狀態(tài)耦合大規(guī)模系統(tǒng)的分布式預測控制

潘紅光，米文毓，高海南，江能前

(1.西安科技大學 電氣與控制工程學院，陜西 西安 710054；2.西安衛(wèi)星測控中心，陜西 渭南 714000；3.西安交通大學 經(jīng)濟金融學院，陜西 西安 710049)

0 引 言

預測控制可被廣泛應用于處理物理約束，并能提高控制性能；其在每個時刻求解優(yōu)化問題獲得一系列最優(yōu)控制輸入，但是僅實施第一個控制輸入。關于預測控制的綜述具體可參見文獻[1-3]。針對大規(guī)模系統(tǒng)，采用集中式預測控制的計算量很大，甚至大到不能應用于實際。處理該問題的一個有效方案是將大規(guī)模系統(tǒng)分成若干個子系統(tǒng)，并針對每一個子系統(tǒng)采用分布式預測控制策略[4]。

一般來說，前述的子系統(tǒng)可分為動態(tài)解耦(如文獻[5-6]中的多智能體系統(tǒng))和動態(tài)耦合(如文獻[7]中的電力系統(tǒng)及文獻[8-9]中的工業(yè)過程系統(tǒng))2類。對于每個子系統(tǒng)而言，稱在代價函數(shù)、物理約束以及系統(tǒng)動態(tài)等方面與之相關的子系統(tǒng)為其鄰居。特別地，在系統(tǒng)動態(tài)方面耦合的鄰居子系統(tǒng)被稱為動態(tài)(上游/下游)鄰居。

在分布式預測控制中，每個子系統(tǒng)不能提前預知其鄰居的當前實際預測軌跡，故需采用假設預測軌跡[10-11]。假設預測軌跡與實際預測軌跡之間存在差別，這些差別被稱為不確定性偏差。對于動態(tài)耦合情形，每個子系統(tǒng)的狀態(tài)演變直接依賴于其鄰居子系統(tǒng)。因此，不確定偏差可能會導致嚴重的問題，如遞歸可行性和穩(wěn)定性不能保證、違反物理約束等。

針對動態(tài)耦合子系統(tǒng)，已有文獻給出了多種該處理方案：針對無約束子系統(tǒng)的方案可參見文獻[12-13]；針對狀態(tài)約束子系統(tǒng)的方案可參見文獻[14]；針對輸入約束子系統(tǒng)的方案可參見文獻[7，15]。在文獻[16]中，針對帶有狀態(tài)和輸入約束的動態(tài)耦合系統(tǒng)，作者基于文獻[17]的tube-based魯棒方法提出了一種新的分布式預測控制方法。文中，考慮稍簡單于文獻[16]的系統(tǒng)，提出一種分布式預測控制綜合方法。該方法與文獻[16]的區(qū)別如下。

1)文獻[16]采用的約束(見該文中式(8)～(10))具有相容性約束的作用，且是固定的；而文中給出了明確的相容性約束并在線收緊此約束，故在系統(tǒng)演化過程中，文中的相容性約束帶來的保守性更小；

2)文獻[16]離線固定了收緊的狀態(tài)和輸入約束序列；而文中狀態(tài)和輸入約束是在線收緊、更新的，故在系統(tǒng)演化過程中約束收緊帶來的保守性更小；

3)文獻[16]針對標稱系統(tǒng)在線優(yōu)化性能指標；而本則針對真實系統(tǒng)在線優(yōu)化性能指標，故文中的控制性能更優(yōu)。

1 問題描述

考慮包含ns個動態(tài)耦合子系統(tǒng)的大規(guī)模系統(tǒng)，其由如下線性時不變方程描述

(1)

(2)

(3)

對于動態(tài)耦合子系統(tǒng)的分布式預測控制，每個子系統(tǒng)i僅知道其動態(tài)上游鄰居j的假設預測軌跡，而真實預測軌跡則是未知的。故真實預測軌跡和假設預測軌跡之間存在不確定性偏差，該偏差需要通過施加約束進行處理。下節(jié)將給出動態(tài)耦合子系統(tǒng)的分布式預測控制綜合方法。

2 分布式預測控制

(4)

子系統(tǒng)i的狀態(tài)預測方程為

xi(0|k)=xi(k)

(5)

文中，為u(k)的最優(yōu)解添加了修正項，即實際施加到系統(tǒng)的控制輸入為

(6)

其中κij為離線確定的反饋增益。

2.1 物理約束收緊

(7)

(8)

為滿足約束(2)，在線優(yōu)化過程中需滿足如下物理約束

(9)

為收緊約束(9)以抑制不確定性偏差w(k)，首先需要通過下式約束εi(t|k)

(10)

(11)

收緊后的可容許集Zi(t|k)可由下式迭代獲得

ψiκi(t))Li(t)×(Aij+Biκij)Ej(k)}

(12)

其中，Li(t+1)=(Aii+Biκi(t))Li(t)，t∈{0,…,N-1} ，Li(0)=I，κi(t)為離線確定的反饋增益。

通過適當?shù)募线\算，收緊后的可容許集Zi(t|k)等價于

(13)

其中ci(t|k)={ci,1(t|k);…;ci,qi(t|k)}為收緊的約束界向量，其確定方式為

2.2 個體終端域

(14)

zi(t|k)∈Zi(Mi|k),i∈Ns

(15)

xi(t+1|k)∈Ωi,i∈Ns

(16)

式中x∑d(·)=[xid(·)；…；xnsd(·)]，P=diag[P1,…,Pns],Q=diag[Q1,…,Qns],K=diag[K1,…,Kns],R=diag[R1,…,Rns].

對式(14)，終端權重矩陣Pi和控制律Ki(i∈Ns)可通過求解如下優(yōu)化問題確定

(17)

式中X=σP-1，Y=KX.該優(yōu)化問題可通過MATLAB軟件的LMI工具箱求解。式(15)～(16)成立的充分條件為

‖xid(t|k)‖Pi≤δi,t≥N,i∈Ns

(18)

式中，標量δi滿足

(19)

‖xid(t+1|k)‖Pi-‖xid(t|k)‖Pi≤0,t≥N,i∈Ns

(20)

應用三角不等式得

‖xid(t+1|k)‖Pi=

因此，式(20)可由下式保證

(21)

綜上所述，個體終端約束可描述為

(22)

(23)

此優(yōu)化問題僅在離線階段求解(見算法1)。

2.3 相容性約束

限制假設預測軌跡和真實預測軌跡間的不確定性偏差需用到相容性約束(見文獻[5]和文獻[10])，該約束被施加到各子系統(tǒng)的優(yōu)化問題可確保每個子系統(tǒng)(智能體)不偏離其假設軌跡過遠。文中得約束(10)即為相容性約束。

據(jù)2.1節(jié)所述，物理約束的滿足依賴于相容性約束(10)，因此，保證約束(10)在每個時刻k均被滿足是基本前提。瓷錘再次應用約束收緊技術來收緊約束(10)，具體為

(24)

為保證整個系統(tǒng)的遞歸可行性，進而保證整個系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，為整個系統(tǒng)選取如下Lyapunov函數(shù)

(25)

在k+1時刻，可取如下可行輸入

(26)

由該輸入得到可容許(可行)狀態(tài)(更多細節(jié)可參見定理1的證明部分)，如下

(27)

(28)

即，整體閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是可以保證的。

基于上述推導，試圖將相容性約束界單調(diào)減小至零，同時考慮到相容性約束(24)的遞歸可行性，給出以下相容性約束界的更新方程

(29)

應用此方程可得ci,l(t|k)≤ci,l(t|k+1)，μi(t|k)≤μi(t|k+1),i∈Ns，l∈{1，…，qi}，t∈{0,1,…,N-1}，k≥0.故有

Ei(k)?Ei(k+1),i∈Ns,k≥0

(30)

Zi(s|k)?Zi(s|k+1),s∈{0,…,N-1},k≥0

(31)

注釋1：文獻[16]采用tube-based方法來收緊初始狀態(tài)(輸入)約束，其依賴于某一固定的集合；文中則基于一系列遞減的集合Ei(k)來收緊初始約束，這一方式可降低系統(tǒng)可容許集的保守性(見仿真部分)。

3 主要結果及整體算法

3.1 主要結果

通過加入前述各節(jié)中給出的約束，可得每個子系統(tǒng)i的優(yōu)化問題如下

s.t. (7)，(11)，(22)，(24)

(32)

主要結果由下述定理闡述

定理1：如果每個子系統(tǒng)i的優(yōu)化問題(32)在k=0時刻是可行的，那么，在每個時刻求解該優(yōu)化問題并實施控制輸入(6)，可保證

1)在k>0時刻，每個子系統(tǒng)的優(yōu)化問題(32)均是可行的；

2)在k≥0時刻，物理約束(2)均滿足；

證明

(33)

(34)

進一步地，根據(jù)收緊后的相容性約束(24)和更新方程(29)可得

(35)

3.2 分布式預測控制算法

算法1(分布式預測控制整體算法)：

BiKi)txi(0),t∈{0,…,N-1}.

在線階段：初始化，k=0時，對子系統(tǒng)i

2)計算ci(t|0)和μi(t|0)；

重復執(zhí)行：在k>0時，針對每個子系統(tǒng)i

在算法1的離線階段，反饋增益κij和κi(t)可由優(yōu)化問題(36)獲得

s.t.‖Li(Mi)‖=0

(36)

4 仿 真

采用文獻[23]中的系統(tǒng)，該系統(tǒng)由ns=3個彈簧-阻尼小車相互連接而成。系統(tǒng)動態(tài)為

式中xi,1，xi,2和ui(i∈Ns)分別為各子系統(tǒng)i的位移，m;速度,m/s和控制輸入,N；k0=1.05 N/m為非線性彈簧的穩(wěn)態(tài)剛度系數(shù)；kc=0.01 N/m為各子系統(tǒng)互聯(lián)的線性彈簧的穩(wěn)態(tài)剛度系數(shù)；hd=0.3 Ns/m為每個小車的阻尼系數(shù)；m=1.5 kg為每個小車的質量。

為證明文中算法(表示為情形2，case 2)的有效性，此處將給出文獻[16](表示為情形1，case 1)中算法的比較。對于情形2，取Q=diag{Q1,Q2,Q3},R=diag{R1,R2,R3}，其中，Qi=diag[15,15]，Ri=1；終端權重矩陣和反饋增益分別為

圖1 子系統(tǒng)1的狀態(tài)和輸入軌跡Fig.1 State and input trajectories of subsystem 1

圖2 子系統(tǒng)2的狀態(tài)和輸入軌跡Fig.2 State and input trajectories of subsystem 2

圖3 子系統(tǒng)3的狀態(tài)和輸入軌跡Fig.3 State and input trajectories of subsystem 3

圖4 情形1，2的優(yōu)化時間比較Fig.4 Optimization time comparisons between case 1 and 2

(37)

經(jīng)計算，情形1，2中的性能指標Jsum分別為8.12和4.75.故情形2的控制性能遠優(yōu)于情形1.

仿真執(zhí)行的軟硬件環(huán)境為：臺式機(CPU：Intel Core i3，2.93 GHz；RAM：4 G)；MATLAB 2012 LMI工具箱以及Multi-Parametric工具箱。LMI工具箱用于求解各個優(yōu)化問題；Multi-Parametric工具箱用于執(zhí)行相關的集合運算。

5 結 論

1)針對若干動態(tài)耦合子系統(tǒng)組成的大規(guī)模系統(tǒng)提出了一種分布式預測控制綜合方法。在分布式預測控制策略中，每個子系統(tǒng)必須采用其鄰居的假設預測狀態(tài)軌跡，此軌跡有別于真實預測狀態(tài)軌跡。通過將前述區(qū)別視作不確定性，并進一步考慮以下因素，給出分布式預測控制綜合方法；

2)考慮動態(tài)耦合特性，針對每個子系統(tǒng)給出了解耦的個體終端域，此終端域具有正不變性；為保證整體系統(tǒng)遞歸可行性和閉環(huán)穩(wěn)定性，采用收緊的相容性約束來抑制不確定性偏差；

3)最后，針對每個子系統(tǒng)建立優(yōu)化問題，并給出便于實施的分布式預測控制算法。

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