三次數(shù)學(xué)危機(jī)

申世林

摘 要：數(shù)學(xué)史是一部漫長(zhǎng)的歷史，每一次危機(jī)都會(huì)帶來(lái)不同程度的變革。迄今為止，數(shù)學(xué)史中發(fā)生了三次數(shù)學(xué)危機(jī)，都在不同程度上推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)現(xiàn)在幾何的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響；第二、三次危機(jī)則直接關(guān)聯(lián)著我國(guó)數(shù)學(xué)分析的發(fā)展。綜上所述，三次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的影響是其他歷史事件所不能比擬的。從世界范圍來(lái)說(shuō)，三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的新內(nèi)容都極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)危機(jī) 數(shù)學(xué)發(fā)展 中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-9082（2018）05-0-01

一、引言

不同的歷史發(fā)展階段，人們的認(rèn)識(shí)是不同的，數(shù)學(xué)也不例外。由于人類的思維在不同階段有一定的相對(duì)性和局限性，因此，如果一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象不能用當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)理論解釋，而且影響到了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，我們便認(rèn)為這就是數(shù)學(xué)危機(jī)。數(shù)學(xué)中有許多矛盾，比如加法與減法、微分與積分、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。我們可以把數(shù)學(xué)史的發(fā)展認(rèn)為是一個(gè)矛盾斗爭(zhēng)的開(kāi)始、斗爭(zhēng)的激化以及解決的過(guò)程。

二、三次數(shù)學(xué)危機(jī)

1.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是希臘的畢達(dá)哥拉斯的悖論。當(dāng)時(shí)人們一直認(rèn)為一切事物都可以用整數(shù)或者整數(shù)比來(lái)表示。但是這一信條卻遭到了質(zhì)疑，在勾股定理的應(yīng)用中，一些直角三角形的斜邊不能被表示為整數(shù)或者整數(shù)比。這一悖論觸犯了畢達(dá)哥拉斯的根本信條，導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯關(guān)于數(shù)的信條的崩裂，甚至關(guān)于以數(shù)為基礎(chǔ)模型的破產(chǎn)，所以被稱為“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

這次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，在幾何中的某些真理和算術(shù)是不相關(guān)的，幾何量并不是完全可以由整數(shù)或者整數(shù)比表示出來(lái)的。這次數(shù)學(xué)危機(jī)使整數(shù)權(quán)威的地位被動(dòng)搖，與此同時(shí)，幾何的地位逐漸升高。數(shù)學(xué)家們通過(guò)對(duì)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的研究，給我們帶來(lái)了無(wú)理數(shù)，并且提出了一個(gè)含有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的數(shù)類，稱之為實(shí)數(shù)，并建立了一套完整的實(shí)數(shù)理論?？偟膩?lái)說(shuō)，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了不朽的貢獻(xiàn)。

2.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

17世紀(jì)末，牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲首先創(chuàng)造了微積分，形成了微積分學(xué)。由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有具體嚴(yán)密的理論，只有方法，所以很多漏洞頻頻出現(xiàn)。英國(guó)哲學(xué)家貝克萊將矛盾直接指向了無(wú)窮小問(wèn)題。牛頓等人不能自圓其說(shuō)，在當(dāng)時(shí)引起了激烈的影響，被稱為是“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)讓數(shù)學(xué)家們感受到了咄咄逼人的氣勢(shì)，數(shù)學(xué)家們不得不設(shè)法解決這個(gè)無(wú)窮小的問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西起了舉足輕重的作用，他建立了極限理論，并且提出了“無(wú)窮小量是以零為極限但永遠(yuǎn)不為零的變量”，為微積分在極限理論上奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。對(duì)于悖論問(wèn)題的產(chǎn)生以及解決，使得數(shù)學(xué)理論體系得到不斷的發(fā)展，可以說(shuō)危機(jī)在一定程度上是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的主要?jiǎng)恿Α?/p>

3.第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

與前兩次數(shù)學(xué)危機(jī)有所不同的是，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)是由于突然的沖擊出現(xiàn)的。英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素的“羅素悖論”涉及某理發(fā)師的具體困境，當(dāng)時(shí)的理發(fā)師稱自己給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只限自己本村。于是人們就非常疑惑，“理發(fā)師是否可以給自己刮臉呢？”如果按照理發(fā)師自己宣稱的原則就應(yīng)該可以為自己刮臉。如果他不能為自己刮臉，那么他就連自己宣稱的規(guī)則也不能夠符合。此悖論的出現(xiàn)動(dòng)搖了整座數(shù)學(xué)大廈，而且是絕無(wú)僅有的。羅素認(rèn)為人們?nèi)绻胍龕盒匝h(huán)的原理，就必須遵循一個(gè)原理，即涉及一個(gè)整體的對(duì)象時(shí)，那么他本身就不應(yīng)該是該集體的成員。于是，羅素提出了撼動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)圈的分支類型論，并得到了很多數(shù)學(xué)家的一致贊同，最終共同形成了一個(gè)完整的集合論公理體系。此理論的出現(xiàn)不僅消除了羅素悖論，同時(shí)消除了集合論的其他悖論。從此之后，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)便銷聲匿跡了。

三、三次數(shù)學(xué)危機(jī)折射的數(shù)學(xué)思想

三次數(shù)學(xué)危機(jī)不僅是數(shù)學(xué)史上的關(guān)鍵點(diǎn)，而且在危機(jī)中所產(chǎn)生的哲學(xué)思想對(duì)我們也有很大的啟發(fā)作用。數(shù)學(xué)思想一向堅(jiān)持清晰易懂的原則，清晰易懂的數(shù)學(xué)問(wèn)題也更能吸引人們的興趣，復(fù)雜的問(wèn)題則可能會(huì)使得人們望而卻步。通往真理的道路注定是一條曲折的道路，但是其背后隱藏的真理卻是指引我們前進(jìn)的明燈。三次數(shù)學(xué)危機(jī)不僅撼動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程，它所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想也是非常重要的。數(shù)學(xué)危機(jī)所帶來(lái)的思想使得數(shù)學(xué)具有多樣性，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了不少的豐功偉績(jī)。

四、從我國(guó)發(fā)展看數(shù)學(xué)危機(jī)

我國(guó)的數(shù)學(xué)危機(jī)伴隨著中國(guó)人民共和國(guó)的誕生出現(xiàn)了生機(jī)勃勃的景象，這是我國(guó)社會(huì)主義建設(shè)的必然要求，同時(shí)也是我們黨和國(guó)家高度重視的科學(xué)技術(shù)成果。我國(guó)在1950年開(kāi)始籌建數(shù)學(xué)研究所，匆匆兩年的時(shí)間，在1952年就正式成立。我們不得不承認(rèn)，數(shù)學(xué)對(duì)我們現(xiàn)代生活的影響是與日俱增的。在現(xiàn)今的生活中，數(shù)學(xué)滲透在我們工作生活的方方面面。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)的普及無(wú)論是對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，還是對(duì)于臥鋪普通民眾來(lái)說(shuō)都是需要引起重視的課題。

五、總結(jié)

三次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的影響是巨大的，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使得古希臘的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)產(chǎn)生了根本性的變化，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)柯西指出了無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都是變量，而且還定義了導(dǎo)數(shù)和積分，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)建立了實(shí)數(shù)理論，并且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上建立了極限理論。依賴于數(shù)學(xué)危機(jī)，公理化方法和數(shù)理邏輯等很多新穎的學(xué)科都被建立起來(lái)。不管是我國(guó)還是世界的發(fā)展都離不開(kāi)三次數(shù)學(xué)危機(jī)所產(chǎn)生的新內(nèi)容。

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