基于偽譜法的導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)最優(yōu)控制*

馬 駿，馬清華，王 根，苗昊春

(西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，西安 710065)

0 引言

導(dǎo)彈編隊是未來導(dǎo)彈武器發(fā)展的重要方向，指多枚導(dǎo)彈以一定的編隊構(gòu)型協(xié)同作戰(zhàn)，編隊中各枚導(dǎo)彈之間共享戰(zhàn)場信息(目標(biāo)信息、環(huán)境信息等)，從而最大限度的提升編隊整體的作戰(zhàn)效能和生存能力。導(dǎo)彈編隊在飛行過程中，各枚導(dǎo)彈需要根據(jù)作戰(zhàn)任務(wù)的需求進(jìn)行編隊隊形的重構(gòu)，例如變換編隊隊形以避免戰(zhàn)場環(huán)境威脅或彌補編隊中部分導(dǎo)彈被擊落導(dǎo)致的編隊作戰(zhàn)效能損失。因此，導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)控制問題的研究具有重要的意義。

導(dǎo)彈編隊的相關(guān)研究中，韋常柱、郭繼峰等人建立了單領(lǐng)彈集中式導(dǎo)彈編隊的相對運動模型，并采用線性二次型最優(yōu)控制理論設(shè)計了一種編隊隊形保持控制器[1]；張磊、方洋旺等人采用基于穩(wěn)態(tài)解的利卡提矩陣微分方程求解方法解決最優(yōu)控制問題，設(shè)計了從彈的三維編隊控制器[2]；馬培蓓，張友安等人在文獻(xiàn)[3]中針對面向編隊飛行的從彈控制律和視線算法進(jìn)行了研究，設(shè)計了三維條件下基于從彈的穩(wěn)定的編隊控制器;文獻(xiàn)[4]中提出了改進(jìn)的領(lǐng)彈-跟隨彈編隊模式,結(jié)合多級分布式控制策略,解決了領(lǐng)彈失效時隊形無法保持的問題;王曉芳等基于滑模變結(jié)構(gòu)理論設(shè)計了導(dǎo)彈編隊隊形控制律[5]。

文中針對主從式導(dǎo)彈編隊的隊形重構(gòu)控制問題展開研究。首先在合理假設(shè)條件下建立了導(dǎo)彈編隊的運動學(xué)模型，然后對導(dǎo)彈編隊的隊形重構(gòu)問題以及hp-自適應(yīng)偽譜法求解最優(yōu)控制問題的基本原理進(jìn)行了描述，設(shè)計了一種基于偽譜法的導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)最優(yōu)控制方法；進(jìn)而通過仿真算例對提出的最優(yōu)控制方法進(jìn)行了驗證和分析；最后給出了結(jié)論。

1 編隊動力學(xué)建模

為了便于分析，假設(shè)導(dǎo)彈編隊由領(lǐng)彈和從彈組成，且領(lǐng)彈和從彈只存在俯仰平面內(nèi)的二維運動，如圖1所示。首先定義兩個坐標(biāo)系：

1)慣性坐標(biāo)系Oixiyi，坐標(biāo)原點Oi位于地面某一固定參考點；Oixi沿水平方向，指向目標(biāo)為正；Oiyi垂直于Oixi方向，向上為正。

2)相對坐標(biāo)系Orxryr，坐標(biāo)原點Or位于領(lǐng)彈質(zhì)心，Orxr與領(lǐng)彈速度矢量重合，Oryr位于包含導(dǎo)彈速度矢量的鉛垂面內(nèi)垂直于Orxr，向上為正。

假設(shè)從彈具有穩(wěn)定的閉環(huán)自動駕駛儀，可以實現(xiàn)對從彈的速度Vf和彈道傾角θl的穩(wěn)定的跟隨控制。從彈可以獲得領(lǐng)彈的速度信息和彈道傾角信息。根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]中的結(jié)論，可以獲得圖1中的導(dǎo)彈編隊在二維空間中的相對運動學(xué)模型：

(1)

式中：x和y分別為相對坐標(biāo)系下從彈的位置矢量r在相對坐標(biāo)系Orxryr各坐標(biāo)軸的分量；Vf為慣性系下從彈的實際速度大?。沪萬為從彈的實際彈道傾角；Vfc為從彈的指令速度；θfc為從彈的指令彈道傾角;τ1和τ2分別為從彈速度控制回路的慣性時間常數(shù)和從彈彈道傾角控制回路的慣性時間常數(shù)；Vl為領(lǐng)彈的速度大小，θl為領(lǐng)彈的彈道傾角。

2 編隊隊形重構(gòu)最優(yōu)控制問題

導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)的意義在于根據(jù)作戰(zhàn)任務(wù)的需求隨時調(diào)整導(dǎo)彈編隊的構(gòu)型，從而獲得不同的編隊作戰(zhàn)效能。從主從式導(dǎo)彈編隊的編隊特點考慮，較為高效的編隊重構(gòu)過程為：從彈根據(jù)領(lǐng)彈的飛行狀態(tài)和作戰(zhàn)任務(wù)的構(gòu)型需求，進(jìn)而調(diào)整自身與領(lǐng)彈的相對位置，最終獲得期望的編隊重構(gòu)構(gòu)型。從建立的導(dǎo)彈編隊運動學(xué)模型出發(fā)，導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)控制的目的是根據(jù)作戰(zhàn)任務(wù)的需求設(shè)計從彈的飛行指令Vfc和θfc，使從彈調(diào)整與領(lǐng)彈之間的相對位置，從而實現(xiàn)編隊隊形的重構(gòu)。另外，由于從彈的飛行燃料有限，因此希望從彈能夠以最小的飛行指令實現(xiàn)編隊隊形的重構(gòu)過程。最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的一個重要組成部分。其所研究的問題是：對一個控制系統(tǒng)，在給定的性能指標(biāo)要求下，如何選擇控制規(guī)律，使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)(極值)[6]。

將導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)問題用最優(yōu)控制理論進(jìn)行求解：即尋找最優(yōu)控制變量u*(t)，在一系列約束條件下，使得到導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)過程中控制量(飛行指令Vfc和θfc)的消耗達(dá)到最少，寫成目標(biāo)函數(shù)的形式即為：

(2)

在約束條件方面，主要包括動力學(xué)約束，路徑約束以及終端約束。取狀態(tài)變量為：

x=[x1,x2,x3,x4]T=[x,y,Vf,θf]T

(3)

取控制量為：

u=[u1,u2]T=[Vfc,θfc]T

(4)

則由式(1)可以得到：

(5)

式(5)即為導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)過程的動力學(xué)約束。狀態(tài)變量x、y、Vf、θf，ω控制量Vfc、θfc也需要滿足一定的條件，即路徑約束：

(6)

(7)

另外，編隊隊形重構(gòu)過程需要滿足一定的終端約束：

(8)

3 hp-自適應(yīng)偽譜法基本原理

文獻(xiàn)[7]中對hp-自適應(yīng)偽譜算法基本原理進(jìn)行了詳細(xì)描述。hp-自適應(yīng)偽譜算法首先將時域區(qū)間分為若干段，并在每段上選取一定數(shù)量的Legendre-Gauss點作為配點，然后在每個單元上利用Lagrange多項式逼近系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量，并通過插值函數(shù)的微分和被積函數(shù)的高斯積分來近似系統(tǒng)的狀態(tài)微分和性能指標(biāo)，從而將連續(xù)的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為離散的非線性規(guī)劃問題，最后通過使用自適應(yīng)的配點調(diào)整策略和相關(guān)的規(guī)劃求解算法求解離散后的非線性規(guī)劃問題，從而實現(xiàn)對于最優(yōu)控制問題的求解。

4 仿真算例與分析

本節(jié)利用hp-自適應(yīng)偽譜法求解主從式導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)過程的最優(yōu)控制u*(t)，并通過數(shù)字仿真進(jìn)行驗證和分析。仿真條件假設(shè)為：從彈初始狀態(tài)時相對領(lǐng)彈的坐標(biāo)位置為：(-500,0)，作戰(zhàn)任務(wù)要求從彈與領(lǐng)彈的相對位置重構(gòu)為：(0,100)，然后保持編隊構(gòu)型繼續(xù)飛行。仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

目標(biāo)函數(shù)的選取以從彈的控制指令最小為原則，采用式(2)。動力學(xué)約束為式(5)，路徑約束取為：

(9)

根據(jù)編隊隊形重構(gòu)的要求，終端約束可取為：

(10)

以上終端約束要求從彈的相對位置從(-500,0)變化為(0,100)，并且末狀態(tài)的飛行速度Vf和彈道傾角θf與初始狀態(tài)相同。

在以上目標(biāo)函數(shù)和約束條件下，利用hp-自適應(yīng)偽譜法求解編隊隊形重構(gòu)過程的最優(yōu)控制問題的仿真結(jié)果如圖2～圖8所示。圖2為領(lǐng)彈的飛行速度和彈道傾角變化，圖3為從彈的相對位置變化，圖4為從彈的飛行速度與彈道傾角變化，圖5為從彈的指令飛行速度與指令彈道傾角變化，圖6為慣性坐標(biāo)系下編隊構(gòu)型的重構(gòu)過程。由仿真結(jié)果可知：

1)領(lǐng)彈的飛行速度保持不變，其彈道傾角按照正弦曲線規(guī)律變化，導(dǎo)致領(lǐng)彈在二維平面內(nèi)的運動軌跡隨時間變化；

2)導(dǎo)彈編隊在18.82 s左右完成重構(gòu)過程，從彈的相對位置從(-500,0)變化為(0,100)，從彈的飛行速度和彈道傾角滿足終端條件的約束，指令彈道傾角在編隊重構(gòu)過程中受到了限幅作用的影響。

圖7為從彈指令彈道傾角路徑約束不變，Vf的路徑約束擴大為200 m/s≤Vfc≤ 300 m/s時慣性坐標(biāo)系下編隊構(gòu)型的重構(gòu)過程，其編隊重構(gòu)過程在12.61 s完成，重構(gòu)速度明顯加快。圖8為從彈指令彈道傾角路徑約束擴大為-15°≤θfc≤15°，指令飛行速度路徑約束不變時慣性坐標(biāo)系下編隊的重構(gòu)過程，其重構(gòu)過程完成時間基本不變，仍然為18.82 s左右，僅y向距離的變化趨勢與圖6有區(qū)別。因此，從彈指令飛行速度Vf的路徑約束對導(dǎo)彈編隊重構(gòu)時間起主要作用，Vf路徑約束的限幅越大，則導(dǎo)彈編隊重構(gòu)所需時間越短。

5 結(jié)論

編隊隊形重構(gòu)控制問題是導(dǎo)彈編隊的關(guān)鍵問題之一，文中針對這一問題展開研究。建立了導(dǎo)彈編隊動力學(xué)模型，并將基于偽譜方法的最優(yōu)控制理論應(yīng)用到導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)控制中，對導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)控制進(jìn)行求解，并通過仿真算例進(jìn)行了分析和驗證。仿真結(jié)果表明：在一定的約束條件下，利用hp-自適應(yīng)偽譜方法能夠獲得導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)過程的最優(yōu)控制量。另外，仿真中發(fā)現(xiàn)，從彈的指令飛行速度對導(dǎo)彈編隊的隊形重構(gòu)過程影響較大，指令飛行速度的最大值越大，則導(dǎo)彈編隊隊形重構(gòu)的速度越快。