分類討論思想在含參函數(shù)中的應(yīng)用

☉江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué) 陳 蓬

分類討論的思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解（或分割）成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略.對(duì)問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題（或綜合性問題）分解為小問題（或基礎(chǔ)性問題），優(yōu)化解題思路，降低問題難度.

分類討論的常見類型主要有：（1）由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等；（2）由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論；（3）由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論；（4）由圖形的不確定性引起的分類討論；（5）由參數(shù)的變化引起的分類討論等.

常見分類討論：指數(shù)函數(shù)y=ax底數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax，直線中的斜率k，等比數(shù)列的公比q，分離系數(shù)，定義（等差數(shù)列、等比數(shù)列、奇偶性、圓錐曲線的定義等）引起的分類討論，二次項(xiàng)系數(shù)，一元二次函數(shù)的判別式Δ，軸與區(qū)間的關(guān)系，零點(diǎn)大小，零點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系，端點(diǎn)函數(shù)值的大小，圖像位置關(guān)系（上下方、交點(diǎn)），絕對(duì)值的分類談?wù)摰?在分類討論中我們要遵循不重不漏、層次分明、先易后難的原則，下面主要就分類討論思想在含參型函數(shù)運(yùn)用進(jìn)行研究.

類型一、二次型分段函數(shù)中軸與區(qū)間位置關(guān)系、端點(diǎn)大小引起的分類討論

例1設(shè)函數(shù)f（x）=|ax-x2|+2b（a，b∈R）.

（1）當(dāng)b=0時(shí)，若不等式f（x）≤2x在x∈［0，2］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若a為常數(shù)，且函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，2］上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

分析：絕對(duì)值符號(hào)在函數(shù)問題中是常見的符號(hào)，可以通過正負(fù)分析法去絕對(duì)值符號(hào)，也可以通過絕對(duì)值不等式去絕對(duì)值，在二次含參型函數(shù)中，充分分析因參數(shù)引起的軸與區(qū)間的位置關(guān)系，在求最值時(shí)考慮端點(diǎn)取值的大小關(guān)系.

解：（1）當(dāng)b=0時(shí)，若不等式x|a-x|≤2x在x∈［0，2］上恒成立.

當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立，則a∈R.

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，則|a-x|≤2在（0，2］上恒成立，即-2≤x-a≤2在（0，2］上恒成立.

因?yàn)閥=x-a在（0，2］上單調(diào)遞增，ymax=2-a，ymin＞-a，則

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為［0，2］.

（2）函數(shù)f（x）在［0，2］上存在零點(diǎn)，即方程x|a-x|=-2b在［0，2］上有解.

當(dāng)a≤0時(shí)，則h（x）=x2-ax，x∈［0，2］，且h（x）在［0，2］上單調(diào)遞增，所以h（x）min=h（0）=0，h（x）max=h（2）=4-2a，則當(dāng)0≤-2b≤4-2a時(shí)，原方程有解，則a-2≤b≤0.

點(diǎn)評(píng)：在問題（1）中可以利用絕對(duì)值不等式去絕對(duì)值，從而進(jìn)行分離變量，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，在問題（2）中首先根據(jù)a對(duì)二次函數(shù)圖像的影響進(jìn)行分類討論，進(jìn)而根據(jù)軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行二次分類討論，當(dāng)0＜a＜2，根據(jù)單調(diào)性可以知道函數(shù)的最大值在區(qū)間端點(diǎn)，根據(jù)大小分析法解決函數(shù)的最大值，在解題過程在要遵循先易后難的原則.

類型二、多個(gè)函數(shù)因上下、左右位置關(guān)系引起的分類討論

例2已知函數(shù)f1（x）=3|x-p1|，f2（x）=2·3|x-p2|（x∈R，p1，p2為常數(shù)）.函數(shù)f（x）定義為：對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x，f（x）=

（1）求（fx）=f（1x）對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充分必要條件（用p1，p2表示）；

（2）設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足a＜b，且p1，p2∈（a，b）.若（fa）=（fb），求證：函數(shù)（fx）在區(qū)間［a，b］上的單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為（閉區(qū)間［m，n］的長(zhǎng)度定義為n-m）.

分析：在讀題的過程中，聯(lián)想到函數(shù)f（1x）=3|x-p1|，f（2x）=2·3|x-p2|的圖像，借助圖像的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

解：（1）由（fx）的定義可知，（fx）=f（1x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x）等價(jià)于f（1x）≤f（2x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x），這又等價(jià)于3|x-p1|≤2·3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立（.*）

由于|x-p1|-|x-p2|≤（|x-p1）-（x-p2）|=|p1-p2（|x∈R）的最大值為|p1-p2|，故（*）等價(jià)于3|p1-p2|≤2，即|p1-p2|≤log32，這就是所求的充分必要條件.

（2）分兩種情形討論：

（i）當(dāng)|p1-p2|≤log32時(shí)，由（1）知，（fx）=f（1x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x∈［a，b］），則由（fa）=（fb）及a＜p1＜b易知調(diào)性可知，函數(shù)（fx）在區(qū)間［a，b］上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度為示意圖如圖1）.

圖1

這表明x0在p1與p2之間.由⑴易知，

綜上可知，在區(qū)間［a，b］上，

（示意圖如圖2）

圖2

故由函數(shù)f（1x）及f（2x）的單調(diào)性可知，（fx）在區(qū)間［a，b］上的單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為（x0-p1）+（b-p2）.

由于 （fa）=（fb），即3p1-a=2·3b-p2，得p1+p2=a+b+log32.②

故由①②得（x0-p1）+（b-p2）=b-

綜合（i）（ii）可知，（fx）在區(qū)間［a，b］上的單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度和

分類討論是數(shù)學(xué)解題的思想，通過層次分明、代數(shù)入微的書寫，準(zhǔn)確的表達(dá)才能增強(qiáng)解題過程的準(zhǔn)確性，通過以上例題分析不難發(fā)現(xiàn)在解題過程中我們往往要借助數(shù)形結(jié)合思想才能使得分類討論更加簡(jiǎn)潔和精準(zhǔn)（含參型函數(shù)、數(shù)形結(jié)合分類討論、代數(shù)書寫），數(shù)形結(jié)合可以直觀地揭示含參型函數(shù)問題本質(zhì)，而數(shù)形結(jié)合又不能視為我們的解題過程，因此將數(shù)形結(jié)合能夠通過分類討論思想分析，進(jìn)而進(jìn)行代數(shù)化精準(zhǔn)書寫才是做此類問題的關(guān)鍵.H