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    點(diǎn)估計(jì)的一種敏捷算法

    2018-06-01 10:50:56
    關(guān)鍵詞:估計(jì)量概率密度參數(shù)估計(jì)

    王 燦

    (成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 611130)

    1 引言

    參數(shù)估計(jì)包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種方法,而點(diǎn)估計(jì)又是區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ).目前比較常用的點(diǎn)估計(jì)方法有矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法等,其中矩法雖然簡(jiǎn)單,但其局限性比較大,對(duì)期望不存在的隨機(jī)變量無(wú)法使用;最大似然法依據(jù)“一次實(shí)驗(yàn)就發(fā)生的事件有較大的概率”的思想,是目前應(yīng)用比較廣泛的方法.但對(duì)分布律或概率密度復(fù)雜的隨機(jī)變量而言,此種方法的計(jì)算量就比較大.但其衍生出的派生估計(jì)法[1]就在一定程度上簡(jiǎn)化了計(jì)算.

    2 算例

    為了使計(jì)算更加簡(jiǎn)便,先給出正態(tài)分布的最大似然估計(jì)量和派生估計(jì)量,并結(jié)合定理把已知分布類型的隨機(jī)變量逼近成正態(tài)分布N(μ,σ2),再化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,這樣在原來(lái)派生估計(jì)法的基礎(chǔ)上,只需要選擇)作為派生估計(jì)量即可.

    例 1設(shè) X~N(μ,σ2),μ,σ2為未知參數(shù),X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本,樣本值為x1,x2,…,xn,求 μ,σ2的估計(jì)量.

    解法一最大似然估計(jì)法

    X的概率密度為:

    似然函數(shù)為:

    取對(duì)數(shù)有:

    對(duì)參數(shù)求導(dǎo)有:

    解法二派生估計(jì)法

    則互相獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,因此把看作來(lái)自總體的樣本,由正態(tài)分布N(μ,σ2)參數(shù)均值和方差的最大似然估計(jì),得

    兩種解法所得結(jié)果相同,但派生法更簡(jiǎn)單.

    例 2已知 X~B(n,p),X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本,求未知參數(shù)p的派生估計(jì)量.

    解因?yàn)?X~B(n,p),由 De Moivre-Laplace定理,得

    由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)參數(shù)均值的派生估計(jì)量得

    例3已知X~U(0,θ],證明未知參數(shù)θ的最大似然估計(jì)量不是無(wú)偏的,但其派生估計(jì)量是無(wú)偏的.

    解由已知得似然函數(shù)為顯然 L(θ)隨 θ 的增加而減少,故 L(θ)在 max{x1,x2,…,xn}處取得最大值,于是θ的最大似然估計(jì)量為θ^=max{x1,x2,…,xn},

    推得的概率密度為

    故最大似然估計(jì)量=max{X1,X2,…,Xn}不是無(wú)偏的;

    因?yàn)?X~U(0,θ],由中心極限定理得

    由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)參數(shù)均值的派生估計(jì)量得

    故派生估計(jì)量=2是無(wú)偏的.

    3 結(jié)語(yǔ)

    以上實(shí)例表明,把中心極限定理應(yīng)用到參數(shù)估計(jì)理論中是很好的思路,不僅可以簡(jiǎn)化很多分布類型的參數(shù)點(diǎn)估計(jì)計(jì)算過(guò)程,且得到的估計(jì)結(jié)果還可能具有更好的性質(zhì).

    〔1〕 孫祝嶺.點(diǎn)估計(jì)的一種新方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2010(11):163-164.

    〔2〕 顧蓓青,王蓉華,徐曉嶺,吳生榮.極大似然估計(jì)的間接求法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2010(10):153-155.

    〔3〕 盛驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2008.149-156.

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