提升數(shù)學(xué)問題解決能力,重視基本方法教學(xué)

龍巖初級中學(xué)(364000) 王斌

提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力是數(shù)學(xué)老師重要的教學(xué)工作,在教學(xué)中如何提高學(xué)生解題能力上,很多老師想到的是,培養(yǎng)學(xué)生的整體思想、模型思想、化歸思想、分類思想等數(shù)學(xué)思想.往往忘記(或者沒有想到),了解掌握一般數(shù)學(xué)問題解決的基本方法是學(xué)生提高解題能力的重要抓手,是學(xué)生靈活地、綜合地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題的根本,更是讓我們的解題教學(xué)成有源之水.如何讓學(xué)生掌握一般數(shù)學(xué)問題解決的基本方法的方法呢?筆者認(rèn)為教師可以做好以下幾個方面.

一、明確基本方法,讓學(xué)生了解一般數(shù)學(xué)問題解決的基本方法.

解決數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)老師的基本能力和基本功,但我們發(fā)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)老師自己很會做題,但講解時,學(xué)生還是很難聽懂或者聽完后往往一知半解,觀其教學(xué),平時講題往往是這樣的:已知“什么”,可以得到什么,進(jìn)而得到什么;或者是:要得到這個結(jié)論,那么需要什么條件;要不就兩者簡單地結(jié)合.對于一般數(shù)學(xué)問題解決過程的基本方法滲透做得很少,甚至沒有.進(jìn)一步了解,許多數(shù)學(xué)老師對一般數(shù)學(xué)問題解決過程的基本方法都不清楚,講題僅僅憑經(jīng)驗(yàn).所以筆者認(rèn)為,作為一名數(shù)學(xué)老師掌握好一般數(shù)學(xué)問題解決過程的基本方法是一個基本要求.對于一般數(shù)學(xué)問題解決過程許多數(shù)學(xué)家都有闡述過,雖然各種闡述有所區(qū)別,但是大體是相似的.接下來我們看看美國數(shù)學(xué)教育家A·沙思菲爾德(A·Schoenfeld)對一般數(shù)學(xué)問題解決過程的闡述:(1)了解問題,(2)嘗試?yán)斫庹麄€問題,(3)試探一些思路,(4)尋找新信息和局部評價;(5)實(shí)施計劃;(6)證實(shí);(7)以上各個階段之間的聯(lián)絡(luò)和轉(zhuǎn)變.對于初中學(xué)生來說也許并不能對這樣的闡述有很好的理解,但老師可以在這樣闡述的基礎(chǔ)上,用學(xué)生可以理解的語言來表述.如:(1)我們要解決的是什么問題(問題中有什么已知條件和未知條件),(2)解決問題有什么思路或都有什么經(jīng)驗(yàn)可用,(3)由條件可得出哪些結(jié)論,(4)這些結(jié)論哪些對問題解決可能有用,(5)用已知的條件和得到的結(jié)論組合嘗試進(jìn)一步解決問題(推理),(6)寫出解題(或證明)過程.

二、暴露思維過程,讓學(xué)生體驗(yàn)一般數(shù)學(xué)問題解決的方法.

同樣的題目,同樣的解題過程,不同老師的講解,對學(xué)生獲得的知識,思維的啟發(fā),解題能力的提高就有很大的差距,這就與老師在講題的時候是否善于暴露問題解決的思維過程,是否在這一過程中滲透解題的一般方法,是否促進(jìn)了學(xué)生會思考,能探索,是否讓學(xué)生在這一過程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)解題的邏輯性、嚴(yán)密性、發(fā)展性、巧妙性等進(jìn)而激發(fā)解題的參與性和積極性有很大的關(guān)系.下面以一道簡單的幾何證明題為例,通過暴露思維過程的方法,讓學(xué)生體驗(yàn)一般數(shù)學(xué)問題解決的方法.

例如圖1,F,G是OA上的兩點(diǎn),M,N是OB上的兩點(diǎn),且FG=MN,△PFG的面積和△PMN的面積相等,求證:OP平分∠AOB.

圖1

提問(1)我們從哪里開始?從題目的敘述開始,我們要解決的是什么問題,有那些條件,那些結(jié)論;條件:FG=MN、△PFG的面積和△PMN的面積相等,結(jié)論:OP平分∠AOB

(2)我能做什么?說到兩個三角形面積相等,我們可以想到小學(xué)學(xué)過的三角形的面積公式:底乘以高除以二,FG、MN分別是△PFG、△PMN的邊,再由FG=MN我們可以想到FG邊上的高和MN邊上的高相等,如圖2,分別畫出兩條高PE、PH,則有PE=PH.

圖2

(3)要解決的問題:證明OP平分∠AOB,證明射線為一個角的平分線,我們學(xué)習(xí)了什么方法(思路與經(jīng)驗(yàn)):證射線分成的兩個角相等(如圖,證∠AOP=∠BOP)證射線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等(角平分線的判定);

(4)前面得到的結(jié)論對問題解決可能有用嗎?我們前面得到的結(jié)論是兩條高相等即PE⊥OB,PH⊥OA且PE=PH.

(5)用已知的條件:△PFG的面積和△PMN的面積相等,得到結(jié)論:點(diǎn)P到角的兩邊距離相等,滿足角平分線判定的條件這樣問題就可以解決了.

(6)從已知出發(fā),讓我們嘗試寫出證明過程.

數(shù)學(xué)老師在解題教學(xué)中,要經(jīng)常有意識地用一般數(shù)學(xué)問題解決的方法暴露解題的思維過程,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)用基本方法解決數(shù)學(xué)問題中感受到水到渠成的體驗(yàn),學(xué)生就會逐步地運(yùn)用并掌握一般數(shù)學(xué)問題解決的方法.

三、通過變式拓展,讓學(xué)生熟練運(yùn)用一般數(shù)學(xué)問題解決的方法

人們對事物的認(rèn)知都有個循序漸進(jìn)的過程,對數(shù)學(xué)問題解決方法的理解與能力的提高也是一個從感知、了解、理解、掌握與運(yùn)用的過程.學(xué)生對一般數(shù)學(xué)問題解決的有了一定的了解后,為了促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解與掌握一般數(shù)學(xué)問題解決的方法,我們可以在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī),(學(xué)生學(xué)習(xí)了兩個或兩以上相類似的題型后或者在期中、期末、中考復(fù)習(xí)),以試題為源頭,以模型為基礎(chǔ),通過變式來鞏固,通過拓展來提升的方式,讓學(xué)生獲取解題通法,掌握解題技巧,從而熟練運(yùn)用一般數(shù)學(xué)問題解決的方法

試題十邊形有幾條對角線?

分析什么是多邊形的對角線(連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段),能畫出十邊形全部的對角線嗎?(很難).

模型我們有畫過五邊形的對角線嗎?(有過),怎樣畫比較不會遺漏呢?(從第一個點(diǎn)出發(fā),畫出所有對角線;再從第二個點(diǎn)出發(fā),畫出所有對角線,依次類推從第三個點(diǎn)、第四個點(diǎn)、第五個點(diǎn)出發(fā)畫出所有對角線),從第一個點(diǎn)出發(fā)可以畫對角線可以畫多少條?(5?3=2),每個頂點(diǎn)都可以畫2條,但這樣每一條對線都會重復(fù)畫一次,所以,共有對角線(5?3)×5÷2=5條.

解決問題 畫十邊形的對角線與畫五邊形的對角線相類似,每個點(diǎn)出發(fā)除了自己本身和兩個相鄰的兩個頂點(diǎn)與(10?3)個點(diǎn)可以連成對角線,共有對角線(10?3)×10÷2=35條.

變式n邊形有幾條對角線?(每個點(diǎn)出發(fā)可以畫(n?3)條對角線,有n個點(diǎn)且每條對角線都會重復(fù)算一次,所以共有條對角線.)

拓展

1、直線上有n個點(diǎn),以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有幾條?

2、銳角內(nèi)部有n條以銳角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的射線,則圖形中共有幾個角?

3、n條直線兩兩相交,最多有幾個交點(diǎn)?

4、班上有n個同學(xué),每個同學(xué)都要和其他同學(xué)握手一次,全班共握手幾次?

歸納提升以上的問題都是一組對象中有n個元素,每個元素與其他元素聯(lián)系得到結(jié)果,且每個元素與其它的元素的聯(lián)系得到結(jié)果的個數(shù)(m)是一樣的.那么總的結(jié)果數(shù)是

通過恰當(dāng)?shù)淖兪健⑼卣褂?xùn)練能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)(問題中有什么,要做什么)與解決問題(經(jīng)驗(yàn)與知識遷移、探究與推理)的能力.

數(shù)學(xué)問題的解決是數(shù)學(xué)活動的根本與目的,它需要數(shù)學(xué)知識積累,更需要掌握一般數(shù)學(xué)問題解決的基本方法,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解決過程中,養(yǎng)成觀察、猜想、歸納的數(shù)學(xué)習(xí)慣,使學(xué)生在“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中有較大提高.

[1]G·波利亞,怎樣解題――數(shù)學(xué)思維的新方法[M],上海:上海世紀(jì)出版股份有限公司出版發(fā)行.

[2]王斌,在數(shù)學(xué)試題探究中提煉模型獲取通法[J],福建基礎(chǔ)教育研究:初中版2016(5).