初中數(shù)學(xué)“偽理解”成因及策略探究

陳芬

摘 要：正確對待數(shù)學(xué)練習(xí)或檢測中學(xué)生的“粗心”等“偽理解”現(xiàn)象，探究認(rèn)知模糊、思維模糊、審題模糊產(chǎn)生的原因。嘗試通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“四清”來破解“三糊”：弄清錯誤點，集中糾錯；理清知識疑點，歸納反思；析清重點，挖掘隱藏的條件；梳清知識樹結(jié)構(gòu)，變式編題拓展，避免學(xué)生形成“習(xí)慣性粗心”，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；偽理解；審題

學(xué)生在數(shù)學(xué)練習(xí)或測試中，經(jīng)常會出現(xiàn)“粗心”“沒有看清題意”“計算錯誤”等情況，這是值得關(guān)注的一個問題。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，其實是從不懂到理解再到運用的階段，是從同型模仿到自主分析、自主探究的過程。如果學(xué)生只是將錯誤的原因歸因于偶然，而不去探究根本原因，久而久之會養(yǎng)成“習(xí)慣性粗心”，大大降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，學(xué)生就會慢慢失去對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此，教師需要指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真探究錯誤原因，透過表面“粗心”發(fā)現(xiàn)其實“偽理解”的本質(zhì)，并有系統(tǒng)、有條理地引導(dǎo)學(xué)生自主解決問題，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，增強其數(shù)學(xué)深入學(xué)習(xí)的信心。

一、“偽理解”原因探究

學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識運用的過程中表現(xiàn)出來的錯誤，主要是學(xué)生對知識點的“偽”理解所致，究其原因主要是“三糊”。

（一）認(rèn)知模糊

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映，是一種數(shù)學(xué)的思維形式。在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)。正確理解并靈活運用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。而在練習(xí)和測試中，學(xué)生往往因為不重視數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，從而降低了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效性。

案例1 （1）（浙教版七上）已知一元一次方程（a-1）x+|a+1|=0有一個根為0，則a=_______。

學(xué)生錯誤解法：|a+1|=0，即a=1或a=-2

（2）（浙教版八上）已知一次函數(shù)y=（a-1）x+a2-a的圖象經(jīng)過（0，0），則a=_______。

學(xué)生錯誤解法：a2-a=0，即a=1或a=0

（3）（浙教版八下）已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-x+a2-a=0有一個根為0，則a=_______。

學(xué)生錯誤解法：a2-a=0，即a=1或a=0

錯因分析：表面上看是學(xué)生對一元一次方程、一次函數(shù)、一元二次方程的概念認(rèn)識模糊，把系數(shù)a-1≠0給漏了，導(dǎo)致此類題目錯誤。相似的題型，相同的錯誤，說明是此類題錯誤的一種延續(xù)。若對此類問題糾錯不到位，在接下來學(xué)習(xí)一元二次方程根的判別式及二次函數(shù)時，還會犯同樣的錯誤。

案例2 （1）（浙教版八下）一元二次方程（k-1）x2+（2k+1）x+k=0有實數(shù)根，求k的取值范圍。

學(xué)生錯誤解法：△=（2k+1）2-4k（k-1）≥0，解得k≥-■

（2）（浙教版八下）方程（k-1）x2+（2k+1）x+k=0有實數(shù)根，求k的取值范圍。

學(xué)生錯誤解法：△=（2k+1）2-4k（k-1）≥0且k-1≠0，即且k≥-■且K≠1。

錯因分析：題（1）是對案例1錯誤的一種延續(xù)，忽略了“一元二次方程”這個概念ax2+bx+c=0中的a≠0，即k-1≠0，k≠1，所以且k≥-■≠1。題（2）的錯因其實是方程、一元一次方程、一元二次方程概念模糊。方程里包括一元一次方程和一元二次方程，從而需要從兩個方程的角度來考慮問題，而學(xué)生看到了“x2”就會界定此方程為一元二次方程，忽視了k-1=0時，此方程是x=0，是一個一元一次方程，同樣滿足題目的要求。每次在說到方程和一元二次方程時，學(xué)生都能把概念說清楚，但在運用時總是失誤，這就是缺少了思維的嚴(yán)密性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

案例3 （浙教版九年級上）（1）二次函數(shù)y=（k-1）x2+（2k+1）x+k與x軸有兩個交點，求k的取值范圍。

學(xué)生錯誤解法：△=（2k+1）2-4k（k-1）>0，解得k>-■

（2）二次函數(shù)y=（k-1）x2+（2k+1）x+k與坐標(biāo)軸有兩個交點，求k的取值范圍。

學(xué)生錯誤解法一：△=（2k+1）2-4k（k-1）≥0且k-1≠0，即k≥-■且k≠1

學(xué)生錯誤解法二：△=（2k+1）2-4k（k-1）=0，解得k=-■

錯因分析：題（1）中的錯誤是案例1案例2錯誤的延續(xù)，模糊了二次函數(shù)的概念，忽略了a≠0，即k-1≠0，k≠1。題（2）中學(xué)生錯誤解法一，由于思維定式，學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為是與x軸的兩個交點，忽視了關(guān)鍵詞“坐標(biāo)軸”的概念——x軸和y軸，導(dǎo)致理解偏差。學(xué)生錯誤解法二，雖然學(xué)生能分析出與y軸已經(jīng)有了一個交點，另一個交點必定是在x軸上，從而得到△=0，可“與y軸的一個交點”中（0，0）的特殊性（既在x軸上，也在y軸上）不清楚，因此就歸納不出函數(shù)圖象“過原點也可以”的結(jié)論。

總之，學(xué)生如果對概念理解不透徹，只是模糊套用，就會出現(xiàn)學(xué)生常犯的“粗心”錯誤。比如：零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、分式、分式方程等概念以及（-2）2和-22，（■）2和■等形式，學(xué)生剛開始憑借記憶性的思維解題，不會出現(xiàn)錯誤，若時間間隔長了，概念忘記了，只能按照自己的思維定式解決，其實就是沒有真正理解概念，也就是機械學(xué)習(xí)。

（二）思維模糊

思維指的是人腦對客觀現(xiàn)實的概括和間接反映，屬于人腦的基本活動形式。數(shù)學(xué)思維就是數(shù)學(xué)地思考問題和解決問題的思維活動形式?！稊?shù)學(xué)教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理；會合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點；能運用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)。

案例4 （浙教版七年級上）（1）3+5÷（-■）×（-6）

學(xué)生錯誤解法：3+5×■×6=8

（2）3+5÷（-■）×62

學(xué)生錯誤解法：3+（-5×■×36）=-27

錯誤原因分析：題（1）的錯誤在于符號確定和除法法則兩個思維混亂。學(xué)生主觀上想著可以先確定符號，同時又想著“除以一個不為零的數(shù)等于乘以它的倒數(shù)”，兩個思路同時碰撞，同時進(jìn)行，就出現(xiàn)了錯誤。題（2）也是如此，乘方和除法法則相互干擾，學(xué)生沒有重視，這樣的計算簡化，自然容易導(dǎo)致錯誤。這樣的問題反映出的是學(xué)生計算能力不足，學(xué)生輕觀察和分析，存僥幸心理，大大提高了“粗心”的比重。如果學(xué)生在計算中，知道如何進(jìn)行計算，明白實施這些步驟的理由，就能提高計算的正確率。

（三）審題模糊

審題就是對題目的含義進(jìn)行分析、研究，從而正確地把握問題，理解題意，明確題目要求，確定答題方式等。審題是合理、正確解題的基礎(chǔ)。審題不清就是學(xué)生通過讀題，沒有明確題意，使得解決問題的方向有偏差或考慮問題不全面，最終出現(xiàn)了學(xué)生的“粗心”現(xiàn)象。

1.條件不聚焦，答題錯誤

學(xué)生經(jīng)常在審題時會把焦點放在常見的關(guān)鍵詞上，比如“二次函數(shù)”“等腰三角形”“分式”……或者只是關(guān)注題目中給出的方程、函數(shù)解析式、幾何圖形等，往往會忽視題目中其他的條件：取值范圍、隱含條件或者其他關(guān)鍵詞“不大于”“不小于”等等。

案例5 （1）已知二次函數(shù)y=x（x-8）（0≤x≤3），則關(guān)于該函數(shù)的值的最大值為_____；最小值為_____。

學(xué)生錯誤解法：最大值為：無，最小值為-16

（2）如圖，A、B是雙曲線y=■上的兩點，過A點作AC⊥x軸，交OB于點D，垂足為C。若△ADO的面積為1，D為OB的中點，則k的值為________學(xué)生錯誤解法：■

錯誤原因分析：題（1）中，學(xué)生在審題時把焦點放在二次函數(shù)的解析式和最大值上，而遺漏了自變量的取值范圍0≤x≤3，導(dǎo)致了答題錯誤。題（2）中學(xué)生會把重心放在∣k∣與面積的關(guān)系，忽視了圖像上的隱含條件k<0。學(xué)生沒有挖掘出這個條件，解題就不能正確了。

2.方向不正確，答非所問

學(xué)生在答題過程中經(jīng)常出現(xiàn)一種連題目的最后問題是什么都不知道就開始答題的“粗心”，急功近利，自己編造問題，答非所問。這樣的問題并不少見，特別是數(shù)學(xué)功底越好的學(xué)生，就越容易在這類問題上丟分。

案例6 （1）已知：已知|a|=3，|b|=2，且a

學(xué)生錯誤解法：由題意得：a=±3，b=±2；∵a

（2）若單項式-3x4a-by2與單項式2x3ya+b是同類項，則這兩個單項式的和是______。

學(xué)生錯誤解法：a=1，b=1。

錯誤原因分析：題（1）是比較常見的題目，特別是條件部分，從學(xué)絕對值開始，幾乎都會看到類似的題目。學(xué)生熟悉，就會產(chǎn)生思維偏差，看最后的問題都省略了，想當(dāng)然地以為跟以前題目一樣，只是求a+b而已；題（2）是在學(xué)習(xí)《二元一次方程組》時出現(xiàn)的題目，學(xué)生看完前半部分，找到關(guān)鍵詞“同類項”，很快就列出方程組，解出答案a=1，b=1，殊不知已經(jīng)掉入了題目的陷阱中。如果能仔細(xì)看問題，就會發(fā)現(xiàn)跟a、b沒有關(guān)系，只要按要求找到“x3和y2”即可。

3.變化不關(guān)注，模式應(yīng)答

學(xué)生如果對題目比較熟悉，讀題速度就會很快，就像拍照一樣“咔嚓”一下就開始做題。這樣讀題導(dǎo)致學(xué)生不能對題目進(jìn)行正確、全面地觀察，往往被一些表面現(xiàn)象所吸引。

案例7 （1）計算：-99■×26

學(xué)生錯誤解法：（-100+■）×26=-2598

（2）絕對值不大于5的所有正整數(shù)有_______。

學(xué)生錯誤解法：±5，±4，±3，±2，±1，0

錯誤原因分析：-99■×26可以找到跟它差不多的計算題，如-99■×99，49■×20，學(xué)生習(xí)慣用湊10湊100簡便運算，即（-100+■）、（50-■），受類似■、■的影響，只要看到-99■，直接定勢為（-100+■）；同樣下一題也受“絕對值不大于5的所有整數(shù)有_____”影響，由于受大腦信息內(nèi)存的影響，導(dǎo)致審題不清，看題快，沒有區(qū)別“正整數(shù)”和“整數(shù)”兩個概念，模式應(yīng)答。

4.原理不明晰，胡搬亂造

初中數(shù)學(xué)中的閱讀理解題往往題目較長，題目可以是對新概念的規(guī)定，也可以是新結(jié)論的運用，甚至是推理方法的應(yīng)用。很多學(xué)生對這類題非?！案忻啊?，第一時間覺得很難、很煩，不想看其中的原理，憑著對感覺胡亂一寫。這不僅僅是“粗心”問題，更是審題的態(tài)度問題。

案例8 規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等。類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈2次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）記作（-3）④，讀作“-3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷…÷a（n個a）（a≠0）記作■，讀作“a的圈n次方”。

初步探究

（1）直接寫出計算結(jié)果：2③=8，（-■）④=■；

深入思考

我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？

（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成冪的形式.（-3）④=81；5④=625；

（2）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于______；

（3）算一算：122÷（■）④-（-■）⑥÷33。

錯誤原因分析：以上閱讀理解題只要老師稍作點撥，學(xué)生就知道正確的解題方法，這些看似粗心導(dǎo)致的錯誤，其實就是原理不清晰。類似這樣的概念性問題或推導(dǎo)題，需要學(xué)生認(rèn)真讀題而不是“看問題”。案例8就是一個普遍的錯誤：學(xué)生讀題時直接跳躍至問題，根據(jù)問題的字面意思簡單思考，匆忙下結(jié)論。如果遇到自己有點會的，就把它當(dāng)做普通綜合題來做。學(xué)生看到題目偏長，靜不下心來認(rèn)真讀題，浮躁、不耐煩，自然不可能認(rèn)真觀察、分析和探究了。閱讀題往往都會隱含著結(jié)論或推理的方法，只要抓住它的特點，基本都不會做錯。

二、數(shù)學(xué)理解中“去偽存真”的策略

綜上原因分析，在數(shù)學(xué)理解中要去偽存真，可以運用以下四種策略：

（一）一清：弄清錯點，集中糾錯

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的。費賴登塔爾說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法就是實行‘再創(chuàng)造，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來?！奔m錯就是把在練習(xí)或檢測過程中出現(xiàn)的錯誤集中起來，分析錯誤原因，及時糾正。

案例9

■

■

評析：認(rèn)知心理學(xué)派認(rèn)為，錯誤是學(xué)習(xí)的必然產(chǎn)物。因此認(rèn)真對待錯誤，讓錯誤的價值最大化，顯得尤為必要。心理學(xué)家蓋耶認(rèn)為“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯誤，就將錯過最富成效的學(xué)習(xí)時刻”。因此，把錯誤當(dāng)作一種資源，培養(yǎng)學(xué)生的糾錯能力，有利于學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)概念，掌握正確的思想方法，同時幫助學(xué)生養(yǎng)成分析問題、解決問題的能力，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（二）二清：理清疑點，歸納反思

學(xué)生可以從數(shù)學(xué)角度對現(xiàn)實中出現(xiàn)的各種問題進(jìn)行歸納與反思，對數(shù)學(xué)課上所學(xué)到的重難點，作業(yè)、考試中的易錯題作記錄。

案例10 學(xué)生反思：這周，老師給我們歸納了一些無圖式的一題多解題。剛開始體驗時，我總是思維定式，想當(dāng)然地考慮問題。比如：“等腰三角形一腰上的高線與另一腰成40°，求頂角?！边€有“已知△ABC中，AD⊥BC，且AB=20cm，AC=13cm，AD=12cm，求BC的長?！蔽以诋媹D的時候就只畫銳角三角形，所以造成了漏解。通過老師的分析，讓我意識到，對于無圖或存在疑問的題目，需要我們?nèi)轿坏乜紤]，不能只憑感覺。老師還告訴我們，當(dāng)遇到一些幾何難題時，可以按要求畫圖。圖畫好后，標(biāo)出它的已知條件，然后再一步一步地進(jìn)行分析，很快思路就清晰了，就能很快地把題給解出來。我還真做出來了?？磥?，做幾何題，畫圖很重要呀！

評析：美籍?dāng)?shù)學(xué)教育家波利亞說“如果沒有了反思，題目就錯過了解題的一次重要而有效益的方面”。南京大學(xué)哲學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師鄭毓信教授說“學(xué)生的錯誤不可能單純依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得到糾正，而必須是一個自我否定、自我反思的過程”。歸納與反思不容易受時間和空間的影響，學(xué)生有足夠的業(yè)余時間可以利用。反思的過程，可以促使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行全方位的了解，找到自己的思維漏洞，培養(yǎng)學(xué)生自我剖析的能力，從而達(dá)到自我預(yù)防錯誤，自我解決問題的能力，從而提高學(xué)習(xí)的有效性。

（三）三清：析清重點，挖掘隱因

審題過程中，為了讓學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，可以讓學(xué)生抓住數(shù)學(xué)問題中的小細(xì)節(jié)進(jìn)行圈劃，比如：用筆圈出題目中的關(guān)鍵條件、要求和問題，尤其要注意括號中的內(nèi)容，幾何題中有圖像的最好在圖像中標(biāo)示出已知的條件，并挖掘圖形中的隱含條件，在做題時，還要思考檢查所圈出來的每一個條件是不是都用到了。

案例11

（1）已知：■，■，且a

（2）-■相反數(shù)的倒數(shù)是______

（3）下面是兩個多位數(shù)1248624…、6248624…、都是按照如下方法得到的：將第一位數(shù)字乘以二，若積為一位數(shù)，將其寫在第二位上，若積為兩位數(shù)，則將其個位數(shù)寫在第二位。對第二位數(shù)字再進(jìn)行如上氣喘吁吁西伯利亞得到第三位數(shù)字… 、后面的每一位數(shù)字都是由前一位數(shù)字進(jìn)行如上打哈哈毛毛蟲到的。若第一位數(shù)字是3時，仍按如上操作得到一個多位數(shù)，則這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和是______

評析：心理學(xué)認(rèn)為，觀察是人的一種有目的、有計劃的知覺，它是知覺的高級形式。同時，觀察與思維是緊密聯(lián)系在一起的。在觀察的過程中自始至終地伴隨著思維活動。通過圈圈點點或者默讀題目，有意識地去關(guān)注在題目中經(jīng)常出現(xiàn)的自己容易犯錯誤的關(guān)鍵字眼，將它們一點點總結(jié)到一起，比如一看到“（）”你就要提醒自己里面的內(nèi)容很重要；一看到“方程”就想到一元一次方程還是一元二次方程或者兩者都可……一旦有了足夠多的積累，那么，學(xué)生在審題時，就會馬上意識到這道題題目哪里是重要條件，哪里是容易忽略的關(guān)鍵條件，題目的問題是什么，有沒有需要注意的，腦海里馬上就可以呈現(xiàn)。通過這樣有意識地引導(dǎo)學(xué)生觀察，就培養(yǎng)了觀察能力，積累審題經(jīng)驗，進(jìn)而提高審題能力。

（四）四清：梳清節(jié)點，變式拓展

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)知識中，要注重知識的“生長點”和“延伸點”，注重梳理清楚各個知識的結(jié)構(gòu)和體系，體會對于某些數(shù)學(xué)知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解。

案例12 原題：（浙教版九（上）《1.3二次函數(shù)的性質(zhì)》作業(yè)題

求下列二次函數(shù)的圖象與x軸交點的坐標(biāo)

（1）y=■x2-6x（2）y=-2x2-3x+2

拓展：①二次函數(shù)y=-x2-3x+1的圖像與x軸有幾個交點？

②當(dāng)k是什么值時，二次函數(shù)y=（k-1）x2+（2k+1）x+k的圖象與x軸沒有交點？

教師變式：①k取何值時，二次函數(shù)y=（k-1）x2+（2k+1）x+k的的圖象始終在x軸的下方？

③k取何值時，不等式（k-1）x2+（2k+1）x+k<0恒成立？

學(xué)生編題：①k取何值時，方程（k-1）x2+（2k+1）x+k=0沒有實數(shù)根？

②k取何值時，二次三項式（k-1）x2+（2k+1）x+k的值總是負(fù)數(shù)？

評析：“理解一道題，達(dá)到會一類題”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)用能力的體現(xiàn)。心理學(xué)上說：變式指通過變更對象的非本質(zhì)特征以突出對象的本質(zhì)特征而形成的表現(xiàn)形式，也指通過變更對象的本質(zhì)特征以突出對象的非本質(zhì)特征，從而顯示概念的內(nèi)涵發(fā)生了變化。變更人們觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質(zhì)特征，突出那些隱蔽的本質(zhì)要素，這樣可以達(dá)到深度學(xué)習(xí)。

深度學(xué)習(xí)是指個體能夠?qū)⑵湓谝粋€情境中的所學(xué)運用于新的情境的過程，也就是“遷移”。從原題出發(fā)，讓學(xué)生學(xué)會深入挖掘題目根源，通過“拓展、變式”，運用類比、對比等方法，恰當(dāng)?shù)淖兏鼏栴}情境或改變思維角度，把相關(guān)的知識系統(tǒng)銜接起來，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑尋求解決問題的方法，徹底理清楚各知識之間的聯(lián)系。“學(xué)生編題”更是對知識點的鞏固，也是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)。通過這樣的多思，多用，激發(fā)學(xué)生思維的積極性和深刻性。

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識和技能，同時也需要提高分析問題、解決問題的能力。仔細(xì)讀題，認(rèn)真審題是分析問題和解決問題的前提，也是良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣之一。在今后的教學(xué)中，我們可以運用以上“四清”策略來解決練習(xí)中的“偽理解”問題，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方式，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。

參考文獻(xiàn)：

中華人民共和國教育部《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》北京師范大學(xué)出版社2012年1月

（作者單位：浙江省建德市新安江第三初級中學(xué)）