向量在初等數(shù)學中的應用

龔加安

Application of Vector in Elementary Mathematics

摘要：本文對向量在初等數(shù)學中的應用進行了研究。通過具體實例說明向量在初等數(shù)學各分支中的應用，揭示向量在初等數(shù)學中的重要性。

Abstract： In this paper， the application of vectors in elementary mathematics is studied. The application of vector in elementary mathematics is given by some examples， and the importance of vector in elementary mathematics is revealed.

關鍵詞：向量；函數(shù)最值；平面幾何；立體幾何；三角函數(shù)

Key words： vector；functions range；plane geometry；solid geometry；trigonometric function

中圖分類號：O151.24 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2018）15-0224-04

0 引言

向量是基礎數(shù)學中重要的內(nèi)容之一，它在數(shù)學的各個分支的研究中發(fā)揮著重要作用。向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對象；向量有長度，可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。向量的大小反映了其數(shù)的特征，方向反映了其形的特征。向量是集數(shù)、形于一身的數(shù)學概念，是數(shù)學中數(shù)形結合思想的典型表現(xiàn)。因此在向量的教學中要注意數(shù)與形的結合、代數(shù)與幾何的結合、邏輯思維與形象思維的結合。它不僅能解決數(shù)學學科本身的問題，而且能跨學科應用，向量在物理和工程技術中的應用很廣泛。許多代數(shù)、幾何、三角及物理中的問題都可以轉(zhuǎn)化為向量問題來處理。向量在初等數(shù)學中具有重要作用，它幾乎與初等數(shù)學中幾何內(nèi)容與部分代數(shù)內(nèi)容都有聯(lián)系，在解決一些問題時顯得特別簡捷，因此受到很多解題者的關注與濃厚的興趣。數(shù)學教學中要站在方法論的高度對某一板塊進行整理、歸結與概括，因此將向量與其它知識點結合應用更能體現(xiàn)向量的使用價值。

1 向量在函數(shù)中的應用

1.1 求函數(shù)最值

函數(shù)最值的求解是函數(shù)中的重要內(nèi)容之一，也是不等式知識的一個重要應用，涉及的知識面廣，解題技巧性強，方法也因題而異，而向量是溝通代數(shù)與幾何的一種有效工具。對一些代數(shù)中有關函數(shù)最值的問題，如果能巧妙地構造向量，利用向量的方法解決，就能給人煥然一新的感覺。

2 向量在平面幾何中的應用

平面幾何經(jīng)常涉及距離（線段長度）、夾角問題，而平面向量的運算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題。解決幾何問題時，先用向量表示相應的點、線段、夾角等幾何元素；然后通過向量的運算，特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關系；最后再把運算結果“翻譯”成幾何關系，得到幾何問題的結論。

2.1 在三角形中的應用

2.1.1 用向量表示的三角形的“心”

近幾年的高考題中不斷出現(xiàn)用向量表示的三角形“心”問題，因此，用向量的眼光透視三角形的“心”，進而解決與之相關的問題，就顯得尤為重要。這里主要討論向量表示三角形重心的應用。

解題回顧：本例題主要考察平面向量的加法運算的平行四邊形法則及向量的數(shù)乘運算，考查學生分析問題和解決問題的能力，入口淺且寬廣，寓意深且獨特。

2.3 向量在解析幾何中的應用

向量的坐標表示使向量與解析幾何建立了一定的聯(lián)系，也改變了解析幾何中一些傳統(tǒng)的研究方法。向量的坐標表示方法使方程思想有了更廣泛的應用，同時，運用向量的數(shù)量積簡化了解析幾何中兩直線夾角的計算。

2.3.1 與直線的綜合應用

例（2003年新課程，理21文22） 已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過原點O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a），以i-2λc為方向向量的直線相交于點P。其中λ∈R。試問是否存在兩個定點E、F，使得PE+PF為定值。若存在，求出E、F的坐標；若不存在，請說明理由。

解：根據(jù)題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程。據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值。

∵ i=（1，0），c=（0，a），∴ c+λi=（λ，a），i-2λc=（1，-2λa）

因此，直線OP和AP的方程分別為λy=ax和y-a=

-2λax。

消去參數(shù)λ，得點P（x，y）的坐標滿足方程y（y-a）=

-2a2x2，

由上可見，通過構造單位向量，充分體現(xiàn)了單位向量的獨特功效，使問題解決起來直觀、方便。

2.4 向量在立體幾何中的應用

向量與立體幾何的結合主要體現(xiàn)在空間向量在解決立體幾何問題的便捷，如判斷兩個平面的位置關系，判斷異面直線的位置關系以及求解二面角等問題上。

向量作為一種工具，它是溝通幾何、代數(shù)與三角函數(shù)等知識的一種有力工具。在有些數(shù)學問題的解決中，適當?shù)剡\用向量工具不僅有助于問題的解決，而且有時比傳統(tǒng)的方法更簡捷、更方便，更重要的是這樣能使學生從不同的角度和路徑揭示各種知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，拓展其解題思路，有助于形成緊致的數(shù)學知識體系。

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