關(guān)于廣義Taylor 中值定理中間點(diǎn)函數(shù)可微性的進(jìn)一步討論

張芯語，張樹義

（渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧，錦州 121013）

Azpeitja[1]研究了Taylor公式“中間點(diǎn)”的漸近性質(zhì)。同時(shí)，Jacobson[2]建立積分中值定理的類似的結(jié)果。在這之后，一些作者研究各種中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性質(zhì)，可見文獻(xiàn)[3-18]。最近，我們?cè)谖墨I(xiàn)[19-26]中研究了包括廣義Taylor中值定理在內(nèi)的幾種中值定理的“中間點(diǎn)函數(shù)”的一階可微性。其中文獻(xiàn)[18]研究了 Cauchy中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”

在x=a處的可微性且(a)=。文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]在一定條件下分別建立了泰勒公式和廣義Taylor中值定理的“中間點(diǎn)函數(shù)”在x=a處的可微性且文獻(xiàn)[21]在一定條件下建立了 Cauchy中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”在x=a處的可微性且文獻(xiàn)[22]建立了廣義中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”(x)

在x=a處的可微性且文獻(xiàn)[23]建立了高階 Cauchy中值定理“中間點(diǎn)函數(shù) ”在x=a處的可微性且文獻(xiàn)[24]利用比較函數(shù)概念, 建立了泰勒公式“中間點(diǎn)函數(shù)”的漸近性進(jìn)而推出了文獻(xiàn)[19]的可微性結(jié)論。文獻(xiàn)[25]建立了積分中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”在x=a處的可微性文獻(xiàn)[25]建立了第二積分中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”在x=a處的可微性且

本文的目的是進(jìn)一步研究廣義 Taylor中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”的可微性，在一定條件下獲得了廣義Taylor中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”在x=a處的可微性且顯然此結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[18-21]中的相關(guān)結(jié)果(事實(shí)上取α= 0 ,n=γ= 1 便得文獻(xiàn)[18]中的結(jié)果；取α= 0 ,γ=λ,g(x) = (x-a)n便得文獻(xiàn)[19]中的結(jié)果；取α= 0 ,γ=λ便 得 文 獻(xiàn)[20]中 的 結(jié) 果 ； 取α= 0 ,γ=λ,n= 1 ,便得文獻(xiàn)[21]中的結(jié)果) 。

廣義Taylor中值定理設(shè)a和b是實(shí)數(shù)且a＜b，f,g。如果函數(shù)f滿足

(i) 在上具有直至n- 1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；

(ii) 在(a,b)內(nèi)存在n階導(dǎo)數(shù)且，則存在一點(diǎn)c∈(a,b)，使

設(shè)I是R上一區(qū)間，a∈I是I上一點(diǎn)，函數(shù)。如果函數(shù)f與g在I上n次可微，則由廣義Taylor中值定理，，在以a,x為端點(diǎn)的開區(qū)間上，存在一點(diǎn)，使

如果不是單射的，則使(1)成立的點(diǎn)，一般不是唯一的。如果對(duì)，在以a,x為端點(diǎn)的開區(qū)間上選取一個(gè)cx，使(1)成立，那么也可以定義函數(shù)c:I-為，使(2)成立。

定理1[20]設(shè)I是R上一區(qū)間，a∈I是I上一點(diǎn). 函數(shù)f,g:I→R。如果函數(shù)f與g在I上n次可微，則存在一函數(shù)c:，使得(2)成立。此外如果是單射的，則點(diǎn)是唯一的。

因?yàn)?，所以。于是可定義“中間點(diǎn)函數(shù)”顯然在點(diǎn)x=a連續(xù)。

容易證明下列引理成立。

引理1設(shè)I是R上一區(qū)間，a∈I是區(qū)間I的左端點(diǎn)，在I上n次可微且

其中A是一常數(shù),α是實(shí)數(shù)α＞-1，。

注1因?yàn)閍∈I是區(qū)間I的左端點(diǎn)，所以在點(diǎn)a處連續(xù)是指在點(diǎn)a右連續(xù)。由于因此在點(diǎn)a右連續(xù)。

1 主要結(jié)果

定理2設(shè)I是R上一區(qū)間，Ia∈ 是區(qū)間I的左端點(diǎn)，函數(shù)滿足下列條件：

(i) 函數(shù)f與g在區(qū)間I上有n階導(dǎo)數(shù)且

其中A,B是非零常數(shù)，α,β是實(shí)數(shù)α＞-1,，且α≠β，則下列結(jié)論成立：

存在實(shí)數(shù)，使，且

有下列性質(zhì)：

證明由定理2條件和引理1，有

由上面等式，可推出

結(jié)論由推出。定理2證畢。

如果α=β，則定理2不再成立，但有：

定理3設(shè)I是R上一區(qū)間，a∈I是區(qū)間I的左端點(diǎn)，函數(shù)滿足下列條件：

(i) 函數(shù)f與g在區(qū)間I上有n階導(dǎo)數(shù)且；

有下列性質(zhì)：

c) 對(duì)于任意，有

d) 存在極限

在x=a 可微且

證明首先指出定理3 的條件保證了γα≠。事實(shí)上, 若γα=, 則

與此極限值相矛盾，故。

因 此 存 在 一 實(shí) 數(shù)δ＞0， 使且，有。

2°因?yàn)?，所以在上?yán)格單調(diào)，進(jìn)而是單射, 因此存在唯一函數(shù), 使得(11)成立。

a) 由(11)和(12)即得證。b) 由引理1，有

其中,。由條件(ii)，得

其 中,。 把(14)-(17)代 入(13)，并簡單運(yùn)算得

結(jié)論由推出，定理3證畢。

注2由于中的條件，只保證存在唯一函數(shù)，使(11)成立，因此在定理 3中如果α=0,γ=1，則該條件可以用代替。事實(shí)上, 當(dāng)α=0,γ=1時(shí)，則。由引理1得

進(jìn)一步，如果函數(shù)與在I上可微，則由洛必達(dá)法和導(dǎo)數(shù)極限定理，有

由此推出

從而是單射，于是當(dāng)α=0，γ=1時(shí)由定理3可得如下結(jié)果。

定理4[20]R上一區(qū)間，a∈I是I的左端點(diǎn)。f,g:I→R是兩個(gè)函數(shù)，滿足下列條件

(i) 函數(shù)f，g在I上n+1次可微；

(ii) 對(duì)于所有，；

(iii)，則下列結(jié)論成立：

存 在 一 實(shí) 數(shù)， 使，，有并且 是單射的。

2°對(duì)于任意，存在唯一函數(shù)，使

函數(shù)定義為

有下列性質(zhì)：

e) 對(duì)于任意，有

f) 存在極限

在x=a 可微且

下面我們指出由定理3可推出文[20]中的定理2。

在定理3中取α= 0 ,γ=μ,則A=,。由引理1得

由引理1得

進(jìn)一步如果函數(shù)與在I上連續(xù)可微，則由洛必達(dá)法和導(dǎo)數(shù)的定義，有

于是當(dāng)α= 0 ,γ=μ時(shí)由定理3可得如下結(jié)果。

定理5[20]設(shè)I是R上一區(qū)間，a∈I是區(qū)間I的左端點(diǎn)，函數(shù)滿足下列條件：

(i) 函數(shù)f與g在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且；

(ii)存在實(shí)數(shù)α＞0，使

存在實(shí)數(shù)，使，且，有

, 其中

若再設(shè),, 則對(duì)于任意， 存在唯一函數(shù)，使

函數(shù)定義為

有下列性質(zhì)：

g) 對(duì)于任意，有

h) 存在極限

在x=a 可微且

需要指出的是由于是區(qū)間I的左端點(diǎn)，因此本文所涉及函數(shù)在點(diǎn)a的導(dǎo)數(shù)均為右導(dǎo)數(shù)。

[1]Azpeitja A G. On the Lagrange remainder of the Taylor formula[J]. Amer. Math. Monthly, 1982, 89(5): 311-312.

[2]Jacobson B. On the mean value theorem for integrals[J].Amer. Math. Monthly, 1982, 89(5): 300-301.

[3]張樹義. 廣義Taylor公式“中間點(diǎn)”一個(gè)更廣泛的漸近估計(jì)式[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2004, 34(11): 173-176.

[4]Duca D I. A note on the mean value theorem[J]. Didactica Matematicii, 2003, 19: 91-102.

[5]Mera R. On the determination of the intermediate point in Taylor's theorem[J]. Amer. Math. Monthly, 1992, 99:56-58.

[6]Powers R C, Riedel T, Sahoo P K. Limit properties of differential mean values[J]. J. Math. Anal. Appl. 1998,227: 216-226.

[7]張樹義,趙美娜,鄭曉迪.積分中值定理中間點(diǎn)的漸近估計(jì)式[J]. 北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2016,17(4):448-454.

[8]萬美玲,張樹義. 二元函數(shù) Taylor公式“中間點(diǎn)”的漸近估計(jì)式[J]. 魯東大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016, 32(2):1-4.

[9]張樹義. 中值定理“中間點(diǎn)”的幾個(gè)新的漸近估計(jì)式[J].煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 1995,11(2):109-111.

[10]張樹義. 關(guān)于中值定理“中間點(diǎn)”漸近性的若干注記[J].煙臺(tái)師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1994,10(2): 105-110

[11]林媛, 張樹義. 廣義泰勒中值定理“中間點(diǎn)"當(dāng)x→∞時(shí)更廣泛的漸近估計(jì)式[J]. 南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016, 15 (3): 1-5.

[12]張樹義. 積分中值定理“中間點(diǎn)”更廣泛的漸近估計(jì)式[J].南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005, 4(3).15-19.

[13]張樹義. 廣義中值定理當(dāng)m≠n時(shí)“中間點(diǎn)”的漸近估計(jì)式[J]. 南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2006, 5(12):20-22.

[14]張樹義. 關(guān)于中值定理“中間點(diǎn)”漸近性研究的新進(jìn)展(I)[J]. 南都學(xué)壇,2000(6): 13-20.

[15]張樹義. 積分中值定理“中間點(diǎn)”當(dāng)x→∞時(shí)的漸近性態(tài)[J].沈陽師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1998,(1):8-11.

[16]張樹義. 中值定理“中間點(diǎn)”當(dāng)x→+∞時(shí)的漸近性態(tài)[J].河北師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1997,(3):4-7.

[17]劉冬紅,張樹義,鄭曉迪. 二元函數(shù)柯西中值定理“中間點(diǎn)”的漸近估計(jì)式[J]. 井岡山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017, 38(4):13-17.

[18]Duca D I, Pop O. On the intermediate point in Cauchy's mean-value theorem[J]. Math. Inequal. Appl., 2006, 9:375-389.

[19]趙美娜,張樹義,鄭曉迪. 泰勒公式“中間點(diǎn)函數(shù)”的一個(gè)注記[J]. 魯東大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,32(4):302-306.

[20]趙美娜,張樹義,鄭曉迪. 廣義 Taylor中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”的性質(zhì)[J]. 南通大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2016,15(3): 80-85.

[21]李丹,張樹義,鄭曉迪. Cauchy中值定理“中間點(diǎn)函數(shù)”的一個(gè)注記[J]. 南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2016, 15(12): 5-11.

[22]張樹義,林媛,鄭曉迪. 廣義中值定理中間點(diǎn)函數(shù)的性質(zhì)[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2016, 17(6) 714-719.

[23]張樹義,叢培根,鄭曉迪. 高階 Cauchy中值定理中間點(diǎn)函數(shù)的性質(zhì)[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017, 18(1):19-24.

[24]李丹,張樹義. 關(guān)于泰勒公式中間點(diǎn)函數(shù)的可微性[J].井岡山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2016, 37(6)：11-14.

[25]劉冬紅,張樹義,叢培根. 積分中值定理中間點(diǎn)函數(shù)的性質(zhì)[J]. 北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017, 18(4): 434-438.

[26]李丹,張樹義,鄭曉迪. 第二積分中值定理中間點(diǎn)函數(shù)的性質(zhì)[J]. 南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2017, 16 (6):5-8.