解極值點(diǎn)問(wèn)題巧設(shè)構(gòu) 覓新函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題破

☉四川省巴中中學(xué) 涂盛剛

一、極值點(diǎn)偏移的含義

我們知道，若函數(shù)（fx）對(duì)定義域內(nèi)任意自變量x都有（fx）=（f2m-x），則函數(shù)（fx）關(guān)于直線x=m對(duì)稱(chēng)，且x=m必為單峰函數(shù)（fx）的極值點(diǎn).如二次函數(shù)（fx）為單峰函數(shù)，其頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)x0，若（fx）=C的兩根的中點(diǎn)為則剛好有即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移.

若等變?yōu)椴坏?，則極值點(diǎn)偏移：若單峰函數(shù)（fx）的極值點(diǎn)為m，且函數(shù)（fx）滿足定義域內(nèi)x=m左側(cè)的任意自變量x都有（fx）＞（f2m-x）或（fx）＜（f2m-x），則函數(shù)（fx）極值點(diǎn)m左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)（fx）定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)x1，x2滿足（fx1）=（fx2），則與極值點(diǎn)m必有確定的大小關(guān)系：

若m＜，則稱(chēng)為極值點(diǎn)左偏；若，則稱(chēng)為極值點(diǎn)右偏.如圖1，函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)x=1剛好在方程g（x）=e的兩根中點(diǎn)的左邊，我們稱(chēng)之為極值點(diǎn)左偏.

圖1

二、例題分析

例1已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求a的取值范圍；

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明x1+x2＜2.

點(diǎn)撥：本題是典型的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，需先分析出原函數(shù)的極值點(diǎn)，找到兩個(gè)根的大致取值范圍，再將其中一個(gè)根進(jìn)行對(duì)稱(chēng)的轉(zhuǎn)化變形，使得x與2-x在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性分析.

解：（1）（0，+∞）（略）.

（2）由（1）知，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

由f（x1）=f（x2）=0，可設(shè)x1＜1＜x2.

構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=f（x）-f（2-x），則

F′（x）=f′（x）+f′（2-x）=（x-1）（ex+2a）+（1-x）（e2-x+2a）=（x-1）（ex-e2-x）.

當(dāng)x＜1時(shí)，x-1＜0，ex-e2-x＜0，則F′（x）＞0，得F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

又F（1）=0，故F（x）＜0，（x＜1）.

即f（x）＜f（2-x），（x＜1）.

將x1代入上述不等式中得f（x1）=f（x2）＜f（2-x1）.

又x2＞1，2-x1＞1，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

故x2＜1，2-x1，x1+x2＜2.

歸納小結(jié)：用對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造的方法解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題一般情況下可分為以下三步.

第一步：求導(dǎo)，獲得函數(shù)f（x）的單調(diào)性、極值情況，作出函數(shù)f（x）的大致圖像.由f（x1）=f（x2）得到x1，x2的取值范圍（用到數(shù)形結(jié)合的思想方法）.

第二步：構(gòu)造輔助函數(shù)，當(dāng)結(jié)論為x1+x2＞（＜）2x0時(shí)，構(gòu)造函數(shù)F（x）=（fx）-（f2x0-x）；當(dāng)結(jié)論為x1·x2＞（＜）時(shí)，構(gòu)造函數(shù)F（x）=（fx）；然后對(duì)F（x）求導(dǎo)，限定范圍（x1或x2的范圍），判定符合，得不等式.

第三步：代入x1或x2，利用f（x1）=f（x2）與f（x）的單調(diào)性證明最終結(jié)論.

口訣：極值偏離對(duì)稱(chēng)軸，構(gòu)造函數(shù)覓單調(diào)，單調(diào)產(chǎn)生不等式，賦值其中得結(jié)論.

例2已知函數(shù)f（x）=x e-x（x∈R），如果x1≠x2且f（x1）=f（x2），求證x1+x2＞2.

證明：第一步：因?yàn)閒′（x）=（1-x）e-x.

令f′（x）=（1-x）e-x=0，得x=1.

所以f（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減.

函數(shù)（fx）在x=1處取得極大值

設(shè)0＜x1＜x2，于是數(shù)形結(jié)合根據(jù)f（x）的圖像可得0＜x1＜1＜x2.

當(dāng)x2≥2時(shí)，不等式x1+x2＞2顯然成立.

當(dāng)x2＜2時(shí)，欲證明x1+x2＞2即證x1＞2-x2.

因?yàn)?＜x2＜2，所以0＜2-x2＜1.

第二步：構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=（fx）-（f2-x），x∈（1，2），則F（′x）=f（′x）-f（′2-x）=（1-x）（

當(dāng)1＜x＜2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，即F（x）在（1，2）上單調(diào)遞增.

所以F（x）＞F（1）=0，即f（x）-f（2-x）＞0，x∈（1，2）.

第三步：由于1

又因?yàn)閒（x1）=f（x2），所以f（x1）＞f（2-x2）.

又因?yàn)閒（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，

所以x1＞2-x2，即x1+x2＞2.

例3 已知函數(shù)f（x）=x ln x的圖像與直線y=m交于不同的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），求證：

證明：第一步：由f（′x）=ln x+1易知，（fx）在）上單調(diào)遞增.

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0.

設(shè)0＜x1＜x2，于是數(shù)形結(jié)合根據(jù)（fx）圖像可得

圖2

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求過(guò)點(diǎn)P（0，2）與y=（fx）相切的直線方程；

（2）當(dāng)y=（fx）存在兩個(gè)不同零點(diǎn)x1，x（2x1＜x2）時(shí)，求證：x1x2＜x1+x2.

解：（1）（待定切點(diǎn)法）易得切點(diǎn)為（1，e），過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=（e-2）x+1.

（2）巧構(gòu)造，構(gòu)造非對(duì)稱(chēng)函數(shù)證明.

f（′x）=ex-a，若a≤0，則f（′x）＞0，單調(diào)增函數(shù)不可能有兩個(gè)不同零點(diǎn).

當(dāng)a＞0時(shí)，令f（′x）=0，得x=ln a.

于是f（′x）＜0，x∈（ln a，+∞）時(shí)f（′x）＞0.

所以（fx）在（0，ln a）上單調(diào)遞減，在（ln a，+∞）上單調(diào)遞增，x=ln a處取極小值（fln a）=a（2-ln a），要使（fx）存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，需且只須（fln a）＜0，即ln a＞2，亦即a＞e2，結(jié)合（fx）的圖像可得x1＜ln a＜x2.

欲證x1x2＜x1+x2.

只需證ex1+x2≤a2，即需證明x1+x2≤2ln a即可.

令F（x）=（fx）-（f2ln a-x）（1＜x＜ln a），

故F（x）在（1，ln a）上單調(diào)遞增.

所以F（x）＜F（ln a）=0，

即f（x）＜f（2ln a-x）在x∈（1，ln a）上成立.

令x=x1，得f（x1）＜f（2ln a-x1）.

又f（x1）=f（x2），所以f（x2）＜f（2ln a-x1）.

結(jié)合f（x）在（ln a，+∞）上遞增，故x2＜2ln a-x1.

即x1+x2＜2ln a，原命題得證可得x1x2＜x1+x2.

構(gòu)造函數(shù)，借助其單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性等性質(zhì)和極值、最值等特點(diǎn)解決原問(wèn)題，是解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題的常用方法.概括地講“尋覓函數(shù)性質(zhì)特征，巧設(shè)構(gòu)造突破難點(diǎn)”，是解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的有效方法.H