三角函數(shù)線解題之妙用

朱克紅

摘 要：我們?cè)诮鉀Q三角函數(shù)的一些有關(guān)題目（如解不等式（組）、三角函數(shù)值的大小比較、求定義域以及不等式的證明等等）時(shí)，經(jīng)常要用到數(shù)形結(jié)合的思想方法，即利用三角函數(shù)線（正弦線、余弦線、正切線）與單位圓的完美結(jié)合，構(gòu)造巧妙的數(shù)學(xué)模型，成為解決某些三角函數(shù)問(wèn)題的有力工具。三角函數(shù)線與單位圓的充分結(jié)合，不僅能夠從圖形中刻畫(huà)三角函數(shù)的性質(zhì)，而且還能直觀的展示出三角函數(shù)的值以及符號(hào)的正負(fù)，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的變化特點(diǎn)，所以二者的有效結(jié)合已經(jīng)成為研究三角函數(shù)的一個(gè)重要工具，巧妙用之，能使某些復(fù)雜且難度較大的三角函數(shù)問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，輕松解決，達(dá)到事半功倍的效果。下面我就用幾個(gè)典型的例子來(lái)說(shuō)明三角函數(shù)線的巧妙之用，供讀者參考。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；不等式；數(shù)學(xué)

一、用三角函數(shù)線解不等式

例1：解不等式[sinx≥32]。

解：如圖，在（0，2π）內(nèi)，利用正弦線作出正弦值為[32]的角的終邊，可以發(fā)現(xiàn)，在（0，2π）內(nèi)，正弦值為[32]的角為[π3]和[2π3]，所以不等式[sinx≥32]的解集為：[[π3]+2[kπ]，[2π3]+2[kπ]]（[k]∈[Z]）。

【點(diǎn)評(píng)】

在解決三角函數(shù)不等式時(shí)，可以先求出[0，2π）內(nèi)的取值范圍，在根據(jù)周期性寫(xiě)出R上所求的范圍，同時(shí)還要注意端點(diǎn)值是否可以取得。

二、用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小

例2：比較[sinx，cosx，tanx]的大小，其中[x]∈（[π4]，[π4]）。

解：如圖，在[x]∈（[π4]，[π2]）時(shí)，角[x]的終邊落在第一象限，所以[sinx，cosx，tanx]三者的符號(hào)均為正，在單位圓中分別作出角[x]的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，由圖可知，OM

【點(diǎn)評(píng)】

利用三角函數(shù)線與單位圓的完美結(jié)合，使得抽象復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀，簡(jiǎn)單明了。

三、用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域

例3：求函數(shù)[f（x）=2sinx-1+lg （1-2cosx）]的定義域。

分析易知，[f][（x）]的定義域由兩個(gè)限制條件共同決定，可轉(zhuǎn)化為不等式組的問(wèn)題來(lái)求

即求不等式組[2sinx-1≥01-2cosx>0]的解集。如圖，在（0，2π）內(nèi)，[2sinx-1≥01-2cosx>0]的解集為圖中陰影部分所示，即[x∈（π3，5π6]]，再由周期性便可以得出[f][（x）]的定義域。

解：由[2sinx-1≥01-2cosx>0]得：

[sinx≥12cosx<12π6+2kπ≤x≤5π6+2kππ3+2kπ

即[f（x）]的定義域?yàn)閇[2kπ+π3，2kπ+5π6]]（[k]∈[Z]）。

【點(diǎn)評(píng)】

在求解三角函數(shù)不等式組的交集時(shí)，直接求解可能會(huì)陷入僵局，所以借助三角函數(shù)線的作用會(huì)化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。

四、用三角函數(shù)線證明三角函數(shù)不等式

三角函數(shù)線不僅在解不等式（組）、比較大小、求定義域上體現(xiàn)出極大的優(yōu)越性，而且在證明中也表現(xiàn)出它強(qiáng)大的功能和作用。

例4：求證：[sinα<α

證明：如圖，⊙O為單位圓，[α]的終邊交⊙O于P，過(guò)P作PM⊥[x]軸于M，過(guò)[x]軸與單位圓的交點(diǎn)A作單位圓的切線AT，交[α]的終邊于T，連接AP，有三角函數(shù)線的定義知，MP=[sinα]，AT=[tanα]，由圖可知，因?yàn)棣羀?]（0，[π2]），所以[S?OAP

而[S?OAT=12OA·AT=12tanα]，

[S扇形OAP=12α·R2=12α]，

[S?OAP=12OA·MP=12sinα]，

故[12sinα<12α<12tanα]，

所以[sinα<α

【點(diǎn)評(píng)】

此題若不借助三角函數(shù)線的功能來(lái)解決，是很困難的，所以在單位圓中作出正弦線、正切線及[α]弧段，借助三角函數(shù)線的幾何直觀性，建立各圖形面積不等式，便能容易地獲得結(jié)論。