對(duì)一道兩條線段長(zhǎng)度和的最值問(wèn)題的初探

秦軍

摘 要：歷年來(lái)，高考數(shù)學(xué)都要考查圓錐曲線中的最值問(wèn)題，此類問(wèn)題是解析幾何綜合問(wèn)題的重要內(nèi)容之一，它融解析幾何知識(shí)、函數(shù)、不等式等知識(shí)為一體，綜合性強(qiáng)，且對(duì)于解題者有著相當(dāng)高的能力要求。作者通過(guò)和學(xué)生一起對(duì)一道拋物線中的兩條線段的最值問(wèn)題進(jìn)行探究，讓數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)深入到教學(xué)活動(dòng)中，同時(shí)也促使學(xué)生的思維主動(dòng)積極地參與到探究性活動(dòng)中。

關(guān)鍵詞：最值；探究活動(dòng)；數(shù)形結(jié)合；分類討論

中圖分類號(hào)：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收稿日期：2018-01-03

作者簡(jiǎn)介：秦 軍（1976—），男，中共黨員，福建省長(zhǎng)樂(lè)華僑中學(xué)教師，本科，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

圓錐曲線中的最值問(wèn)題是一類綜合性強(qiáng)、變量多、涉及知識(shí)面廣的題目，是解析幾何中的難點(diǎn)問(wèn)題，也是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題。筆者通過(guò)和學(xué)生一起對(duì)一道拋物線中的兩條線段的最值問(wèn)題進(jìn)行探究，讓數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)深入到教學(xué)活動(dòng)中，同時(shí)也促使學(xué)生的思維主動(dòng)積極地參與到探究性活動(dòng)中。

首先，讓我們一起來(lái)看一道極其普通的題目，結(jié)合現(xiàn)實(shí)教學(xué)做以下探究，僅供大家參考。

例1：已知直線l1：3x-4y-6=0和直線l2：y=-1，求拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2距離之和的最小值？

一般地，我們教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線l2：y=-1，其實(shí)是拋物線x2=4y的準(zhǔn)線。根據(jù)拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線l2 的距離|PM|等于動(dòng)點(diǎn)P到焦點(diǎn)F（0，1）的距離（如圖1所示），即|PM|=|PF|。因此本題就轉(zhuǎn)化為在拋物線x2=4y上找一個(gè)點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)F（0，1）和到直線l1 的距離|PE|的和最小，也就是F（0，1）到直線l1：3x-4y-6=0距離。即|FN|==2。此方法靈活地運(yùn)用了拋物線的定義和數(shù)形結(jié)合的思想，起到了事半功倍的效果。

但在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，筆者常常會(huì)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展以下的探究活動(dòng)。

探究一：延伸問(wèn)題

例2：已知直線l1：3x-4y-6=0和直線l2：y=-1，求拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2距離之和的最小值，及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)？

受一般方法的影響，學(xué)生很快就能想到，先求出直線FN的方程，然后再與拋物線x2=4y聯(lián)立，求出直線與拋物線的交點(diǎn)，結(jié)合圖像即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)。

此時(shí)，我引導(dǎo)學(xué)生思考用代數(shù)的方法求解。設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），則 |PE|+|PM|=。化簡(jiǎn)

得：|PE|+|PM|=，當(dāng)x=

時(shí)，|PE|+|PM|取得最小值2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。通過(guò)計(jì)算，可以得到答案，但大部分學(xué)生會(huì)覺(jué)得計(jì)算量比較大，沒(méi)有第一種方法簡(jiǎn)潔。我會(huì)肯定學(xué)生的想法，并通過(guò)這種疑問(wèn)進(jìn)入下面的探究環(huán)節(jié)。

探究二：改變直線l2 位置

實(shí)際教學(xué)中，會(huì)有學(xué)生提出直線l2：y=-1的位置比較特殊，它正好是拋物線x2=4y的準(zhǔn)線。如果它不是準(zhǔn)線，可以嗎？

例3：已知直線l1：3x-4y-6=0，求拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和x軸距離之和的最小值？

學(xué)生們很快就能發(fā)現(xiàn)，此時(shí)和例1有很大的聯(lián)系。到x軸距離比到直線l2：y=-1距離小1。同理可得最小值為1（如圖2所示）。此時(shí)我會(huì)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自己出一道類似的題目，很快就會(huì)有“已知直線l1：3x-4y-6=0和直線l2：y=-3，求拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2距離之和的最小值”之類的題目出現(xiàn)。說(shuō)明學(xué)生對(duì)例1中靈活地運(yùn)用了拋物線的定義和數(shù)形結(jié)合的思想度掌握得十分理想。時(shí)機(jī)差不多了，我馬上就拋出第四個(gè)例題。

例4：已知直線l1：3x-4y-6=0和直線l3：y=3，求拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l3距離之和的最小值？

問(wèn)題一拋出，下面就有學(xué)生開(kāi)始議論了，直線l3：y=3雖然與準(zhǔn)線也是平行的關(guān)系，但它在x 軸的上方和拋物線是相交的（如圖3、4所示）。

如圖3所示：點(diǎn)P在直線l3：y=3下方，則|PE|+|PH|=4+|PE|-|PM|=4+|PE|-|PF|，和例1中的|PE|+|PF|顯然不一樣了。

如圖4所示：點(diǎn)P在直線l3：y=3上方，

則|PE|+|PH|=|PE|+|PM|-4=|PE|+|PF|-4，也無(wú)法讓點(diǎn)P、F、E三點(diǎn)共線取得最小值

了。

此時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），

則 |PE|+|PH|=。分類

討論，當(dāng)時(shí)，可化簡(jiǎn)得：

|PE|+|PH|=-。當(dāng)時(shí)，

|PE|+|PH|取得最小值。當(dāng)

或時(shí)，可化簡(jiǎn)得：|PE|+|PH|=

。當(dāng)時(shí)，|PE|+|PH|取得最小值。

通過(guò)探究二改變直線l2位置，學(xué)生不僅對(duì)幾何法有了更深刻的理解，同時(shí)也加強(qiáng)了代數(shù)法計(jì)算的能力和分類討論的思想，可以說(shuō)是一舉兩得。

探究三：改變直線l1位置

通過(guò)探究二中的分類，學(xué)生們不難發(fā)現(xiàn)，|PE|=，因?yàn)?x-x2-6恒為負(fù)數(shù)，所以可以很簡(jiǎn)單地去掉絕對(duì)值變成x2-3x+6。此時(shí)，我們首先要肯定學(xué)生，表?yè)P(yáng)他們善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的品質(zhì)，并借機(jī)拋出新的問(wèn)題。

例5：已知直線l4：3x-4y+4=0和直線l2：y=-1，求拋物線x2=4y上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l4和直線l2距離之和的最小值？

如圖5所示：|PE|+|PM|=|PE|+|PF|，

也無(wú)法讓點(diǎn)P，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線取得最小值了。

此時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2），則 |PE|+|PM|=。分類

討論，當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，可化簡(jiǎn)得：

|PE|+|PM|=；當(dāng)x=-1時(shí)，

|PE|+|PM|取得最小值；當(dāng)x<-1或

x>4時(shí)，可化簡(jiǎn)得：|PE|+|PM|=

；當(dāng)x=-1時(shí)，|PE|+|PM|取得最小值。此時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)E重合?？梢钥偨Y(jié)若直線l4 與拋物線相交，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)E重合時(shí)，|PE|+|PM|取得最小值（注：結(jié)合圖像取點(diǎn)）；若直線l4 與拋物線相交，且斜率為零，此時(shí)就會(huì)出現(xiàn)無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)使得|PE|+|PM|取得最小值（如圖6所示）。

探究四：改變曲線的方程

例6：已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求|PA|+|PF1|的最大值與最小值（圖略）。

解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，可知其坐標(biāo)為（3，0）。由橢圓的第一定義得：|PF1|+|PF2|=10 。

∴|PF1|=10-|PF2|，

∴|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10+

|PA|-|PF2|。

可知，當(dāng)P為AF2的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，|PA|-|PF2|最大，最大值為|AF2|=；當(dāng)P為F2 A的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，|PA|-|PF2|最小，最小值為-|AF2|=-。

故|PA|+|PF1|的最大值為10+，最小值為10-。

通過(guò)此類的探究，一方面讓課堂起到了“增效”“提速”的作用，學(xué)生更喜歡上數(shù)學(xué)課；另一方面，揭示了問(wèn)題的本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合往往存在人為的題目設(shè)計(jì)，使得方法簡(jiǎn)潔，給人眼前一亮的感覺(jué)，但代數(shù)法可以做到以不變應(yīng)萬(wàn)變，是方法之“母”。函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問(wèn)題的首選方法，其中所涉及的函數(shù)最常見(jiàn)的有二次函數(shù)、三角函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考查不容忽視。上述各例解題過(guò)程均是將圓錐曲線最值轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，此時(shí)應(yīng)注意其定義域是否受題設(shè)條件限制，是否需要分類討論。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊 華，江明鑫，錢(qián)學(xué)吉.對(duì)一道例題的探究與發(fā)現(xiàn)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（10）：36-37.

[2]趙 煒.解析高考中圓錐曲線的最值問(wèn)題[EB/OL].http//www.docin.com/p-1549461162.html.2014-06-01.