具有強Allee效應及Holling-Ⅱ型反應項的捕食-食餌模型的全局分歧解及其穩(wěn)定性

馮孝周,孫素平,戴志敏

(西安工業(yè)大學 理學院，陜西 西安 710032)

0 引言

2014年，Aguirre等[1]基于常微分方程及反應擴散方程分歧解理論,證明了具有臨界Allee效應及Holling-Ⅱ型功能反應項的一類捕食-食餌模型所有解的有界性和非負性，并分析了正解的穩(wěn)定性及產(chǎn)生局部分歧和Hopf分歧的條件.其研究的捕食-食餌模型如下:

(1)

(2)

1 非常數(shù)平衡態(tài)正解的存在性

(3)

引理1[2]系統(tǒng)(3)的特征值滿足以下條件：

相應的特征函數(shù)為φ1,φ2,φ3,φ4,φ5,…,且主特征值λ1(q)是單重的,即

并且，若q1(x)≥q2(x),則λj(q1)≥λj(q2);若q1?q2,則λj(q1)>λj(q2).記λ1=λ1(0),對應的特征函數(shù)記為Φ1>0,x∈Ω.

考慮非線性邊值問題[2,6]

(4)

若a≤λ1(q),則u=0是問題(4)的唯一非負解；若a>λ1(q),則問題(4)有唯一正解.特別地,若q≡0,a>λ1,則問題(4)存在唯一正解,記為θa,且映射a→θa在(λ1,∞)內(nèi)關于a嚴格遞增且連續(xù)可微.

考慮半線性邊值問題[4]

(5)

其中0

引理2[4]設00使得如下結論成立：

( i )當α<α*時,邊值問題(5)只有零解；

( ii )當α=α*時,邊值問題(5)有一個非平凡解；

(6)

由引理2知,當00,使得

( i )當α>α*時,系統(tǒng)(2)存在2個半平凡解(θ,0)和(Θ,0),且θ<Θ;

( ii )當α=α*時,系統(tǒng)(2)僅存在1個半平凡解(θ0,0).

矛盾,因此u(x)≤1.

令ω=βu+mv,則有

(7)

從而有

為方便討論,令

固定α>α*,00}出發(fā),利用局部分歧理論構造系統(tǒng)(2)的正解．

令ω=u-Θ,χ=v,則-Θ<ω≤1-Θ,χ>0,且(ω,χ)滿足方程

其中

則T(d;ω,χ)為X上的緊可微算子．令G(d;ω,χ)=(ω,χ)′-T(d;ω,χ),則函數(shù)G連續(xù)且G(d;ω,χ)=0,易知G(d;ω,χ)滿足-Θ<ω≤1-Θ,χ>0的零點恰好為系統(tǒng)(2)的非負解．

L(d0;0,0)(ω,χ)=

因此L(d0;0,0)(ω,χ)=0等價于

(8)

若χ≡0,則由引理3知，L0=Δ+α(-3Θ2+2(b+1)Θ-b)的所有特征值都小于0,故L0可逆,從而ω≡0,矛盾,所以χ?0.

設χ1為特征值問題

另外,設(φ,ψ)∈R(L(d0;0,0)),則存在(ω,χ)∈X使得L(d0;0,0)(ω,χ)=(φ,ψ),故

即

(9)

對問題(9)中第二個方程兩邊同乘上χ1并在Ω上積分得

又因為

所以

由簡單特征值的分歧定理[6]可知,存在δ>0和一個C1函數(shù)類

使得d(0)=d0,φ(0)=0,ψ(0)=0,φ(s),ψ(s)∈Z,其中X=Z⊕N(L(d0;0,0)),即Z是N(L(d0;0,0))的補集,且

滿足方程G(d(s),ω(s),χ(s))=0,因此(d(s),u(s),v(s))為系統(tǒng)(2)的分歧解,并且解是非負的,其中

u(s)=Θ+ω(s),v(s)=χ(s). 】

記系統(tǒng)(2)的正分歧解分支為

2 局部分歧解的延拓

本節(jié)利用全局分歧延拓定理，對定理2的局部分歧解曲線沿著參數(shù)d進行延拓，得到系統(tǒng)(2)的全局分歧解曲線及變化趨勢.

引理4(全局分歧定理[7]) 若存在δ>0,使得I-K(d)在0<|d-d0|<δ上可逆,且index(T(d,·),0)在(d0-δ,d0),(d0,d0+δ)上均為常數(shù),但當d0-δ

( ii )C在R+×X內(nèi)由(d0,0)延伸到∞．

定理3設α>α*,0

證明令K(d)=Ω(ω,χ)T(d;0,0),設μ≥1為K(d)的特征值,相應的特征函數(shù)為(ω,χ),則

(10)

如果χ≡0,因為μ≥1,所以

即算子μΔ+α(-3Θ2+2(b+1)Θ-b)的所有特征值小于0,從而可逆.因此ω≡0,矛盾．所以χ?0,那么存在某個i,使得d=di(μ),其中di(μ)是

(11)

的特征值.由變分原理可知，di(μ)關于μ單調(diào)遞減，即

d1(μ)>d2(μ)≥d3(μ)≥d4(μ)≥…→ -∞.

因此μ≥1為K(d)的特征值當且僅當存在某個i,使得d=di(μ).

假定d>d0=d1(1),則對任意μ≥1,i≥1,有d>di(μ)，故K(d)沒有大于1的特征值,因而index(T(d,·),0)=1.

由上面的分析可知,N(K-μ1I)=span{(ω,χ)},其中χ為

的主特征函數(shù),

ω=(μΔ+α(-3Θ2+2(b+1)Θ-b))-1(mχ),

所以

dimN(K(d)-μ1I)=1.

設(ω,χ)∈R(K(d)-μ1I),則存在(u,v)∈X,使得(K(d)-μ1I)(u,v)=(ω,χ),故

(12)

對方程組(12)的第二個式子兩邊同乘χ并在Ω上積分可得

R(K(d)-μ1I)∩N(K(d)-μ1I)={0},

從而μ1是K(d)的單重特征值,即當max{d2(1),0}

index(T(d,·),0)=-1.

故由定理3知,在R+×X中,存在從(d0;0,0)分歧出的連通分支C0滿足G(d;ω,χ)=0,且在(d0;0,0)附近,G(d;ω,χ)的所有正解都在分歧曲線

{(d(s),sω1+sφ(s),sχ1+sψ(s)):-δ

上.令

則在分歧點附近C1滿足：

{(d(s),sω1+sφ(s),sχ1+sψ(s)):0

C是系統(tǒng)(2)從(d0;Θ,0)出發(fā)的解分歧曲線.定義

則在(d0;Θ,0)的鄰域內(nèi)C?P,且滿足下列條件之一：

( ii )C在R+×X中由(d0;Θ,0)延伸到∞;

Z⊕N(L(d0;0,0))=X.

下面利用文獻[8]的方法,對全局分歧解的形式作進一步分析．

當C-{(d0;Θ,0)}P時,存在且為數(shù)列{(dm,um,vm)}的極限,其中

故U≡0,矛盾．

3 局部分歧解的穩(wěn)定性

下面使用特征值擾動定理[2,6]在(d0;Θ,0)鄰域?qū)泊娼獾姆€(wěn)定性進行分析．令

引理50是算子L2的i-單重特征值,并且是L2實部最大的特征值,其它的特征值都在左半復平面上．

證明由定理2的證明可得

又因為i(ω1,χ1)?R(L2),所以0是L2的i-單重特征值．

假定μ0是實部最大的特征值,并且Reμ0>0,(φ,ψ)為對應的特征函數(shù),則L2(φ,ψ)=μ0(φ,ψ),即

(13)

由于0是L2的i-單重特征值,且L2的所有其它特征值都在左半復平面上,因此存在分別定義在d0和0鄰域內(nèi)的函數(shù)：

d→(γ(d),U(d)),s→(η(s),V(s)),

使得

(γ(d0),U(d0))=(0,(ω1,χ1))=(η(0),V(0)),

并且

其中U(d)=(u1(d),u2(d)),V(s)=(v1(s),v2(s)),并且γ′(d0)≠0.又若η(s)≠0(|s|?1),則

其中d′(s)為d(s)關于s的導數(shù),γ′(d0)為γ(d)關于d在d=d0處的導數(shù)．

分歧解(u(s),v(s))的穩(wěn)定性由η(s)的符號決定,當η(s)>0時分歧解是不穩(wěn)定的,當η(s)<0時分歧解是穩(wěn)定的,而η(s)的符號與sd′(s)γ′(d0)的符號相反,因此可通過判斷sd′(s)γ′(d0)的符號來判斷分歧解的穩(wěn)定性．

引理6在定理2的條件下,γ′(d0)<0.

證明由L(d;0,0)U(d)=γ(d)U(d)可知

定理4定理2得到的分歧正解(u(s),v(s))是線性穩(wěn)定的．

證明把分歧解(d(s),u(s),v(s))=(d(s),Θ+s(ω1+φ(s)),s(χ1+ψ(s)))帶入系統(tǒng)(2)的第二個方程,兩端同時除以s,再關于s在s=0處微分可得

其中ψ′(0)為ψ(s)關于s在s=0處的導數(shù)．在上述方程的兩端同時乘以χ1,然后在Ω上積分,并利用Gauss公式可得

即

4 結論

研究了一類具有強Allee效應和Holling-Ⅱ型功能反應項的捕食-食餌模型解的存在性、分歧和穩(wěn)定性，得到了系統(tǒng)非負平衡解的先驗估計;以捕食者死亡率d為分歧參數(shù),利用局部分歧理論，研究了系統(tǒng)在非負半平凡解(Θ,0)處分歧解的存在性;利用全局分歧理論，將局部分歧解延拓到全局分歧解,并證明了全局分歧解沿參數(shù)d延伸到無窮;最后利用特征值擾動原理，證明了局部分歧解是線性穩(wěn)定的.

參考文獻:

[1] AGUIRRE P,FLORES J,GONZALEZ-OLIVARES E.Bifurcations and global dynamics in a predator-prey model with a strong Allee effect on the prey,and a ratio-dependent functional response[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications,2014,16:235.

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