一種水聲寬帶雙曲調(diào)頻信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)方法

李 軍， 林 秋 華， 王 凱， 康 春 玉， 楊 秀 庭

( 1.大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部 信息與通信工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024；2.海軍大連艦艇學(xué)院 水武與防化系， 遼寧 大連 116018；3.大連東軟信息學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系， 遼寧 大連 116023 )

0 引 言

寬帶線(xiàn)性調(diào)頻(linear frequency modulation，LFM)信號(hào)在通信、雷達(dá)、聲吶等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]．與電磁波及其傳播的大氣環(huán)境相比，水下聲波具有更低的傳播速度和更加復(fù)雜的海洋傳播環(huán)境．主動(dòng)聲吶探測(cè)脈沖如果采用LFM信號(hào)，會(huì)產(chǎn)生較大的多普勒頻移進(jìn)而導(dǎo)致匹配濾波嚴(yán)重失配，影響主動(dòng)聲吶的探測(cè)性能．因此，借鑒蝙蝠、海豚等生物的回聲定位系統(tǒng)，主動(dòng)聲吶在定位過(guò)程中一般發(fā)射具有多普勒不變性的寬帶雙曲調(diào)頻(hyperbolic frequency modulation，HFM)信號(hào)[3-5]．在海戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中，存在大量的HFM信號(hào)，水面艦艇或潛艇如何應(yīng)用被動(dòng)拖曳線(xiàn)列陣聲吶實(shí)現(xiàn)對(duì)這些信號(hào)的識(shí)別、定位值得深入研究．

目標(biāo)方向被動(dòng)估計(jì)也被稱(chēng)為信號(hào)波達(dá)方向(direction of arrival，DOA)估計(jì)，由于不需要向外界發(fā)射信號(hào)，平臺(tái)自身具有很好的隱蔽性．針對(duì)寬帶調(diào)頻信號(hào)的DOA估計(jì)問(wèn)題一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)[6-12]．陶然等[6-8]根據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉域LFM信號(hào)的高聚焦性，首先提出了基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT)和多重信號(hào)分類(lèi)(multiple signal classification，MUSIC)算法的LFM信號(hào)高分辨DOA估計(jì)方法(FRFT-MUSIC)，并在雷達(dá)信號(hào)DOA估計(jì)領(lǐng)域得到了大量的應(yīng)用．Cui等[9]針對(duì)多途環(huán)境下LFM信號(hào)，結(jié)合FRFT和旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(estimated by the signal parameters via rotation invariance technique，ESPRIT)提出了一種新的DOA估計(jì)方法(FRFT-ESPRIT)，實(shí)現(xiàn)了多途條件下寬帶相干LFM信號(hào)DOA估計(jì)．Jin等[10]將FRFT和虛擬陣列變換相結(jié)合，解決了常規(guī)MUSIC 算法和ESPRIT算法中相干信號(hào)的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題．王瑞等[11]對(duì)FRFT-MUSIC算法中心頻率估計(jì)進(jìn)行了改進(jìn)，提高了DOA估計(jì)精度．劉德亮等[12]提出了一種短快拍條件下LFM信號(hào)DOA估計(jì)方法，僅依靠少量快拍即可實(shí)現(xiàn)對(duì)LFM信號(hào)的高分辨率DOA估計(jì)．在水聲信號(hào)處理中，陳艷麗等[13-14]研究了基于FRFT的水下LFM信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，李軍等[15]應(yīng)用FRFT實(shí)現(xiàn)了水聲LFM信號(hào)的被動(dòng)測(cè)向和測(cè)距．這些方法主要都是針對(duì)LFM信號(hào)進(jìn)行信號(hào)參數(shù)和DOA估計(jì)．LFM與HFM信號(hào)都是調(diào)頻信號(hào)，LFM信號(hào)頻率呈線(xiàn)性變化，應(yīng)用FRFT技術(shù)可實(shí)現(xiàn)較好的定位效果，然而HFM信號(hào)的頻率呈非線(xiàn)性變化，直接應(yīng)用FRFT技術(shù)進(jìn)行DOA估計(jì)則會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，如何有效利用FRFT技術(shù)提高在聲吶領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的HFM信號(hào)DOA估計(jì)精度是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題．

針對(duì)寬帶HFM信號(hào)的DOA估計(jì)問(wèn)題，本文結(jié)合短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(short-time fractional Fourier transform，STFRFT)的基本思想和MUSIC 算法提出一種基于STFRFT的寬帶HFM信號(hào)DOA估計(jì)方法，簡(jiǎn)稱(chēng)STFRFT-MUSIC，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)本文方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證．

1 基本理論

首先給出LFM、HFM信號(hào)的基本模型，推導(dǎo)兩種信號(hào)初始頻率、截止頻率、中心頻率和調(diào)頻率之間的關(guān)系，并結(jié)合分段線(xiàn)性化思想用多個(gè)STLFM信號(hào)表示HFM信號(hào)，在此基礎(chǔ)上建立均勻線(xiàn)列陣遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶HFM信號(hào)接收數(shù)據(jù)模型．

1.1 LFM信號(hào)模型

設(shè)fl、fh分別為L(zhǎng)FM信號(hào)的初始頻率和截止頻率，μ為信號(hào)的調(diào)頻率，T為周期，則LFM信號(hào)模型[1-2]為

s(t)=A(t)[exp(-jπ(2flt+μt2))]；t∈[0，T]

(1)

LFM信號(hào)的瞬時(shí)頻率fsa(t)=fl+μt，LFM信號(hào)的初始頻率、截止頻率與調(diào)頻率之間的關(guān)系為

fh=fl+μT，μ=(fh-fl)/T

(2)

1.2 HFM信號(hào)模型

設(shè)fz為HFM信號(hào)的中心頻率，g為信號(hào)頻率變化率，T為周期，則HFM信號(hào)模型[3-4]為

t∈[-T/2，T/2]

(3)

HFM信號(hào)的瞬時(shí)頻率為

(4)

設(shè)fl=fsa(-T/2)，fh=fsa(T/2)分別為HFM信號(hào)的初始頻率和截止頻率，即

(5)

瞬時(shí)頻率fsa(t)在fl和fh之間連續(xù)單調(diào)，服從雙曲分布．HFM信號(hào)的帶寬B=fh-fl．根據(jù)式(4)、(5)可以推導(dǎo)出HFM信號(hào)fl、fh、fz和g之間關(guān)系：

(6)

(7)

(8)

1.3 HFM信號(hào)陣列接收模型

設(shè)均勻線(xiàn)列陣聲吶有M個(gè)陣元，間距為d，其中1號(hào)陣元為參考陣元．遠(yuǎn)場(chǎng)環(huán)境存在Q個(gè)寬帶HFM信源，其陣列接收數(shù)據(jù)模型如圖1所示．

圖1 均勻線(xiàn)列陣聲吶遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶HFM信號(hào)接 收模型Fig.1 The wideband HFM signal receiving model with uniform linear array sonar in far field

根據(jù)式(8)，第q個(gè)HFM信號(hào)用K個(gè)STLFM信號(hào)可以近似地表示為

q=1,2,…,Q

(9)

q=1，2，…,Q，k=1，2，…,K

(10)

設(shè)θq為第q個(gè)信號(hào)到均勻線(xiàn)列陣的入射角，c為聲速，第q個(gè)信號(hào)到達(dá)第m個(gè)陣元時(shí)相對(duì)于參考陣元(1號(hào)陣元)的時(shí)延τqm為[6-7]

τqm=(m-1)dsinθq/c

(11)

則第m個(gè)陣元的接收信號(hào)時(shí)域表示形式為

m=1，2，…，M

(12)

X(t)=(X(1)(t)X(2)(t) …X(K)(t))

(13)

(14)

(15)

2 短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉域HFM信號(hào)DOA估計(jì)方法

本文利用短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉域HFM信號(hào)接收模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)的陣列數(shù)據(jù)模型，將HFM信號(hào)時(shí)變陣列流形矩陣變換為多個(gè)短時(shí)固定的陣列流形矩陣，利用MUSIC算法實(shí)現(xiàn)多個(gè)HFM信號(hào)的高分辨DOA估計(jì)．

2.1 短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉域HFM信號(hào)接收模型

(16)

(17)

n=-(N-1)/2，…，0，…，(N-1)/2

(18)

(19)

(20)

f^(k)q

μ^(k)q

設(shè)(，)為第k時(shí)段STLFM信號(hào)的初始頻率和調(diào)頻率估計(jì)值，可由式(20)完成估計(jì)．

(21)

(22)

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

選擇分?jǐn)?shù)階傅里葉域Q個(gè)峰值點(diǎn)上的數(shù)據(jù)作為第m個(gè)陣元上的第k時(shí)段接收數(shù)據(jù)的分?jǐn)?shù)階傅里葉域輸出：

(27)

陣列所有陣元接收信號(hào)的第k時(shí)段分?jǐn)?shù)階傅里葉域輸出為

(28)

將K個(gè)時(shí)段的分?jǐn)?shù)階傅里葉域輸出組合在一起就可以得到遠(yuǎn)場(chǎng)寬帶HFM信號(hào)在分?jǐn)?shù)階傅里葉域的接收數(shù)據(jù)模型

X=(X(1)X(2)…X(K))

(29)

其中

X(k)=A(k)(θ)S(k)+N

(30)

(31)

2.2 HFM信號(hào)DOA估計(jì)方法

(32)

(33)

將各個(gè)時(shí)段信號(hào)得到的空間譜進(jìn)行求和運(yùn)算得到第q個(gè)HFM信號(hào)的STFRFT-MUSIC空間譜為

(34)

對(duì)上式進(jìn)行最大值搜索，STFRFT-MUSIC空間譜Pq(θ)最大值對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)θq即為第q個(gè)信號(hào)的DOA估計(jì)．

綜上所述，給出本文提出的STFRFT-MUSIC 算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟：

(8)重復(fù)(2)～(7)，分別得到第q個(gè)HFM信號(hào)在各個(gè)時(shí)段上的STFRFT-MUSIC空間譜．

(9)由式(34)得到第q個(gè)HFM信號(hào)對(duì)應(yīng)的STFRFT-MUSIC空間譜Pq(θ)，極大值對(duì)應(yīng)的方位角θmax為該信號(hào)DOA估計(jì)．

(10)如果有多個(gè)HFM信號(hào)，重復(fù)(2)～(9)，逐一得到每個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)的DOA估計(jì)．

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，開(kāi)展了3種仿真實(shí)驗(yàn)．首先，對(duì)LFM、HFM、STLFM信號(hào)的頻譜分布情況進(jìn)行了仿真研究；其次，以拖曳線(xiàn)列陣為背景仿真研究了傳統(tǒng)FRFT-MUSIC方法和本文STFRFT-MUSIC方法對(duì)HFM信號(hào)頻譜和DOA估計(jì)的性能；最后，重點(diǎn)分析了時(shí)域分段數(shù)、信噪比和目標(biāo)方位等對(duì)算法性能的影響．

3.1 HFM與STLFM信號(hào)頻譜分析

設(shè)主動(dòng)聲吶信號(hào)的脈沖寬度T=1 s，初始頻率fl=1 kHz、截止頻率fh=2 kHz，LFM信號(hào)與HFM信號(hào)頻譜分布見(jiàn)圖2，LFM信號(hào)的頻率特性呈線(xiàn)性單調(diào)遞增，而HFM信號(hào)的頻率特性呈非線(xiàn)性單調(diào)遞增．如果將HFM信號(hào)在時(shí)域分別等分成2、5、10段，每一段信號(hào)都用一個(gè)STLFM信號(hào)來(lái)代替，新的多段STLFM信號(hào)的頻譜分布見(jiàn)圖2，可以看出，隨著時(shí)域分段數(shù)的逐步增加，用多個(gè)STLFM信號(hào)來(lái)近似表示HFM信號(hào)是可行的．

圖2 LFM信號(hào)和HFM信號(hào)的頻譜Fig.2 The spectrum of LFM signal and HFM signal

3.2 時(shí)域分段與頻率估計(jì)分析

仿真實(shí)驗(yàn)中，原始信號(hào)采用上節(jié)仿真中的HFM信號(hào)，線(xiàn)列陣陣元數(shù)M=100，陣元間距d=0.2 m，聲速c=1 500 m/s，采樣頻率fs=48 kHz，目標(biāo)位于0°，方位掃描步長(zhǎng)0.01°，噪聲為信噪比為-3 dB的加性高斯白噪聲．

根據(jù)本文所提出的方法，首先應(yīng)該在時(shí)域?qū)邮諗?shù)據(jù)進(jìn)行分段處理，本節(jié)重點(diǎn)研究具體的分段數(shù)對(duì)算法性能的影響．根據(jù)式(19)和(20)，應(yīng)用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可以實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)初始頻率和調(diào)頻率的估計(jì)，當(dāng)時(shí)域信號(hào)不分段和分段數(shù)分別為2、5、10時(shí)，圖3給出了本文方法對(duì)HFM信號(hào)頻率分布的估計(jì)情況．當(dāng)時(shí)域不分段時(shí)，就是基于FRFT方法對(duì)HFM信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可以看出初始頻率要遠(yuǎn)高于HFM信號(hào)的初始頻率(1 kHz)，而截止頻率要遠(yuǎn)低于HFM信號(hào)的截止頻率(2 kHz)．當(dāng)分段數(shù)為2時(shí)，頻率參數(shù)的估計(jì)誤差依然較大；當(dāng)分段數(shù)增加到5時(shí)，頻率參數(shù)的估計(jì)性能得到大幅的提高；當(dāng)分段數(shù)增加到10時(shí)，對(duì)HFM信號(hào)的頻率估計(jì)已經(jīng)非常逼近原始信號(hào)．因此在后續(xù)的仿真過(guò)程中在時(shí)域?qū)⒔邮諗?shù)據(jù)分成5段或10段來(lái)完成HFM信號(hào)的DOA估計(jì)．

圖3 不同時(shí)域分段數(shù)條件下頻率估計(jì)情況Fig.3 Frequency estimation under different time domain piecewise numbers

圖4給出了分別應(yīng)用FRFT-MUSIC和STFRFT-MUSIC方法對(duì)HFM目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)的空間譜，其中STFRFT-MUSIC-5和STFRFT-MUSIC-10分別表示在時(shí)域分成5段和10段進(jìn)行DOA估計(jì)．可以看出由于STFRFT-MUSIC 方法在時(shí)域進(jìn)行了分段處理，對(duì)HFM信號(hào)的參數(shù)估計(jì)比較準(zhǔn)確，因此在后續(xù)的仿真實(shí)驗(yàn)中對(duì)HFM信號(hào)的DOA(θq)估計(jì)誤差較小，隨著分段數(shù)的增多主瓣寬度會(huì)逐漸變窄，旁瓣抑制效果也逐漸變好，與FRFT-MUSIC方法相比具有較高的方位分辨率和估計(jì)精度．

通過(guò)本節(jié)仿真可以看出雖然隨著時(shí)域分段數(shù)的增加本文STFRFT-MUSIC方法的探測(cè)性能會(huì)逐步提高，在理論上隨著時(shí)域分段數(shù)的無(wú)限增大STFRFT所估計(jì)出的HFM信號(hào)頻率分布情況將無(wú)限逼近原始信號(hào)的頻率分布情況，但這是建立在系統(tǒng)采樣頻率足夠大的基礎(chǔ)之上．在實(shí)際的主動(dòng)聲吶系統(tǒng)中，采樣頻率一般為固定值，隨著分段數(shù)的增大，每段時(shí)長(zhǎng)將隨之減小，對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)數(shù)也相應(yīng)減少．由于海洋環(huán)境的復(fù)雜性和聲傳播多途效應(yīng)的影響，較少的采樣點(diǎn)數(shù)必然會(huì)影響STFRFT-MUSIC方法的估計(jì)性能，因此在實(shí)際使用過(guò)程中時(shí)域分段數(shù)不宜過(guò)高．由于涉及時(shí)域的分段，STFRFT-MUSIC方法對(duì)于脈沖寬度較小、頻率變化不大的近程主動(dòng)聲吶不具備優(yōu)勢(shì)，而對(duì)于脈沖寬度大于0.5 s、頻率變化率范圍大于0.5 kHz的遠(yuǎn)程低頻主動(dòng)聲吶則具有明顯優(yōu)勢(shì)．

圖4 STFRFT-MUSIC與FRFT-MUSIC空間譜Fig.4 The spatial spectrum of STFRFT-MUSIC and FRFT-MUSIC

3.3 信噪比對(duì)算法性能的影響

本節(jié)采用蒙特卡羅仿真分析方法研究信噪比和目標(biāo)方位對(duì)算法性能的影響，應(yīng)用均方根誤差(estimated root mean-square error，erms)來(lái)評(píng)價(jià)算法DOA估計(jì)性能：

erms(θq)=1K∑Kk=1(θq-θ^qk)2, q=1,2,…,Q

(35)

式中：θq為第q個(gè)HFM信號(hào)的真實(shí)方位，

θ^

qk為第k次仿真DOA估計(jì)值，K為蒙特卡羅仿真次數(shù)．

設(shè)HFM目標(biāo)信號(hào)位于10°，其他仿真條件同上節(jié)，當(dāng)信噪比從-20 dB變化到20 dB時(shí)，分別應(yīng)用FRFT-MUSIC與STFRFT-MUSIC方法進(jìn)行DOA估計(jì)，圖5給出了不同信噪比Rsn條件下兩種方法的DOA估計(jì)空間譜，圖6給出了通過(guò)100次蒙特卡羅仿真后兩種方法在不同信噪比下DOA估計(jì)的均方根誤差曲線(xiàn)．

(a) FRFT-MUSIC

(b) STFRFT-MUSIC-5

(c) STFRFT-MUSIC-10

圖5 兩種方法在不同SNR條件下DOA估計(jì)

Fig.5 DOA estimation of two methods under different SNR

圖6 不同信噪比條件下兩種方法的均方 根誤差曲線(xiàn)Fig.6 The RMSE curve of two methods under different SNR

可以看出，F(xiàn)RFT-MUSIC方法在信噪比高于-5 dB時(shí)能夠?qū)δ繕?biāo)DOA進(jìn)行有效估計(jì)，但始終存在系統(tǒng)誤差；STFRFT-MUSIC-5和STFRFT-MUSIC-10分別在信噪比高于-10 dB和-15 dB時(shí)可對(duì)目標(biāo)DOA進(jìn)行有效估計(jì)，STFRFT-MUSIC方法的系統(tǒng)誤差要遠(yuǎn)小于FRFT-MUSIC 方法，該系統(tǒng)誤差隨著時(shí)域分段數(shù)的增多而逐漸減?。?/p>

上述仿真是針對(duì)噪聲為高斯白噪聲的情況，下面考慮噪聲為有色噪聲情況，設(shè)噪聲的能量主要分布在1.35～1.55 kHz，兩種方法在該有色噪聲干擾下DOA估計(jì)的均方根誤差曲線(xiàn)如圖7所示．

圖7 有色噪聲干擾下兩種方法的均方根誤差曲線(xiàn)Fig.7 The RMSE curve of two methods under colored noise

可以看出，有色噪聲對(duì)STFRFT-MUSIC方法的影響有限，而對(duì)FRFT-MUSIC方法的影響則較大，這是由于STFRFT-MUSIC方法采用了時(shí)域分段處理．對(duì)于STFRFT-MUSIC-5方法而言，該有色噪聲干擾的是第2、3時(shí)段信號(hào)，對(duì)其他3個(gè)時(shí)段信號(hào)的干擾不大；對(duì)于STFRFT-MUSIC-10 方法而言，其干擾的是第4、5、6段信號(hào)，對(duì)于其他7個(gè)時(shí)段信號(hào)的干擾不大．STFRFT-MUSIC 方法對(duì)于干擾頻段內(nèi)短時(shí)信號(hào)DOA估計(jì)性能較差，但對(duì)其他頻段的短時(shí)信號(hào)DOA估計(jì)則較好，根據(jù)式(34)STFRFT-MUSIC方法最終的DOA估計(jì)結(jié)果是多個(gè)時(shí)段信號(hào)DOA估計(jì)結(jié)果的和，因此該有色噪聲對(duì)STFRFT-MUSIC方法的影響有限．對(duì)于FRFT-MUSIC方法，由于沒(méi)有在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分段處理，在DOA估計(jì)過(guò)程中將受有色噪聲干擾的HFM信號(hào)作為一個(gè)整體進(jìn)行參數(shù)的估計(jì)，噪聲對(duì)其參數(shù)估計(jì)的影響較大，進(jìn)而影響了DOA估計(jì)性能，因此本文方法的抗有色噪聲干擾能力要高于FRFT-MUSIC方法．

3.4 目標(biāo)方位對(duì)算法性能的影響

本節(jié)研究目標(biāo)方位變化對(duì)算法性能的影響，基本仿真條件同上節(jié)，噪聲為高斯白噪聲，信噪比為-3 dB，設(shè)HFM目標(biāo)信號(hào)方位從-90°變化到90°，圖8給出了不同目標(biāo)方位條件下兩種方法的DOA估計(jì)空間譜，圖9給出了通過(guò)100次蒙特卡羅仿真后兩種方法在不同目標(biāo)方位條件下DOA估計(jì)的均方根誤差曲線(xiàn)．可以看出，兩種方法對(duì)0°方向目標(biāo)估計(jì)誤差最小，隨著目標(biāo)方位角的增大，誤差會(huì)逐漸增大，當(dāng)目標(biāo)方位角大于70°時(shí)DOA估計(jì)誤差增大明顯．在方位估計(jì)精度方面STFRFT-MUSIC-10最好，STFRFT-MUSIC-5次之，F(xiàn)RFT-MUSIC最差．

(a) FRFT-MUSIC

(b) STFRFT-MUSIC-5

(c) STFRFT-MUSIC-10

圖8 兩種方法在不同目標(biāo)方位條件下DOA估計(jì)

Fig.8 DOA estimation of two methods under different target azimuth

圖9 不同目標(biāo)方位條件下兩種方法的均方 根誤差曲線(xiàn)Fig.9 The RMSE curve of two methods under different target azimuth

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)海戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中大量存在的寬帶HFM信號(hào)DOA估計(jì)問(wèn)題，本文結(jié)合短時(shí)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換思想，提出了一種基于STFRFT的HFM信號(hào)DOA估計(jì)方法．通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)LFM、HFM、STLFM等信號(hào)的頻譜進(jìn)行了分析，研究了時(shí)域分段數(shù)、信噪比、目標(biāo)方位等對(duì)算法性能的影響，對(duì)該方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證．與傳統(tǒng)方法相比，本文方法具有較高的方位分辨率和估計(jì)精度，在被動(dòng)拖曳線(xiàn)列陣聲吶或多基地聲吶系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用前景．

[1] BARBAROSSA S. Analysis of multicomponent LFM signals by a combined Wigner-Hough transform [J].IEEETransactionsonSignalProcessing, 1995,43(6):1511-1515.

[2] LEE D H, SHIN J W, DO D W,etal. Robust LFM target detection in wideband sonar systems [J].IEEETransactionsonAerospace&ElectronicSystems, 2017,53(5):2399-2412.

[3] 朱 埜,倪伯林. 動(dòng)物聲吶信號(hào)在魚(yú)雷中的應(yīng)用[J]. 聲學(xué)學(xué)報(bào), 1999,24(1):29-44.

ZHU Ye, NI Bolin. Application of animal sonar signals in torpedoes [J].ActaAcustica, 1999,24(1):29-44.(in Chinese)

[4] 龐玉紅,嚴(yán) 琪,王世闖. 基于瞬時(shí)頻率的雙曲調(diào)頻信號(hào)距離估計(jì)誤差分析[J]. 聲學(xué)技術(shù), 2016,35(5):421-425.

PAN Yuhong, YAN Qi, WANG Shichuang. Instantaneous-frequency-based ranging bias analysis of HFM waveforms [J].TechnicalAcoustics, 2016,35(5):421-425. (in Chinese)

[5] DUTTA-ROY A. Radar spectrum engineering and management:technical and regulatory issues [J].ProceedingsoftheIEEE, 2015,103(1):77-84.

[6] 陶 然,周云松. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的寬帶LFM信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)新算法[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2005,25(10):895-899.

TAO Ran, ZHOU Yunsong. A novel method for the direction of arrival estimation of wideband linear frequency modulated sources based on fractional Fourier transform [J].TransactionsofBeijingInstituteofTechnology, 2005,25(10):895-899. (in Chinese)

[7] 楊小明,陶 然. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)二維波達(dá)方向估計(jì)[J].電子學(xué)報(bào), 2008,36(9):1737-1740.

YANG Xiaoming, TAO Ran. 2-D DOA estimation of LFM signals based on fractional Fourier transform [J].ActaElectronicaSinica, 2008,36(9):1737-1740. (in Chinese)

[8] LIU Shengheng, SHAN Tao, ZHANG Yimin D,etal. A fast algorithm for multi-component LFM signal analysis exploiting segmented DPT and SDFrFT [C] //2015IEEEInternationalRadarConference. Arlington: IEEE, 2015:1139-1143.

[9] CUI Yue, LIU Kaihua, WANG Junfeng. Direction of arrival estimation of coherent wideband LFM signals in multipath environment [C] //2010IEEE10thInternationalConferenceonSignalProcessing,ICSP2010. Beijing: IEEE, 2010:58-61.

[10] JIN Xiang, ZHANG Tianqi, BAI Juan,etal. DOA estimation of coherent wideband LFM signals based on fractional Fourier transform and virtual array [C] //Proceedings-20103rdInternationalCongressonImageandSignalProcessing,CISP2010. Yantai: IEEE, 2010:4380-4384.

[11] 王 瑞,馬 艷. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的線(xiàn)性調(diào)頻脈沖信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2014,35(3):421-427.

WANG Rui, MA Yan. DOA estimation of wideband linear frequency modulated pulse signals based on fractional Fourier transform [J].ActaArmamentarii, 2014,35(3):421-427. (in Chinese)

[12] 劉德亮,劉開(kāi)華,于潔瀟,等. 短快拍條件下寬帶chirp信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用, 2015,35(2):351-353.

LIU Deliang, LIU Kaihua, YU Jiexiao,etal. DOA estimation for wideband chirp signal with a few snapshots [J].JournalofComputerApplications, 2015,35(2):351-353. (in Chinese)

[13] 陳艷麗,郭良浩,宮在曉. 簡(jiǎn)明分?jǐn)?shù)階傅里葉變換及其對(duì)線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)的檢測(cè)和參數(shù)估計(jì)[J]. 聲學(xué)學(xué)報(bào), 2015,40(6):761-771.

CHEN Yanli, GUO Lianghao, GONG Zaixiao. The concise fractional Fourier transform and its application in detection and parameter estimation of the linear frequency-modulated signal [J].ActaAcustica, 2015,40(6):761-771. (in Chinese)

[14] 李秀坤,孟祥夏,夏 峙. 水下目標(biāo)幾何聲散射回波在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換域中的特性[J]. 物理學(xué)報(bào), 2015,64(6):064302.

LI Xiukun, MENG Xiangxia, XIA Zhi. Characteristics of the geometrical scattering waves from underwater target in fractional Fourier transform domain [J].ActaPhysicaSinica, 2015,64(6):064302. (in Chinese)

[15] 李 軍,林秋華,楊秀庭,等. 近場(chǎng)寬帶LFM信號(hào)被動(dòng)測(cè)向和測(cè)距方法[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2016,38(8):1737-1743.

LI Jun, LIN Qiuhua, YANG Xiuting,etal. Passive DOA and range estimation method for near-field broadband LFM signals [J].SystemsEngineeringandElectronics, 2016,38(8):1737-1743. (in Chinese)

[16] OZAKTAS H M, ARIKAN O, KUTAY M A,etal. Digital computation of the fractional Fourier transform [J].IEEETransactionsonSignalProcessing, 1996,44(9):2141-2150.