。

例8：求解2＜I2x-5I≤7

（6）對含有多重絕對值符號的不等式進行求解時，可由外及內(nèi)的順序進行求解，對絕對值不等式類型的解題方法進行不斷重復(fù)運用，將絕對值符號去掉，對其進行一一化解.

例9：求解Ix-I2x+1II＞1

解：根據(jù)Ix-I2x+1II＞1可得，x-I2x+1I＞1或者x-I2x+1I＜-1

（1）根據(jù)x-I2x+1I＞1可得，x-1＞I2x+1I

（2）根據(jù)x-I2x+1I＜-1可得，x+1＜I2x+1I

四、一次絕對值函數(shù)的求解方法

在中學(xué)階段，一次絕對值函數(shù)問題大致可以劃分為4種類型，即：其一，函數(shù)圖象；其二，解析式；其三，值域；其四，定義域。經(jīng)過分類討論后，將絕對值號去除，這是一次絕對值函數(shù)問題求解的關(guān)鍵。其中，令絕對值內(nèi)的式子為0是分類標(biāo)準(zhǔn)，進而能夠?qū)?shù)軸劃分為若干段，便能夠進行討論了，然后將函數(shù)解析式寫出來，對相應(yīng)函數(shù)圖像進行畫出來，則問題便會變得清晰、明朗。

例10：求解y=Ix+2I-Ix-5I，同時將定義域和值域?qū)懗鰜?。[4]

解：y=Ix+2I-Ix-5I，先分別令x+2=0，x-5=0，可得x=-2，x=5。此時，把數(shù)軸劃分為3大段，即：①當(dāng)x＜-2時，x+2＜0，x-5＜0，因此y=-（x+2）-（-（x-5））=-7；

②當(dāng)-2≤x≤5時，x+2＞0，x-5＜0，則y=（x+2）+（x-5））=2x-3；

③當(dāng)x＞5時，x+2＞0，x-5＞0，則y=（x+2）-（x-5））=7;

其中，最小值是-7，最大值是7，由此可得，該函數(shù)的值域是[-7，7]，定義域是R。

例11：將函數(shù)y=Ix-5I+Ix+3I的圖像畫法指出來。

解：①將絕對值符號去除，求出分界點：x-5=0，x=5；x+3=0，x=-3，則分界點就是-3和5；

②根據(jù)不同情況進行討論：當(dāng)x≤-3時，y=Ix-5I+Ix+3I=5-x-x-3=2-2x;當(dāng)-3＜x≤5時，y=Ix-5I+Ix+3I=5-x+x+3=8； 當(dāng)x＞5時，y=Ix-5I+Ix+3I=x-5+x-3=2x-8。

③根據(jù)上文3個區(qū)間所對應(yīng)的函數(shù)解析式，便能夠?qū)в薪^對值符號的函數(shù)圖像畫出來了。

[1]夏福新.中學(xué)數(shù)學(xué)實踐教學(xué)初探[J].新課程(中學(xué)).2017(01).

[2]曲永安.淺論中學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)[J].新課程學(xué)習(xí)(下).2017(04).

[3]劉士斌,楊志華.中學(xué)數(shù)學(xué)“四步試卷講評模式”課例分析[J].時代教育.2017(18).

[4]包麗鷗.基于“四創(chuàng)”教學(xué)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J].創(chuàng)新時代.2017(09).