高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的解題策略

張麗秋

摘要：創(chuàng)新題綜合考查了考生的閱讀理解、數(shù)據(jù)處理、分析推理、文字概括和書(shū)面表達(dá)及知識(shí)遷移等方面的能力。解題教學(xué)中需要一定的方法。筆者探索出幾種常用的策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；創(chuàng)新題；解題策略

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）02-0110

近年來(lái)，創(chuàng)新題在考卷中頻頻出現(xiàn)。這類根據(jù)材料提供的信息現(xiàn)場(chǎng)閱讀、理解和運(yùn)用的新題型，知識(shí)背景較為寬廣，知識(shí)跨度大，包含的信息也較多，它綜合考查了考生的閱讀理解、數(shù)據(jù)處理、分析推理、文字概括和書(shū)面表達(dá)及知識(shí)遷移等諸多方面的能力。但學(xué)生創(chuàng)新題得分率普遍較低，其主要原因有：1. 學(xué)生無(wú)閱讀習(xí)慣，不能從閱讀中發(fā)現(xiàn)信息；2. 歸納、抽象、概括能力差；3. 不會(huì)大擔(dān)地猜測(cè)、假設(shè)；4. 不會(huì)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型?；谶@些現(xiàn)狀，筆者通過(guò)演練這類創(chuàng)新題，發(fā)現(xiàn)只有理清幾種關(guān)系，那么，難題也都會(huì)迎刃而解！

一、特殊與一般關(guān)系

一般性寓于特殊之中，反之，通過(guò)對(duì)特殊規(guī)律的觀察又可發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，從而使特殊與一般達(dá)到和諧統(tǒng)一。

例1. 求證：2n>n2（n>4）.

這一規(guī)律的探索、發(fā)現(xiàn)可通過(guò)特殊發(fā)現(xiàn)一般的策略：

這是先猜想，后證明。先猜后證的數(shù)學(xué)思想應(yīng)該是探索性學(xué)習(xí)的主要指導(dǎo)思想。

二、反面與正面關(guān)系

正如方程與函數(shù)、常量與變量、相等與不等、直與曲、有限與無(wú)限，都是正面與反面，既互相對(duì)立，又可相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)可出奇制勝地解決問(wèn)題。如解方程cos2x+3|cosx|+2=0，要去絕對(duì)值符號(hào)、顯得繁瑣，若從其反面——添絕對(duì)值符號(hào)，使其方程轉(zhuǎn)化為|cosx|2+3|cosx|+2=0，它絲毫無(wú)損于原方程的同解性，但從（|cosx|+2）（|cosx|+1）=0，分解因式，卻巧妙地解出了三角方程，這是典型的反面與正面達(dá)到和諧境界的體現(xiàn)。

例2. 設(shè)△ABC 的三邊a 、b、c 成等差數(shù)列，則它的三內(nèi)角中至少有兩個(gè)角不超過(guò)■

分析：滿足以上條件的三角形三內(nèi)角中至少有兩個(gè)角不超過(guò)■，換句話說(shuō)，至多只有一個(gè)角能超過(guò)■，正面證明此論斷無(wú)從下手，采取反面切入求解——“有兩個(gè)角超過(guò)■”，因?yàn)轭}設(shè)有a、b、c 成等差數(shù)列，b=■（a+c），不妨設(shè)a≤b≤c推出A≤B≤C， 要使結(jié)論成立，只要證明B≤■，這時(shí)用反證法，假設(shè)B>■推出cosB<■用余弦定理■<■ a2+c2-b2a2+c2-ac，代入b=■（a+c）得出（■）2>a2+c2-ac a2+c2+2ac>4a2+4c2-4ac，得出3a2+3c2-6ac<0 ，即3（a-c）2<0矛盾，故B>■不可能，所以B≤■，得出△ABC 至少有兩個(gè)角不超于■

三、具體與抽象關(guān)系

抽象是數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)，抽象又是具體的一面鏡子，愈抽象的數(shù)學(xué)材料———空間形式、數(shù)量關(guān)系，愈有可能運(yùn)用到更廣泛的領(lǐng)域中去，這就是具體激活抽象的理論基礎(chǔ)。

例4. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0

（a≠0且a≠c）的兩個(gè)根為tanα、tanβ，求tan（α+β）的值。

分析：用韋達(dá)定理的根與系數(shù)的關(guān)系容易得出tan（α+β）=■=■=-■=■

這是相對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是教材上的原型題，在和角的正切公式中，分子中有兩根之和，分母中有兩根之積，這是下面的抽象的變式題的構(gòu)造特征，讀者可看出具體可以激活抽象的變式題。

例3變式：tanθ與tan（■-θ）為二次方程x2+px+q=0的兩根，且tanθ：tan（■-θ）=3∶2，求p、q的值。

解：∵θ+■-θ=■。則tan■=■=■

∴q-p=1. ①

又∵tan（■-θ）=■tanθ=■，推出關(guān)于tanθ的一元二次方程2tan2θ+ 5tanθ-3=0 tanθ=■或tanθ=-3，得tan（■-θ）=■或tan（■-θ）=-2與①結(jié)合.聯(lián)立解出p=-■p=■或p=-6p=5具體的原型題與抽象的變式題相比較，具體激活了抽象.

四、簡(jiǎn)單與復(fù)雜關(guān)系

復(fù)雜是由簡(jiǎn)單構(gòu)造而成的，只要找到與復(fù)雜問(wèn)題在結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、關(guān)系等方面相似的簡(jiǎn)單問(wèn)題，再對(duì)這些簡(jiǎn)單的類比問(wèn)題看透徹了，鉆研深刻了，則簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)類比題可以激活復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，復(fù)雜數(shù)學(xué)題可以迎刃而解。

例4. 設(shè)x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

如果讀者對(duì)此題難以下手，那么可構(gòu)造簡(jiǎn)單類比題：設(shè)x，y ∈（0，1）求證：x（1-y）+y（1-x）<1.

用比差法構(gòu)造函數(shù)f（x）=1-[x（1-y）+y（1-x）]將x視為變量，而將y 視為常量，可借助一次函數(shù)的圖像特征給予解決。f（x）=1-[x-xy+y-yx]=x（2y-1）+（1-y），f（0）=1-y>0，f（1）=2y-1+（1-y）=y>0.由于一次函數(shù)f（x）的圖像是一條直線，所以當(dāng)00成立，故原不等式成立。

例5的證明：設(shè)f（x）=1-[x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）]=（y+z-1）x+（yz +1-y-z），由于00，f（1）=yz>0，f（x）是將y、z視為常量，而將x視為變量，故f（x）這個(gè)一次函數(shù)圖像是一條直線，當(dāng)00成立，故原不等式成立。

簡(jiǎn)單類比題的確可以激活復(fù)雜問(wèn)題，華羅庚教授說(shuō)：“要善于退，足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅”。其原因也是簡(jiǎn)單類比題可激活復(fù)雜數(shù)學(xué)題。

總之，激活既有微觀激活———概念激活，又有宏觀激活———方法與策略激活，更有解題原則的激活，激活策略應(yīng)該是數(shù)學(xué)解題的一大訣竅?？忌诳荚囘^(guò)程中遇到這類試題時(shí)，要沉著冷靜地仔細(xì)研讀試題提供的材料，找準(zhǔn)突破口，和自己已有的知識(shí)建立起實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，和諧地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法解決新問(wèn)題。

（作者單位：浙江省蒼南縣橋墩高級(jí)中學(xué) 325800）