空間分數(shù)階擴散方程的多項式點插值配置法

危國華

(福建廣播電視大學三明分校，福建 三明 365000)

0 引言

近年來，分數(shù)階微積分以及分數(shù)階微分方程在模擬自然界的各種現(xiàn)象中得到了廣泛應用[1-4]，隨后分數(shù)階微分方程的數(shù)值求解也成為研究者們的一個研究熱點[5-11]。針對空間分數(shù)階微分方程的數(shù)值方法，已有文獻采用有限差分方法[12]、有限元方法[13]和譜方法[14]進行處理。在離散微分方程之前，有限差分方法需要對區(qū)域利用規(guī)則均勻點進行劃分，有限元方法和譜方法需要對區(qū)域進行劃分并生成網格，這些方法使得在處理二維情形時僅限于規(guī)則區(qū)域上的問題。鑒于無網格方法不需要生成網格，可以方便處理不規(guī)則區(qū)域，本文首次嘗試將其應用到空間分數(shù)階微分方程中，采用多項式基點插值配置法處理帶有雙側分數(shù)階導數(shù)的空間分數(shù)階微分方程，在數(shù)值例子中分別采用等間距節(jié)點以及不規(guī)則散點離散空間變量，均得到了較好的結果。

本文討論如下帶有雙側分數(shù)階導數(shù)的空間分數(shù)階微分方程：

(1)

本文假設空間分數(shù)階微分方程的解滿足u(x,·)∈C2(0,T)。

1 離散格式

1.1 多項式點插值

首先，在問題域[a,b]內生成場節(jié)點，節(jié)點可以隨機生成，也可以人工加入節(jié)點。設有內部節(jié)點x1,x2,…,xd和邊界節(jié)點x0,xd+1。

對每一個場節(jié)點，都做一個包含該節(jié)點的支持域，在實際計算中，一般取節(jié)點平均間距的2～3倍大小[15]。設第i個節(jié)點的支持域為Ωi，支持域Ωi內包含ni個節(jié)點xi1,xi2,…,xini。為書寫方便，記Di={i1,i2,…,ini}，這也就意味著，當l∈Di時，xl∈Ωi。

接下來在節(jié)點的支持域內對函數(shù)u(x)及其左側分數(shù)階導數(shù)利用基函數(shù)進行插值逼近。為了描述方便，假設計算點x的支持域內包含n個場節(jié)點x1,x2,…,xn，連續(xù)函數(shù)u(x)對應于這些場節(jié)點上的函數(shù)值分別為u1,u2,…,un。因此，函數(shù)u(x)可以由這組場節(jié)點近似表示為：

(2)

其中pj(x)(j=1,2,…,m)為空間坐標變量的單項式，被稱為多項式基，m是多項式基的個數(shù)，aj(j=1,2,…,m)為一組待定常數(shù)。通常使用的一維k次完備多項式基為

(3)

其中基函數(shù)的個數(shù)滿足m=k+1。

Us=Pm·a，

(4)

由于n=m，矩陣Pm是n×n維的方陣。由式(4)，有：

(5)

(6)

1.2 全離散格式

接下來離散時間變量，記tn=nτ,n=0,1,…,N，其中τ=T/N為時間步長。全離散格式為：

(7)

2 數(shù)值結果

為了避免在計算中產生Runge現(xiàn)象，在每個場節(jié)點xi處，取n=6，也就是選擇6個臨近節(jié)點作為其支持域{xl,l=i1,i2,…,i6}，于是k=5，基函數(shù)為5次完備多項式基。

先將問題域[0，1]用規(guī)則節(jié)點xi=ih(i=0,1,2,…,50)劃分，采用全離散格式式(7)進行求解(計算中取m=5)，從圖1中可以看出，精確解和數(shù)值解吻合得很好。表1中列出時間步長變化時，數(shù)值解與精確解的誤差以及誤差階。

接下來將問題域[0，1]用不規(guī)則節(jié)點劃分，采用全離散格式式(7)進行求解。圖2給出此時精確解與數(shù)值解，表2列出針對不規(guī)則點劃分空間變量時間步長變化時，數(shù)值解與精確解的誤差以及誤差階?？梢钥闯?，本文所提出的數(shù)值方法仍然適用于不規(guī)則點劃分。

表1 采用規(guī)則點劃分求解具有單側導數(shù)的方程的數(shù)值解與精確解的誤差以及誤差階

τε2order2ε∞order∞1/102.214 9e-002—3.708 8e-002—1/201.131 1e-0020.969 51.894 0e-0020.969 51/405.715 4e-0030.984 99.569 8e-0030.984 91/802.872 7e-0030.992 54.809 9e-0030.992 51/1601.440 1e-0030.996 22.411 3e-0030.996 21/3207.210 1e-0040.998 11.207 2e-0030.998 1

取α= 1.8，分別將問題域[0，1]用規(guī)則節(jié)點xi=ih(i=0,1,2,…,50)和不規(guī)則節(jié)點劃分，采用全離散格式式(7)進行求解(計算中取m=5)，從圖3和圖4中可以看出，無論是規(guī)則點，還是不等距節(jié)點，精確解和數(shù)值解吻合得很好。表3和表4給出規(guī)則點和不規(guī)則點劃分空間變量，時間步長變化時的誤差以及誤差階。

表2 采用不規(guī)則點劃分求解具有單側導數(shù)方程的數(shù)值解與精確解的誤差以及誤差階

τε2order2ε∞order∞1/102.184 1e-002—3.702 5e-002—1/201.115 4e-0020.969 51.890 8e-0020.969 51/405.635 9e-0030.984 99.553 5e-0030.984 91/802.832 7e-0030.992 54.801 8e-0030.992 51/1601.420 1e-0030.996 22.407 1e-0030.996 21/3207.109 6e-0040.998 11.205 1e-0030.998 1

表3 采用規(guī)則點劃分求解具有雙側導數(shù)的方程的數(shù)值解與精確解的誤差以及誤差階

τε2order2ε∞order∞1/103.867 4e-003—2.838 5e-004—1/201.933 7e-0031.000 01.419 2e-0041.000 01/409.668 6e-0041.000 07.096 2e-0051.000 01/804.834 3e-0041.000 03.548 1e-0051.000 01/1602.417 2e-0041.000 01.774 1e-0051.000 01/3201.208 7e-0040.999 98.870 7e-0061.000 0

表4 采用規(guī)則點劃分求解具有雙側導數(shù)的方程的數(shù)值解與精確解的誤差以及誤差階

τε2order2ε∞orde∞1/104.883 4e-003—3.073 9e-004—1/202.441 7e-0031.000 01.537 0e-0041.000 01/401.220 8e-0031.000 17.684 3e-0051.000 11/806.102 8e-0041.000 23.841 6e-0051.000 21/1603.050 4e-0041.000 51.920 2e-0051.000 51/3201.524 2e-0041.000 99.594 8e-0061.000 9

3 結論

本文將基于多項式基點插值配置法處理帶有雙側分數(shù)階導數(shù)的空間分數(shù)階微分方程，在數(shù)值例子中分別采用等間距節(jié)點以及不規(guī)則散點離散空間變量，均得到了較好的逼近結果。但是，由于無網格方法理論上的匱乏，即使在討論傳統(tǒng)的整數(shù)階微分方程時，此方法在空間上的逼近階數(shù)也不能得到保證。由于傳統(tǒng)方法在不規(guī)則區(qū)域上的局限性，在后續(xù)工作中，筆者將繼續(xù)探討將其應用到二維不規(guī)則區(qū)域上的空間分數(shù)階微分方程。

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